0:00:00.420,0:00:02.160
И така, в миналото видео

0:00:02.160,0:00:05.730
стигнахме до преобразуване[br]на това уравнение.

0:00:05.730,0:00:08.900
И тъкмо получих, че силата [br]е равна на масата по ускорението.

0:00:08.900,0:00:12.540
И говорех за това, че ако [br]x е функция на t,

0:00:12.540,0:00:14.110
какво ще е ускорението?

0:00:14.110,0:00:17.710
Ами скоростта е производната [br]на x по отношение на времето, нали?

0:00:17.710,0:00:20.060
Промяната в позицията[br]върху промяната във времето.

0:00:20.060,0:00:23.290
А ускорението е [br]производната на скоростта,

0:00:23.290,0:00:25.875
или втората производна на позицията.

0:00:25.875,0:00:29.350
И така, вземам производната [br]два пъти, на х от t, нали така?

0:00:29.350,0:00:35.060
Нека пренапишем това уравнение[br]в тези условия.

0:00:35.060,0:00:37.600
Нека изтрия всичко това – [br]всъщност искам да го запазя,

0:00:37.600,0:00:40.510
за да не забравяме за какво говорим [br]през цялото това време.

0:00:40.510,0:00:43.800
Да видим дали мога[br]да го изтрия добре.

0:00:43.800,0:00:47.350
Така е доста добре.

0:00:48.140,0:00:54.550
Изтриваме всичко това.

0:00:55.890,0:00:57.850
Всичко това.

0:00:57.850,0:01:01.780
Ще изтрия дори и това.

0:01:02.280,0:01:05.070
Много добре, така.

0:01:05.070,0:01:08.350
Сега обратно на работа.

0:01:08.350,0:01:11.730
И така, знаем, че... надявам се, [br]знаеш, че ускорението

0:01:11.730,0:01:14.050
е втората производна [br]на x като функция на t.

0:01:14.060,0:01:18.250
И можем да преобразуваме това [br]като произведението на масата

0:01:18.250,0:01:21.290
и втората производна на x.

0:01:21.290,0:01:23.870
Ще напиша това като – [br]мисля, че най-лесният запис

0:01:23.870,0:01:26.700
ще е просто x прим прим.

0:01:26.700,0:01:30.910
Това си е втората производна [br]на x като функция на t.

0:01:30.910,0:01:33.530
Ще напиша символа за функция,[br]за да помним,

0:01:33.530,0:01:36.190
че става дума за функция на времето.

0:01:36.190,0:01:43.270
Това е равно на минус [br]k, по x от t.

0:01:43.270,0:01:46.080
И това, което виждаме тук, [br]току-що написаното,

0:01:46.080,0:01:49.940
е всъщност едно [br]диференциално уравнение.

0:01:49.940,0:01:52.070
А какво представлява [br]диференциалното уравнение?

0:01:52.070,0:01:54.540
Това е уравнение, [br]в което в един израз,

0:01:54.540,0:01:56.690
или в едно уравнение, [br]от двете му страни,

0:01:56.690,0:02:00.910
нямаме само функция, но и[br]производни на тази функция.

0:02:00.910,0:02:03.680
Решението на диференциалното уравнение

0:02:03.680,0:02:06.880
не е просто някакво число, нали така?

0:02:06.880,0:02:10.250
Решенията на уравненията, с които [br]се занимавахме преди,

0:02:10.250,0:02:14.420
бяха числа или поредица от числа,[br]може и числова редица.

0:02:14.420,0:02:17.030
Но решението на дадено [br]диференциално уравнение

0:02:17.030,0:02:19.340
всъщност ще е функция,

0:02:19.340,0:02:22.340
или клас от функции, [br]поредица от функции.

0:02:22.340,0:02:25.610
Така че ще отнеме малко време [br]да си го представиш,

0:02:25.610,0:02:28.100
но това е достатъчно [br]добър пример за показване.

0:02:28.100,0:02:31.970
Няма да решаваме това [br]диференциално уравнение аналитично.

0:02:31.970,0:02:35.980
Ще използваме интуицията си[br]от това, което направихме по-рано –

0:02:35.980,0:02:37.680
в миналото видео.

0:02:37.680,0:02:40.130
Ще използваме това, за да предположим

0:02:40.130,0:02:42.710
какво е решението на [br]това диференциално уравнение.

0:02:42.710,0:02:45.020
И после, ако проработи,

0:02:45.020,0:02:46.640
ще имаме малко повече интуиция,

0:02:46.640,0:02:49.430
след което всъщност ще знаем[br]какво е местоположението на тази пружина

0:02:49.430,0:02:52.630
във всеки един момент.

0:02:52.630,0:02:53.700
Вълнуващо е.

0:02:53.700,0:02:56.000
Това е едно диференциално уравнение.

0:02:56.000,0:02:57.580
Когато показахме нагледно позицията –

0:02:57.580,0:02:59.950
интуицията ни за нея с течение на времето

0:02:59.950,0:03:02.820
ни казва, че това е [br]косинусова функция, с амплитуда А.

0:03:02.820,0:03:05.320
Казахме, че това е равно на [br]A по косинус от омега t,

0:03:05.320,0:03:09.020
където това е ъгловата скорост на –

0:03:09.020,0:03:11.400
още не искам [br]да навлизам в подробности,

0:03:11.400,0:03:13.300
ще добием още малко[br]интуиция след секунда.

0:03:13.300,0:03:15.250
Сега това, което можем да направим,

0:03:15.250,0:03:18.410
е да изпитаме този израз, тази функция –

0:03:18.410,0:03:25.240
да видим дали тя удовлетворява това уравнение.

0:03:25.240,0:03:28.260
Е?

0:03:28.260,0:03:39.400
Ако имаме x от t, равно на [br]A по косинус от wt,

0:03:39.400,0:03:42.460
каква е производната на това, х прим от t?

0:03:42.460,0:03:46.160
Можеш да преговориш [br]видеата за производни,

0:03:46.160,0:03:47.840
за да си припомниш това.

0:03:47.840,0:03:50.470
Така, това е производната [br]на вътрешната част,

0:03:50.470,0:03:53.580
т.е. имаме това омега по външния скалар.

0:03:53.580,0:03:56.340
А по омега.

0:03:56.340,0:03:59.055
И после производната –[br]просто прилагам верижното правило –

0:03:59.055,0:04:02.210
производната на косинус от t е [br]минус синус от това, което е вътре.

0:04:02.210,0:04:04.780
Ще изнеса минуса отвън.

0:04:04.780,0:04:10.920
Т.е. това е синус от wt.

0:04:10.920,0:04:14.840
След това, ако търсим [br]втората производна –

0:04:14.840,0:04:20.439
това е x прим прим от t.

0:04:20.439,0:04:23.360
Нека тук оцветя в различен цвят, [br]за да не е монотонно.

0:04:23.360,0:04:25.540
Това е производната [br]на това, нали така?

0:04:25.540,0:04:29.160
А каква е производната на – [br]това са само скаларни величини, нали?

0:04:29.160,0:04:30.750
Тези тук са само константи.

0:04:30.750,0:04:32.930
Производната на това в скобите е омега.

0:04:32.930,0:04:35.270
Умножавам омега [br]по скаларната константа.

0:04:35.270,0:04:42.990
Получавам минус A по омега на квадрат.

0:04:42.990,0:04:45.350
След това производната на[br]синус е само косинус.

0:04:45.350,0:04:47.880
Но минусът още е там, [br]защото трябваше да започна с него.

0:04:47.880,0:04:54.422
Минус косинус от омега t.

0:04:54.422,0:04:56.590
Сега да видим дали това е така.

0:04:56.590,0:05:00.990
Ако е вярно, трябва да мога да кажа,

0:05:00.990,0:05:09.620
че m по втората производна на x от t,

0:05:09.620,0:05:12.690
което в този случай е това,

0:05:12.690,0:05:21.750
умножено по минус А по w[br]на квадрат по косинус от wt.

0:05:21.750,0:05:29.590
Това е равно на минус k

0:05:29.590,0:05:32.380
по оригиналната ни функция – по x от t.

0:05:32.380,0:05:37.220
А x от t e косинус от wt.

0:05:37.220,0:05:39.530
Мястото ми свършва.

0:05:39.530,0:05:41.710
Да се надяваме, че разбираш какво казвам.

0:05:41.710,0:05:44.870
Само заместих x прим [br]прим, втората производна,

0:05:44.870,0:05:50.740
в този израз и после заместих x от t,

0:05:50.740,0:05:53.380
където това е това, ето тук.

0:05:53.380,0:05:55.070
И сега получих това.

0:05:55.070,0:05:56.570
Да видим дали мога да го преобразувам.

0:05:56.570,0:05:58.570
Може би мога да се освободя [br]от пружината тук горе.

0:05:58.570,0:05:59.510
Опитвам се да потърся място.

0:05:59.510,0:06:01.400
Не искам да заличавам това, [br]защото мисля, че

0:06:01.400,0:06:04.110
ни дава известна интуиция[br]за това какво правим.

0:06:04.110,0:06:09.460
Днес е един от дните, в които[br]мечтая да имам по-голяма черна дъска.

0:06:10.340,0:06:13.160
Изтриваме пружината.

0:06:13.160,0:06:16.490
Надявам се, че запомни [br]изображението в главата си.

0:06:16.490,0:06:19.190
И мога да изтрия това.

0:06:19.190,0:06:21.945
Мога да го изтрия.

0:06:21.945,0:06:24.510
Мога да залича всичко това, [br]за да имам повече място,

0:06:24.510,0:06:26.520
без да премахвам тази хубава крива,

0:06:26.520,0:06:28.540
която начертах в миналото видео.

0:06:28.540,0:06:29.750
Почти така.

0:06:29.750,0:06:31.860
ОК.

0:06:31.860,0:06:35.130
Хайде пак на работа.

0:06:35.130,0:06:37.420
Вече имам малко повече място.

0:06:37.420,0:06:41.010
И така, всчико, което направих, беше –

0:06:41.010,0:06:44.990
казахме, че чрез константата [br]на пружината, ако запишем, че силата

0:06:44.990,0:06:47.620
е равна на масата по ускорението, [br]получаваме това.

0:06:47.620,0:06:49.340
Което определено е [br]диференциално уравнение,

0:06:49.340,0:06:52.220
само представих ускорението [br]като втора производна.

0:06:52.220,0:06:55.950
След това предположих, че това е x от t,

0:06:55.950,0:06:58.500
базирано на интуицията ни от схемата.

0:06:58.500,0:06:59.680
Направих предположение.

0:06:59.680,0:07:01.680
След това направих втората производна.

0:07:01.680,0:07:04.160
Това е първата производна, [br]това е втората производна.

0:07:04.160,0:07:06.070
След това заместих [br]с втората производна тук,

0:07:06.070,0:07:07.450
и заместих с функцията тук.

0:07:07.450,0:07:08.770
И получих това.

0:07:08.770,0:07:12.500
Сега нека видим дали мога[br]да опростя малко нещата.

0:07:12.500,0:07:15.120
И така, ако преобразувам тук,

0:07:15.120,0:07:25.040
ще получа минус mA по w на квадрат

0:07:25.040,0:07:28.550
по косинус от wt

0:07:28.550,0:07:37.330
е равно на минус kA по косинус от wt.

0:07:37.330,0:07:38.900
Е, добре изглежда досега.

0:07:38.900,0:07:45.950
Нека видим, можем да се освободим[br]от отрицателните знаци в двете страни.

0:07:45.950,0:07:47.750
От А-тата в двете страни.

0:07:47.750,0:07:50.635
Можем да разделим двете страни на А.

0:07:50.635,0:07:54.090
Нека това го оцветим в черно, [br]за да знаем, че със сигурност е заличено.

0:07:54.090,0:07:57.520
И така, ако се овободим от А от двете страни,

0:07:57.520,0:08:01.040
ни остава това.

0:08:01.040,0:08:04.110
След това – да видим,[br]имаме m по w на квадрат

0:08:04.110,0:08:08.410
по косинус от омега t [br]е равно на k по косинус от омега t.

0:08:08.410,0:08:12.660
Така, това уравнение е вярно,[br]ако е вярно какво?

0:08:12.660,0:08:20.080
Това уравнение е вярно,[br]ако m по w на квадрат,

0:08:20.080,0:08:22.630
или омега на квадрат [br](мисля, че това е омега),

0:08:22.630,0:08:24.686
е равно на k.

0:08:24.686,0:08:28.910
Или друг начин да кажем това –[br]ако омега, повдигнато на квадрат,

0:08:28.910,0:08:32.909
е равно на k/m.

0:08:32.909,0:08:39.699
Или омега е равно на [br]корен квадратен от k/m.

0:08:39.699,0:08:41.220
И така, получихме го.

0:08:41.220,0:08:43.960
Разбрахме колко [br]трябва да е x от t.

0:08:43.960,0:08:46.840
Казахме, че това диференциално [br]уравнение е вярно,

0:08:46.840,0:08:49.840
ако това е x от t и омега [br]е равно на това.

0:08:49.840,0:08:55.210
Така сега намерихме[br]реалната функция, която описва

0:08:55.210,0:08:58.230
позицията на тази пружина[br]като функция на времето.

0:08:58.230,0:09:04.696
x от t ще е равно на –[br]правилно отсъдихме за А,

0:09:04.696,0:09:07.590
и това е просто интуиция –[br]точно така, защото амплитудата

0:09:07.590,0:09:10.740
на тази косинусова функция е A.

0:09:10.740,0:09:14.630
А по косинус – и вместо да пишем w,

0:09:14.630,0:09:18.880
сега можем да запишем [br]корен квадратен от k/m.

0:09:18.880,0:09:25.350
Корен квадратен от k/m, по t.

0:09:25.350,0:09:27.450
Това за мен е невероятно.

0:09:27.450,0:09:33.460
Сега е налице, без да използваме [br]толкова сложни изчисления,

0:09:33.460,0:09:34.980
цяло решено диференциално уравнение.

0:09:34.980,0:09:38.420
И сега мога, ако ми кажеш [br]при 5,8 секунди къде е x,

0:09:38.420,0:09:39.920
мога да ти кажа.

0:09:39.920,0:09:41.880
Обаче виждам, че [br]времето свършва,

0:09:41.880,0:09:45.020
така че ще се видим[br]в следващото видео.