In all of the torque problems
I've done so far in the
physics playlist, we only just
figured out the magnitude of
torque, frankly because that's
what normally matters, but
torque is actually
a vector and it's
direction can be found.
And that is because torque is
defined as the cross product
between the radial distance from
your axis of rotation and
the rotational force
being applied.
So these are both vectors.
So let's take a look at how I
taught you vectors the first
time, and then I'll show you
how that's really the same
thing as what we're doing here
with the cross product.
Except now with the cross
product, besides just the
magnitude for torque, we're also
getting the direction.
But then we'll also see that
direction is a little bit--
it's just the definition of
the direction of torque.
I don't know how intuitive
it really is.
But what did I teach you
before about torque?
Well, let's say I had some arm,
and let's say this could
be the hand of a clock or it's
pinned down to the wall there.
So it would rotate around
this object.
Let's say it's some distance,
r, from the pivot.
Let's say that distance is 10.
This is the same thing as r,
and the magnitude of r is
equal to 10.
At some distance 10 from the
pivot, I apply some force F,
and F I will do in yellow.
I apply some force F.
Let me draw it straight.
I apply some force
F at some angle.
That's my force F.
It's also a vector.
It has magnitude
and direction.
Let's say that this is 10
meters, and let's say that I
apply a force of 7 newtons.
Let me make it more
interesting.
Let's say I apply a force of
square root of 3 newtons.
And I just threw that out there
because I think the
numbers will all work out.
And let's say that the angle
between my force and the lever
arm, or the arm that's
rotating-- let's stick to
radians this time.
Let's say it's pi over 3, but if
you need to visualize that,
that's 60 degrees.
pi over 3 radians is
equal to theta.
And so just based on what we
already know about moments or
torque, what is the torque
around this pivot?
Or how much torque is being
applied by this force?
And when we learn torque or we
learn moments, we realize
really the only hard part about
these problems is that
you don't just multiply the
entire rotational force times
the distance from the
axis of rotation.
You have to multiply the
component of that force that
is actually doing the rotation,
or the component of
the force that is perpendicular
to this rotating
arm, or perpendicular
to this moment arm.
So how do we figure that out?
Well, the component of this
force that is perpendicular to
this arm-- I can visually
draw it here.
Let's see, it would look
something like this.
I could draw it there.
I could also draw
it here, right?
This would be the component, or
this would be the component
that is perpendicular to this
rotating arm, and the
component that is parallel would
be this, but we don't
care about that.
That's not contributing
to the rotation.
The only thing that is
contributing to the rotation
is this component
of the force.
And what is the magnitude of
this vector right here?
The component of vector F that
is perpendicular to this arm.
Well, if this angle--
let me draw a little
triangle down here.
If this is square root of 3,
this is pi over 3 radians, or
60 degrees, and this is a right
angle, it's pi over 3.
I know it's hard to read.
What is this length
right here?
Well, it's a 30-60-90 triangle,
and we know that
this length here-- I mean,
there's a couple of ways you
can think about it.
Now that we know trigonometry,
we know that this is just the
square root of 3 times the sine
of pi over 3, or the sine
of 60 degrees, and so that
equals the square root of 3.
Sine of pi over 3, or sine
of 60 degrees, is square
root of 3 over 2.
So the square root of 3 times
the square root of 3 is just
3, so that equals 3/2.
So the magnitude of this force
vector that is perpendicular,
the component that is
perpendicular to the arm, is
3/2 newtons, and now we can
figure out the magnitude of
the torque.
It's 3/2 newtons times
10 meters.
So we know the magnitude of the
torque, and I'm being a
little bit more careful with
my notation right now to
remind you that torque actually
is a vector, or you
can almost view it as, they use
this term pseudovector,
because it's kind of a-- well,
anyway, I won't go into that.
So what is the magnitude
of the torque vector?
Well, it's 3/2 newtons times the
distance, and remember, I
just drew this vector
here just to
show you the component.
I could just shift the vector
here because this is actually
where the force is
being applied.
You could draw that same vector
here because you can
shift vectors around, so this is
also 3/2 newtons and maybe
that makes it a little
bit clearer.
So it's 3/2 newtons times the
distance that you are from
your pivot arm, so times
10 meters, and so
that is equal to what?
15 newton meters.
So the magnitude of the torque
is 15 newton meters.
But all we did now-- and
hopefully this looks a little
bit familiar.
This is what we learned when we
learned moments and torque,
but all we did now is we figured
out the magnitude of
the torque.
But what if we wanted to
know the direction?
And that's where the cross
product comes in.
So what was the definition
of the cross product?
Cross product: r cross F, that
is equal to magnitude of r
times the magnitude of F times
sine of the smallest angle
between them times some vector
that is perpendicular to both.
And this is really where it's
going to help, because all of
these right here, these are all
scalar quantities, right?
So these don't specify
the direction.
The direction is completely
specified by this unit vector,
and a unit vector is just a
vector of magnitude 1 that's
pointing in some direction.
Well, look, this cross product,
this part of it, the
part that just gives us
magnitudes, we just calculated
that using what we knew
before of torques.
The magnitude of our force
vector times sine of theta,
that gave us the component of
the force vector that is
perpendicular to the arm.
And we just multiply that times
the magnitude of r, and
we got the magnitude of the
torque vector, which was 15.
We can leave out the newton
meters for now.
15, and then its direction
is this vector that we
specified by n.
We can call it the
normal vector.
And what do we know
about this vector?
It's perpendicular to both r--
this is r, right-- and it's
perpendicular to F.
And the only way that I
can visualize in our
three-dimensional universe, a
vector that's perpendicular to
both this and this is
if it pops in or out
of this page, right?
Because both of these vectors
are in the plane that are
defined by our video.
So if I'm a vector that is
perpendicular to your screen,
whatever you're watching this
on, then it's going to be
perpendicular to both
of these vectors.
And how do we figure out if that
vector pops out or pops
into the page?
We use the right hand
rule, right?
In the right hand rule, we
take-- r is our index finger,
F is our middle finger, and
whichever direction our thumb
points in tells us whether or
not we are-- the direction of
the cross product.
So let's draw it.
Let me see if I can do a
good job right here.
So if that is my index finger,
and you could imagine your
hand sitting on top
of this screen.
So that's my index finger
representing r, and this is my
right hand.
Remember, it only works
with your right hand.
If you do your left hand, it's
going to be the opposite.
And then my middle finger is
going to go in the direction
of F, and then the rest of my
fingers are-- and I encourage
you to draw this.
So if I were to draw it-- let
me draw my nails just so you
know what this is.
So this is the nail on
my index finger.
This is the nail on
my middle finger.
And so in this situation, where
is my thumb going to be?
My thumb is going to
be popping out.
I wish I could-- that's
the nail of my thumb.
Hopefully, that makes
some sense, right?
That's the palm of my hand.
That's the other side of my--
and I could keep drawing, but
hopefully, that makes
some sense.
This is my index finger.
This is the middle finger.
My thumb is pointing out of
the page, so that tells us
that the torque is actually
pointing out of the page.
So the direction of this unit
vector n is going to be out of
the page, and we could signify
that by a circle with a dot.
And I'm almost at my time limit,
and so there you have
it: the cross product as it
is applied to torque.
See you in the next video.
Във всички задачи за въртящ момент,
които съм представял досега
в плейлиста по физика, ние само
определяхме големината на въртящия момент,
просто защото реално
само тя е от значение,
но въртящият момент е всъщност вектор
и неговата посока може да бъде намерена.
И това е защото въртящият момент
е определен като векторното произведение
на радиалното разстояние от оста на въртене
и въртящата сила, която се прилага.
Така че тези двете са вектори.
И нека си припомним какво
ти казах за векторите първия път
и след това ще ти покажа,
че това е същото нещо,
като това, което правим и тук
с векторното произведение.
С изключението, че сега заедно
с векторното произведение,
освен големината на въртящия момент,
ще получим и посоката.
Но ще видим също и че тази е посока е малко –
е просто определение на посоката
на въртящия момент.
Не знам доколко е лесно да се разбере.
Но какво ти казах преди за въртящия момент?
Е, нека кажем, че имам някакво рамо,
което може да е стрелка на часовник
или да е прикована към тази стена.
Така че да може да се върти около този обект.
И след това – нека сменим малко цветовете,
че цикламеното започна
да става малко неприятно.
Нека кажем, че на някакво
разстояние r от опорната точка –
нека да бъде 10.
Това е r и големината му е 10.
На някакво разстояние 10
от опорната точка прилагам сила F
и F ще е в жълто.
Прилагам сила F.
Нека да я начертая в права линия.
Прилагам сила F под някакъв ъгъл.
Това е силата ми F.
Тя също е вектор – има големина и посока.
Да кажем, че r е 10 метра и
нека силата, която прилагам, да е 7 нютона.
Нека го направя по-интересно.
Нека силата да е корен от 3N.
И го направих така, просто защото си мисля,
че числата ще излязат точни.
Нека кажем, че ъгълът между силата и рамото,
което се върти – нека работим
в радиани този път.
Нека е π/3 или ако искаш да си го представиш,
това е 60 градуса.
π/3 радиана е равно на тита.
И базирано на това, което
вече знаем за въртящ момент,
колко е той около опорната точка ?
Или колко въртящ момент
е приложен от тази сила
И когато учим за въртящ момент, осъзнаваме,
че всъщност единствената
сложна част на тези задачи е,
че не умножаваме цялата въртяща сила
по разстоянието от оста на въртене.
Трябва да умножим компнентата на силата,
която всъщност извършва въртенето,
или компонентата, която е препендикулярна
на въртящото се рамо,
или перпендикулярна на рамото на силата.
Как да намерим това ?
Първо, компонентата на тази сила,
която е перпендикулярна на това рамо –
мога да го начертая тук.
Нека видим – ще изглежда нещо такова.
Ето така.
Можех да го начертая там,
можех да го начертая и тук, нали ?
Това ще е компонентата,
която е перпендикулярна на въртящото се рамо.
А компонентата, която е успоредна,
ще е тази, но това не ни касае.
Това не допринася за въртенето.
Единственото, което допринася за въртенето,
е тази компонента на силата.
И каква е големината на вектора тук ?
Компонентата на вектор F,
която е перпендикулярна на това рамо.
Ако този ъгъл – нека начертая
малък триъгълник тук долу.
Ако това е корен квадратен от 3,
това е π/3 радиана или 60 градуса.
Това е прав ъгъл, това е π/3.
Знам, че трудно за четене.
Каква е дължината ето тук?
Това е триъгълник от вида 30-60-90
и знаем, че дължината тук –
има няколко начина,
по които можем да мислим за това.
Сега вече знаем тригонометрия,
знаем че това е просто
корен квадратен от 3 по синус от π/3,
или синус от 60 градуса,
който е равен на корен квадратен от 3.
Синус от π/3 или синус от 60 градуса
e корен квадратен от 3/2.
И корен квадратен от 3
по корен квадратен от 3
е просто 3, така че
това е равно на 3/2.
Големината на вектора на силата,
който е перпендикуларен –
компонентата, която е перпендикулярна
на рамото, е 3/2 нютона.
И сега може да определим
големината на въртящия момент.
Тя е 3/2 нютона по 10 метра.
Знаем големината на въртящия момент,
и ще бъда малко по-внимателен
с моето означаване сега,
за да ти припомня, че
въртящият момент е всъщност вектор,
или можеш да го разглеждате като –
някои използват термина "псевдовектор",
защото е нещо като... няма значение.
Каква е големината
на вектора на въртящия момент?
Тя е 3/2 нютона по разстоянието,
и спомни си, че тъкмо начертах този вектор тук,
за да ти покажа компонентата.
Мога просто да преместя вектора тук,
защото тук всъщност се прилага силата.
Може просто да начертаеш същия вектор тук,
защото можеш да местиш векторите.
Така, това също ще е 3/2 нютона
и може би това е малко по-ясно.
3/2 нютона по разстоянието
от опорната точка –
по 10 метра –
е равно на колко?
15 нютон метра.
Големината на въртящия момент
е 15 нютон метра.
Но всичко, което направихме сега –
и се надявам, че това ти изглежда познато.
Това сме го учили при моменти
и въртящ момент.
Всичко, което направихме сега,
беше да определим
големината на въртящия момент.
А ако искахме да знаем и посоката му?
И тук идва на помощ векторното произведение.
Какво беше определението
за произведение с кръст?
r x F е равно на големината на r
по големината на F по синус от
най-малкия ъгъл между тях
по някакъв вектор,
който е перпендикулярен и на двата.
И тук всъщност много помага –
всичките тези са скаларни величини, нали?
Те не задават посоката.
Посоката изцяло се определя
от този единичен вектор,
а единичен вектор е вектор с големина 1,
който сочи в дадена посока.
И нека видим, това произведение с кръст,
тази част от него –
частта, която ни дава големината –
току-що я изчислихме,
като използвахме каквото знаем
отпреди за въртящ момент.
Големината на нашия вектор
на силата по синус от тита,
който ни дава компонентата
на вектора на силата,
която е перпендикулярна на рамото.
И просто умножаваме това по големината на r
и получаваме големината
на вектора на въртящия момент,
която беше 15.
Можем да оставим нютон метрите засега.
15 и след това посоката е този вектор,
който ние означихме с n.
Може да го наречем нормален вектор.
И какво знаем за този вектор?
Той е перпендикулярен на r – това е r –
и е също перпендикулярен на F.
И единственият начин,
по който мога да си представя,
в нашата тримерна вселена, вектор,
който е перпендикулярен на това и това,
е ако сочи навън или навътре
от тази страница, нали така?
Именно защото тези
два вектора са в равнината,
която е определена от нашето видео.
Ако имаме вектор, който
е перпендикулярен на твоя екран,
на каквото и устройство да гледаш това видео,
той ще бъде перпендикулярен
на тези два вектора.
И как да разберем дали векторът
сочи навътре или навън от екрана?
Използваме правилото за дясната ръка, нали ?
В правилото за дясната ръка взимаме –
r е нашият показалец,
F е нашият среден пръст
и в която посока сочи нашият палец,
това е посоката на векторното произведение.
Нека го начертаем.
Нека да видя дали
ще мога да го начертая добре тук.
Така... Ако това е показалецът ми,
можеш да си представиш
ръката си върху екарана.
И така, това е показалецът ми,
който представлява r, а това е дясната ми ръка.
Запомни, че работиш само с дясната ръка.
Ако го правиш с лявата, ще е наобратно.
След това средният ми пръст
ще сочи в посоката на F,
а останалите ми пръсти –
препоръчвам ти да начертаеш това.
Ако трябваше да го чертая –
нека си нарисувам ноктите,
за да знаеш какво е това.
Това е нокътят на показалеца ми.
Това е нокътят на средния ми пръст.
И в тази ситуация къде ще е палецът ми?
Палецът ми ще сочи навън от екрана.
Иска ми се да можех –
това е нокътят на палеца ми.
Надявам се, че виждаш
смисъл вече, нали ?
Това е дланта на ръката ми.
Това е другата страна на –
и мога да продължа да чертая,
но се надявам, че виждаш логиката.
Това е показалецът ми.
Това е средният ми пръст.
Палецът ми сочи извън страницата,
което ни казва,
че въртящият момент всъщност
сочи навън от страницата.
Следователно посоката на
този единичен вектор n
ще е навън от страницата и
можем да го означим с кръг с точка.
И вече ми свършва времето, но съм готов.
Векторното произведение,
приложено при въртящ момент.
Ще се видим в следващото видео.
Ve všech příkladech na točivý moment,
které jsem vám tu ve fyzice zatím ukázal,
jsme počítali pouze velikost
točivého momentu,
protože je to upřímně řečeno
většinou to jediné důležité.
Ale točivý moment je ve skutečnosti vektor
a můžeme zjistit i jeho směr.
A to proto, že točivý moment
je definován jako vektorový součin
mezi vektorem vzdálenosti
od osy otáčení a působící silou.
To jsou oba vektory.
Takže si zopakujme, jak jsem
poprvé vysvětloval točivý moment,
a pak vám ukážu, že vektorový součin
je vlastně to samé.
Jen nyní, u vektorového součinu,
budeme mít kromě velikosti
točivého momentu také jeho směr.
Potom také uvidíme,
že tento směr je trochu...
Je to jen definice směru
točivého momentu.
Nejsem si jistý, jak moc je to intuitivní.
Takže co víme o točivém momentu?
No, řekněme, že mám nějaké rameno,
může to být třeba ručička hodinek
nebo prostě jen rameno připnuté na zeď.
Takže by se točilo kolem
tohoto bodu.
A potom... Změním barvu,
ta purpurová je už trochu nesnesitelná...
Řekněme, že toto je nějaká vzdálenost
„r“ od středového bodu.
Ta vzdálenost může být třeba 10.
To je to samé jako r,
jeho velikost se rovná 10.
V této vzdálenosti od středového bodu
budu působit nějakou silou F.
Tuto sílu udělám žlutě.
Budu působit nějakou silou F.
Nakreslím ji jako přímku.
Působím nějakou silou F
pod nějakým úhlem.
To je moje síla F.
Je to vektor, má velikost a směr.
Řekněme, že toto je 10 metrů
a že působíme silou 7 newtonů.
Udělám to trochu zajímavější.
Řekněme, že působím silou,
která se rovná odmocnině z 3, v newtonech.
A používám ji, protože si myslím,
že čísla nakonec vyjdou hezky.
A řekněme, že úhel mezi silou
a ramenem páky neboli rotujícím ramenem...
Použijme tentokrát radiány.
Řekněme, že to je pí děleno 3,
pokud si to potřebujete představit,
je to 60 stupňů.
Pí děleno 3 radiánů se rovná théta.
A s využitím toho, co již víme
o točivém momentu,
kolik bude točivý moment
kolem tohoto bodu?
Neboli kolik bude točivý moment
vyvolaný touto silou?
Při probírání točivého momentu
a momentů síly jsme zjistili,
že jediným opravdovým
problémem je skutečnost,
že nenásobíte celou rotační sílu
vzdáleností od osy rotace.
Musíte násobit jen tu část síly,
která opravdu vyvolává rotaci,
neboli tu část síly,
která je kolmá k ramenu páky,
kolmá k vektoru vzdálenosti.
Jak to spočítáme?
No, tu složku vektoru síly,
která je kolmá k vektoru vzdálenosti...
Můžu ji názorně zobrazit takto.
No, vypadala by nějak takto.
Mohl bych to nakreslit sem
nebo také sem, že?
Toto by byla ta složka, nebo spíše toto,
která je kolmá na toto rotující rameno.
A toto je složka rovnoběžná,
ale ta nás zde nezajímá.
Ta nepřispívá k rotaci.
Jediné, co přispívá k rotaci,
je tato složka vektoru síly.
A jaká je velikost tohoto vektoru?
Je to složka vektoru síly,
která je kolmá k vektoru vzdálenosti.
No, pokud je toto úhel...
Nakreslím zde malý trojúhelník.
Toto odmocnina ze tří, toto je
pí děleno 3 radiánů neboli 60 stupňů
a toto je pravý úhel.
Toto je pí děleno 3,
vím, že je to špatně čitelné.
Jaká je tato délka?
No, je to trojúhelník 30-60-90
a víme, že tato délka...
Je tu několik způsobů,
jak o tom můžete přemýšlet.
Z trigonometrie víme, že toto je
odmocnina z 3 krát sinus z pí děleno 3
neboli sinus ze 60 stupňů.
A toto se tedy rovná odmocnina z 3.
Sinus z pí děleno 3 neboli sinus 60 stupňů
je odmocnina z 3 děleno 2.
Takže odmocnina z 3
krát odmocnina z 3 je 3,
toto je tedy 3/2.
Tedy velikost složky vektoru síly
kolmé na toto rameno je 3/2 newtonů.
A nyní můžeme spočítat
velikost momentu síly.
Je to 3/2 newtonů krát 10 metrů.
Takže známe velikost momentu síly...
A teď se snažím být trochu důslednější
v notaci,
abyste viděli, že moment síly
je vlastně vektor.
Nebo se dá říci...
Používá se pojem pseudovektor, protože
to je... No, do toho se pouštět nebudu.
Takže jaká je velikost vektoru
momentu síly?
No, je to 3/2 newtonů krát vzdálenost...
A ten vektor jsem nakreslil sem
jen proto, abych vám ukázal tu složku.
Mohl bych vektor nakreslit sem
a ukázat, kde vlastně působí síla.
Mohli byste nakreslit ten samý vektor
sem, protože vektory je možné posouvat.
A toto je tedy 3/2 newtonů a možná
to takhle bude trochu zřejmější.
Takže toto je 3/2 newtonů krát
vzdálenost od momentového bodu,
takže krát 10 metrů.
A to se rovná čemu?
To je 15 newtonmetrů.
Takže velikost momentu síly
je 15 newtonmetrů.
Vše, co jsme zatím udělali...
A snad to vypadá trochu povědomě.
Vše jsme viděli
u momentu síly a točivého momentu.
Zatím jsme jen spočítali
velikost točivého momentu.
Ale co když chceme zjistit jeho směr?
A zde se dostáváme k vektorovému součinu.
Jaká je definice
vektorového součinu?
Vektorový součin vektorů r a F
se rovná velikosti r krát velikosti F
krát sinus nejmenšího úhlu
mezi těmito vektory
krát jednotkový vektor, který je
na oba vektory kolmý.
A to je to, co nám tady pomůže,
protože všechny tyto veličiny
jsou skaláry, že ano?
Takže nám neudávají žádný směr.
Směr je zcela určen
tímto jednotkovým vektorem
a jednotkový vektor je jen vektor
velikosti 1, který má určitý směr.
No, ve vektorovém součinu
jsme tuto část, která nám dává velikost,
spočítali na základě toho,
co jsme už věděli o točivém momentu.
Velikost vektoru síly krát sinus théta
udává složku síly kolmou na rameno.
To jsme jen znásobili velikostí vektoru r
a dostali jsme velikost točivého momentu,
ta je 15.
Prozatím můžeme vynechat
newtonmetry. Prostě 15.
A potom směr tohoto vektoru
je určen vektorem n.
Říkejme mu normálový vektor.
A co o něm víme?
Je kolmý jak k vektoru vzdálenosti r...
toto je vektor r...
A je kolmý k vektoru síly F.
A jediný způsob, jak mohu zobrazit
v našem trojrozměrném vesmíru vektor,
který je kolmý na oba tyto vektory,
je kolmo na nákresnu, nahoru nebo dolů.
Protože oba tyto vektory leží v rovině
definované plochou videa.
Takže pokud mám vektor kolmý na obrazovku,
ať už toto video sledujete na čemkoli,
pak bude kolmý k oběma těmto vektorům.
A jak zjistit, zda vektor míří
z obrazovky, nebo do ní?
Použijeme k tomu pravidlo pravé ruky.
V rámci pravidla pravé ruky...
Máme vektor r jako ukazováček,
F je prostředníček.
A váš palec potom ukazuje
směr výsledného vektoru.
Pojďme to nakreslit.
Uvidíme, jestli to dokážu
udělat správně.
Takže tady je můj ukazováček.
A můžete si představit,
že máte ruku na obrazovce.
Toto je můj ukazováček představující
vektor r a toto je má pravá ruka.
Vždy to musí být
pravá ruka.
Pokud byste použili pravou ruku,
dostanete opačný směr.
A potom můj prostředníček bude
ukazovat směrem vektoru F.
Tady budou ostatní prsty...
Doporučuji vám si to nakreslit.
Abych to nakreslil...
Nakreslím sem své nehty,
abyste viděli, co to je.
Toto je nehet na mém ukazováčku.
Toto je nehet na mém prostředníčku.
A kde bude v takovéto situaci můj palec?
Můj palec bude ukazovat nahoru.
Snad bych mohl...
Toto je nehet mého palce.
Snad vám to dává smysl.
Toto je má dlaň,
toto je druhá strana mé...
Mohl bych kreslit dál,
ale takhle to snad stačí.
Toto je ukazováček,
toto prostředníček.
Můj palec míří směrem nahoru z obrazovky,
takže vektor točivého momentu míří nahoru.
Takže směr tohoto jednotkového vektoru
je také nahoru
a to můžeme vyznačit kolečkem s tečkou.
Už jsem téměř dosáhl časového limitu.
A toto je tedy výsledek. Vektorový součin
aplikovaný na točivý moment.
Uvidíme se u příštího videa.
En todos los problemas de torsión he hecho hasta ahora en el
lista de reproducción, la física apenas hemos averiguado la magnitud de
de torsión, francamente porque eso es lo que normalmente importa, pero
par de apriete es realmente un vector y es
puede encontrar la dirección.
Y eso es porque el par de torsión se define como el producto de la Cruz
entre la distancia radial desde su eje de rotación y
aplicación de la fuerza rotacional.
Así que estas son dos vectores.
Así que vamos a echar un vistazo a cómo enseñó de vectores de la primera
tiempo y luego voy a mostrar cómo es realmente la misma
lo que lo que estamos haciendo aquí con el producto cruzado.
Salvo ahora con el producto de la Cruz, además solo el
magnitud de par, también estamos recibiendo la dirección.
Pero a continuación veremos también que la dirección es un poco--
es simplemente la definición de la dirección de la torsión.
No sé cómo intuitiva que realmente es.
¿Pero lo que enseño antes sobre par?
Bueno, vamos a decir que tenía algún brazo y vamos a decir esto podría
ser la mano de un reloj o inmovilizada a la pared allí.
Así podría girar alrededor de este objeto.
Digamos que es cierta distancia, r, del pivote.
Digamos que la distancia es 10.
Esto es lo mismo que r, y la magnitud de r es
igual a 10.
A cierta distancia del pivote 10, se aplican algunas fuerza F,
y f hará en amarillo.
Aplicar alguna fuerza f el.
Permítanme llamar recta.
Aplico alguna fuerza f en un ángulo.
Es mi fuerza f el.
También es un vector.
Tiene magnitud y dirección.
Digamos que esto es de 10 metros y digamos que me
Aplique una fuerza de 7 newtons.
Permítanme que sea más interesante.
Digamos que aplique una fuerza de la raíz cuadrada de 3 newtons.
Y yo sólo arrojó que por ahí porque creo que la
números trabajará todos afuera.
Y supongamos que el ángulo entre la palanca y mi fuerza
el brazo o el brazo que gira--vamos a atenernos a
radianes esta vez.
Más de 3 años, pero si es necesario visualizar, digamos la pi
es de 60 grados.
más de 3 años de pi radianes es igual a theta.
Y tan sólo basándose en lo que ya sabemos acerca de momentos o
¿de torsión, lo que es el par alrededor de este pivote?
O ¿cuánto par está siendo aplicada por esta fuerza?
Y cuando aprendemos par o aprendemos a momentos, nos damos cuenta
realmente la parte sólo dura acerca de estos problemas es
no solo multiplicas los tiempos de toda fuerza de rotación
la distancia desde el eje de rotación.
Tienes que multiplicar el componente de que la fuerza que
realmente está haciendo la rotación o el componente de
la fuerza que es perpendicular a esta gira
brazo o perpendicular a este brazo de momento.
Entonces, ¿cómo nos figura?
Bueno, el componente de esta fuerza es perpendicular a
Este brazo--yo puedo visualmente dibujar aquí.
Vamos a ver, se vería algo como esto.
Pude llamar allí.
¿Pude también señalo aquí, correcto?
Este sería el componente, o esto sería el componente
es perpendicular a este brazo giratorio y el
componente paralelo sería esto, pero nosotros no
se preocupan por.
No contribuye a la rotación.
Lo único que está contribuyendo a la rotación
es este componente de la fuerza.
Y ¿cuál es la magnitud de este vector aquí?
El componente del vector f perpendicular a este brazo.
Bueno, si este ángulo--permítanme llamar un poco
triángulo aquí abajo.
Si esto es la raíz cuadrada de 3, esto es pi radianes más 3, o
60 grados y esto es un ángulo recto, ha de pi más 3.
Sé que es difícil de leer.
¿Qué es esta longitud aquí?
Bueno, es un 30-60-90 triángulo y sabemos que
Esta longitud aquí--quiero decir, hay un par de maneras
puede pensar en ella.
Ahora que sabemos trigonometría, sabemos que esto es sólo el
raíz cuadrada de 3 veces el seno de pi o más 3 el seno
de 60 grados, por lo que es igual a la raíz cuadrada de 3.
Seno de pi más 3 o seno de 60 grados, es cuadrado
raíz de 3 a 2.
Por lo que es la raíz cuadrada de 3 veces la raíz cuadrada de 3
3, por lo es igual a 3/2.
Así que la magnitud de este vector de fuerza es perpendicular,
el componente que es perpendicular al brazo,
3/2 newtons y ahora nos podemos averiguar la magnitud de
el par de apriete.
Es 3/2 newtons veces 10 metros.
Por lo que sabemos la magnitud del par, y estoy siendo un
un poco más cuidadoso con mi notación ahora a
recordar que par realmente es un vector, o usted
casi puede ver como utilizan esta pseudovector del término,
porque es tipo de--bueno, de todas formas, no entro en.
¿Cuál es la magnitud del vector de par?
Bien, es newtons 3/2 veces la distancia y recuerde
sólo dibujó este vector aquí sólo a
muestra el componente.
Yo solo pude cambiar el vector aquí porque esto es realmente
donde se aplica la fuerza.
Puede dibujar que aquí mismo vector porque se puede
cambio vectores alrededor, así que esto también es 3/2 newtons y tal vez
que lo hace un poco más clara.
Por eso es newtons 3/2 veces la distancia que eres de
su brazo de pivote, así veces 10 metros y así
¿que es igual a qué?
newton 15 metros.
Así que la magnitud del par es 15 newton metros.
Pero todos lo hicimos ahora--y esperemos que esto parece un poco
poco familiar.
Esto es lo que aprendimos cuando nos enteramos de momentos y par,
pero todo lo que hicimos ahora nos dieron cuenta de la magnitud de
el par de apriete.
¿Pero lo que si queríamos saber la dirección?
Y ahí es donde el producto cruzado.
¿Cuál fue la definición del producto Cruz?
Producto cruzado: r Cruz F, que es igual a la magnitud de r
veces la magnitud de f veces seno del ángulo más pequeño
entre ellos veces algún vector es perpendicular a ambos.
Y esto es realmente donde va a ayudar, porque todos
¿Estas justo aquí, estas son todas las cantidades escalares, derecha?
Por lo que estos no especifican la dirección.
La dirección está completamente especificada por este vector unitario,
y un vector unitario es simplemente un vector de magnitud 1 eso
apuntar en alguna dirección.
Pues mira, este producto cruzado, esta parte de la misma, la
parte que sólo nos da magnitudes, simplemente calculamos
que utilizando lo que sabíamos antes de pares.
La magnitud de nuestra fuerza vector veces sinusoidal de theta,
nos dio el componente del vector de fuerza que es
perpendicular al brazo.
Y nosotros simplemente multiplicar que veces la magnitud de r, y
llegamos a la magnitud del vector de par, que tenía 15 años.
Podemos dejar afuera los newton metros por ahora.
15 y luego su dirección es este vector que nos
especificado por n.
Podemos llamarlo el vector normal.
Y ¿qué sabemos sobre este vector?
Es perpendicular a ambos r--esto es r, derecho--y su
perpendicular a f el.
Y la única manera que puedo vizualizar en nuestro
universo tridimensional, un vector que es perpendicular a
Esto y esto es si salta o
¿de esta página, derecha?
Porque ambos de estos vectores son en el plano que son
definido por nuestro video.
Así que si soy un vector que es perpendicular a la pantalla,
cualquiera que sea Estás viendo esto en y, a continuación, va a ser
perpendicular a ambos de estos vectores.
Y ¿cómo averiguar si ese vector salta o salta
¿en la página?
¿Usamos la regla de la mano derecha, derecha?
En la regla de la mano derecha, tomamos--r es nuestro dedo índice,
F es nuestro dedo medio y cualquier dirección nuestro pulgar
puntos nos dice si somos o no--la dirección de
el producto cruzado.
Así que vamos a dibujar.
Déjame ver si puedo hacer un buen trabajo aquí.
Eso si es mi dedo índice, y podrías imaginar su
mano sentado encima de esta pantalla.
Por lo que es mi dedo índice que representa r, y este es mi
mano derecha.
Recuerde, sólo funciona con la mano derecha.
Si lo hace la mano izquierda, va a ser todo lo contrario.
Y entonces mi dedo va a ir en la dirección
de f y luego el resto de mis dedos son--y me alientan a
puedes hacer esto.
Si tuviera que dibujar--permítanme dibujar mis uñas tan te
saber lo que es.
Esto es la uña de mi dedo índice.
Esta es la uña de mi dedo medio.
¿Y en esta situación, donde va a ser mi pulgar?
Mi pulgar va a estar saltando.
Ojalá pudiera--es la uña de mi dedo pulgar.
¿Ojalá, tiene sentido, correcto?
Es la Palma de mi mano.
Que es el otro lado de mi--y pude mantener dibujo, pero
Ojalá, tiene sentido.
Este es mi dedo índice.
Este es el dedo medio.
Mi pulgar quede fuera de la página, por lo nos dice
que el par es realmente apuntando hacia fuera de la página.
Así que la dirección de esta unidad vectorial n va a ser de
la página y nosotros podríamos significar por un círculo con un punto.
Y estoy casi en mi límite de tiempo, y por lo que tienes
: el producto que se aplica a la par.
Nos vemos en el siguiente vídeo.
בכל בעיות העוסקות במומנט, שעשינו
עד עכשיו, רק חישבנו את הערך המוחלט
של המומנט, כי זה בדרך כלל מה שמעניין
אותנו. אבל המומנט הוא בעצם וקטור,
וניתן למצוא את כוונו.
המומנט מוגדר כמכפלה הווקטורית
בין המרחק הרדיאלי מציר סיבוב נתון,
לבין הכוח הסיבובי המופעל.
שני אלה וקטורים.
בואו נסתכל על איך לימדתי מומנט בפעם
הראשונה, ואז אראה לכם איך זה אותו
הדבר כשמשתמשים במכפלה הווקטורית.
אלא שעכשיו, עם המכפלה הווקטורית, בנוסף
לערך המוחלט של המומנט, נקבל גם את כוונו.
נראה שזה לא משהו אינטואיטיבי כל כך,
אך זאת ההגדרה
של הכוון של המומנט.
מה לימדתי אותכם בקשר למומנט?
נגיד שיש לנו זרוע מסוימת, זה יכול להיות
מחוג של שעון, או שהזרוע תקועה בקיר כאן.
והזרוע יכולה להסתובב סביב הדבר הזה.
נגיד שזה מרחק r מהציר.
נגיד שהמרחק הזה שווה ל- 10.
זה אותו דבר כמו r, והערך המוחלט של r
שווה ל- 10.
במרחק 10 מטר מהציר, אני מפעיל כוח F.
את F אצייר בצהוב.
אני מפעיל כוח F.
אצייר אותו ישר.
אני מפעיל כוח F בזווית מסוימת.
זהו כוח F שלי.
גם הוא וקטור.
יש לו ערך מוחלט וכוון.
נגיד שזה 10 מטר, ושהכוח שאני
מפעיל הוא 7 ניוטון.
נעשה את זה יותר מעניין.
נגיד שאני מפעיל כוח השווה לשורש הריבועי
של 3 ניוטון.
ככה המספרים יסתדרו
יותר יפה בהמשך.
נגיד שהזווית בין הכוח לבין
הזרוע המסתובבת - ניתן
אותה ברדיאנים.
נגיד שהיא שווה לפאי חלקי 3, שזה שווה
ל- 60 מעלות.
טטה שווה לפאי חלקי 3.
מהו המומנט סביב הציר הזה, על בסיס
מה שלמדנו על מומנטים עד כה?
או, איזה מומנט מופעל על ידי הכוח הזה?
כשלמדנו על מומנטים, שמנו לב שהחלק הקשה
היחידי, בשאלות האלו, הוא
שאנו לא מכפילים את כל הכוח הסיבובי כפול
המרחק מציר הסיבוב.
עלינו להכפיל את הרכיב של הכוח הגורם לסיבוב,
או הרכיב של הכוח
המאונך לזרוע המסתובבת,
או המאונך לזרוע המומנט.
איך אנחנו מקבלים את זה?
אני יכול לצייר את הרכיב של הכוח
המאונך לזרוע הזה.
הוא ייראה משהו כזה.
יכולתי לצייר אותו כאן.
יכולתי לצייר אותו גם כאן, נכון?
זה יהיה הרכיב, או זה יהיה הרכיב,
המאונך לזרוע המסתובבת, וזה יהיה הרכיב
המקביל, אך הוא
לא מעניין אותנו.
הוא לא תורם לסיבוב.
היחידי שתורם לסיבוב
הוא הרכיב הזה של הכוח.
מהו הערך המוחלט של הווקטור הזה, כאן?
הרכיב של וקטור F המאונך לזרוע הזאת.
זאת הזווית - אצייר משולש
קטן כאן.
זה השורש הריבועי של 3, זה פאי חלקי 3 רדיאנים,
או 60 מעלות, וזאת זווית ישרה. זה פאי חלקי 3.
אני יודע שקשה לקרוא.
מהו האורך הזה, כאן?
זה משולש 30-60-90, ואנו יודעים
שהאורך הזה כאן - ישנן דרכים שונות
לחשוב על זה.
מלימודי טריגונומטריה, אנו יודעים שזה השורש
הריבועי של 3, כפול סינוס של פאי חלקי 3, או
סינוס של 60 מעלות, וזה שווה לשורש הריבועי
של 3.
סינוס פאי חלקי 3, או סינוס 60, שווה
לשורש הריבועי של 3, חלקי 2.
השורש הריבועי של 3, כפול השורש הריבועי של 3
שווה 3, על כן זה שווה ל- 3/2.
הערך המוחלט של וקטור הכוח שהוא מאונך,
הרכיב המאונך לזרוע, הוא 3/2 ניוטון,
ועכשיו אנו יכולים לחשב את הערך המוחלט
של המומנט.
זה 3/2 ניטון כפול 10 מטר.
אז, הערך המוחלט של המומנט - אני קצת יותר
זהיר עם הסימונים, כדי לזכור
שהמומנט הוא בעצם וקטור,
או כמו שמכנים אותו, פסוידו-וקטור,
כי הוא סוג של, בעצם איני רוצה להיכנס לזה.
אז, מהו הערך המוחלט של וקטור המומנט?
זה 3/2 ניטון, כפול המרחק - זכרו
שציירתי את הווקטור כאן, רק כדי
להראות לכם את הרכיב.
יכולתי להזיז את הווקטור לכאן,
כי זה המקום האמיתי בו הכוח מופעל.
אפשר לצייר כאן את אותו הווקטור כי
ניתן להזיז וקטורים במקביל. זה 3/2 ניטון, וכך
זה נראה אולי קצת יותר ברור.
3/2 ניוטון כפול המרחק מציר הסיבוב,
כלומר, כפול 10 מטר,
למה זה שווה?
זה שווה ל- 15 ניטון-מטר.
הערך המוחלט של המומנט הוא 15 ניוטון-מטר.
את כל זה כבר ידענו. אני מניח שזה נראה
לכם מוכר.
זה מה שלמדנו כשעסקנו במומנטים.
מה שעשינו עד כה, זה לחשב את הערך המוחלט
של המומנט.
אך, מה אם אנו רוצים לדעת את כוונו?
זה מקומה של המכפלה הווקטורית.
מהי ההגדרה של מכפלה וקטורית?
מכפלה וקטורית של r כפול F, שווה לערך המוחלט
של r, כפול הערך המוחלט של F, כפול סינוס
הזווית הקטנה
בין שניהם, כפול וקטור שהוא מאונך לשניהם.
פה תעזור המכפלה הווקטורית, כי כל אלה
הם גדלים סקלריים, נכון?
אלה לא מגדירים את הכוון.
הכוון מוגדר לגמרי על ידי וקטור היחידה הזה.
וקטור יחידה הוא וקטור שהערך המוחלט שלו
שווה 1,
והוא פונה לכוון מסוים.
החלק הזה של המכפלה הווקטורית
נותן לנו את הערכים המוחלטים, אותם כבר
חישבנו כשהשתמשנו במה שידענו מקודם
על מומנטים.
הערך המוחלט של וקטור הכוח, כפול סינוס טטה,
נתן לנו את רכיב וקטור הכוח,
המאונך לזרוע.
אנו הכפלנו את זה כפול הערך המוחלט של r,
וקיבלנו את הערך המוחלט של המומנט, שהוא 15.
בינתייםנעזוב את הניוטון-מטר.
15, וכוונו הוא לפי הווקטור הזה
שסימנו אותו בתור n.
אפשר לקרוא לו הווקטור הנורמלי.
מה אנו יודעים על הווקטור הזה?
הוא מאומך גם ל- r - זה r - וגם
מאונך ל- F.
הצורה היחידה בה אני יכול לראות את זה
בעולם התלת ממדי, וקטור זשהוא מאונך לזה
ולזה, או שהוא נכנס אל תוך הדף, או
שהוא יוצא ממנו, נכון?
מכיוון ששני הווקטורים האלה נמצאים במישור
המוגדר על ידי הלוח.
אם אני וקטור המאונך ללוח,
או למסך שלכם, זה יהיה
מאונך לשני הווקטורים האלה.
איך אני יודע אם הווקטור יוצא החוצה,
או נכנס אל תוך הדף?
אנו משתמשים בכלל יד ימין, נכון?
בכלל יד ימין אנו לוקחים - r הוא האצבע המורה,
וקטור F הוא האמה, והכוון אליו מכוון האגודל
מצביע על הכוון של
המכפלה הווקטורית.
נצייר את זה.
בואו נראה אם אצליח.
זאת האצבע המורה שלי - אתם יכולים לדמיין את
היד שלכם יושבת על המסך הזה.
זאת האצבע המורה, המייצגת את r, וזאת
היד הימנית שלי.
זכרו, זה עובד רק עם יד ימין.
אם תשתמשו ביד שמאל, תקבלו את הכוון המנוגד.
האמה שלי תהיה מכוונת בכוון
של F, ואז כל יתר האצבעות הם - אני מציע
לכם לצייר את זה.
אני אצייר גם את הציפורניים,
כדי שתזהו את זה.
זאת הציפורן של האצבע המורה.
זאת הציפורן של האמה.
במקרה זה, לאיזה כוון מצביע האגודל?
האגודל שלי מצביע החוצה.
הלוואי יכולתי - זאת הציפורן של האגודל.
זה נראה סביר, נכון?
זאת כף היד שלי.
יכולתי להמשיך לצייר, אך אני מקווה
שזה מובן.
זאת האצבע המורה שלי.
זאת האמה שלי.
האגודל שלי מצביע החוצה מהדף, וזה אומר
שכוון המומנט הוא החוצה מהדף.
הכוון של וקטור היחידה, n, הוא החוצה מהדף.
אנו יכולים לסמן את זה בעזרת עיגול עם נקודה.
אני מתקרב לגבול הזמן של הסירטון.
זה היה יישום של המכפלה הווקטורית במומנט.
נתראה בסירטון הבא.
지금까지 물리 강의에서 다뤘던
모든 돌림힘 문제에서는 돌림힘의 크기에 대해서만 얘기했었는데
이게 문제되는 것이
실제로 돌림힘은 벡터값을 가지기 때문에
방향까지 알 수 있어야 한다는 것입니다
이는 돌림힘이 회전축으로부터
거리와 회전력 두값의 외적으로
정의되는데
두 값이 벡터값이기 때문입니다
벡터에 대해 살펴보고
외적을 어떻게 계산하는지
배우도록 하겠습니다
외적을 고려하지 않고
돌림힘의 크기 또한 제외하고 방향만 생각해 보겠습니다
여기서 방향은 돌림힘 방향을
의미하는 것입니다
이해하실 수 있으신지 모르겠네요
전에 돌림힘에 대해 배웠을 때 뭐라고 했었죠?
여기 팔이 하나 있습니다
시계바늘이라고 생각해도 되고 벽에 한쪽이 고정되어있다고 생각해보겠습니다
그럼 결국 이 팔은 회전할 것입니다
고정된 중심점으로부터 거리를 r이라고 하고
그 값을 10이라고 합시다
여기서 r은 r의 크기값인
10을 의미합니다
중심점으로부터 거리 10에서 힘 F를 가한다면
F는 노란색으로 표현해 볼게요
F를 중심에서 10만큼 떨어진 곳에
그리도록 하겠습니다
F는 각을 가지고 있는 값입니다
이게 F입니다
이 값은 벡터값입니다
크기와 방향을 가지고 있습니다
10미터 거리에
7뉴턴(N)의 힘을 가해보죠
아니 좀 더 계산이 용이하게 풀겠습니다
F의 크기를 제곱근 3이라고 해보죠
좀 더 잘 풀어지도록 하기 위해서
숫자를 바꾼겁니다
평평한 팔과 회전한 힘 F가
각을 가진다고 할 때
라디안으로 각을 표시하겠습니다
각을 파이/3 값인
60도라고 한다면
파이/3값이 쎄타가 됩니다
앞서 배웠던 것들에 기초해 볼때
중심으로부터 돌림힘은 얼마가 될까요?
혹은 힘F를 가했을 때 돌림힘 값은 얼마인가요?
문제에서 까다로운 것이
단순히 회전하는 힘 전체에
회전축으로부터 거리를 곱해서는
안된다는 것입니다
실제적으로 회전하도록하는
회전방향에 수직인 성분값을
곱해야 합니다
이 값은 어떻게 구할까요?
회전하는 팔의 수직인 성분이
힘의 성분이 됩니다
그림을 그려보면
여기 이렇게 표시할 수 있습니다
또 여기 이렇게 표시하고, 맞죠?
이 성분은 회전하는 팔에
수직인 요소이고
다른 이 성분은 수평 요소지만
여기서는 필요없는 값입니다
이 수평값은 회전하는데 기여하지 않습니다
회전에 기여하는 성분은
힘의 두 성분 중 수직인 부분입니다
이 수직 벡터의 크기는 얼마인가요?
벡터 F의 성분은 평평한 팔에 수직입니다
이 각을 여기 아래에
삼각형으로 그려보죠
빗면이 제곱근3이고 사이각이 pi/3인
60도라면 이게 바로 그 각이겠죠
여기 길이는 얼마일까요?
삼각형의 각이 30도 60도 90도이니
여기 길이를 알 수 있습니다
길이를 구할 수 있는 몇 가지 방법이 있는데
삼각법을 이용한다면
길이값은 제곱근3 × sin(파이/3),
혹은 제곱근3 ×sin(60도)가 됩니다
sin(파이/3) 혹은 sin(60도)는
(제곱근3)/2입니다
분자값인 제곱근3에 제곱근3을 곱하면
답은 3/2가 됩니다
F의 수직 성분이
평평한 팔에 수직값인
3/2 뉴턴(N)이고
돌림힘의 크기값을 알 수 있습니다
돌림힘은 3/2뉴턴(N)에 10미터(m)를 곱한 값이 됩니다
돌림힘의 크기를 구했고
이 값이 실제로 벡터값, 혹은
수도벡터로 생각하고
표현해야 합니다
이것은 더 설명하지 않기로 하죠
돌림힘의 크기는 얼마일까요?
3/2N에 거리를 곱한
그 성분을 보여주기 위해서
벡터 하나를 그리도록 하겠습니다
힘이 작용하는 곳에
벡터를 이동시켜보겠습니다
벡터를 평행이동시켜
동일한 벡터 3/2뉴턴(N)을 그리면
더 확실히 벡터를 구할 수 있습니다
3/2뉴턴(N)에 중심점으로부터 거리인
10미터(m)를 곱한 값이 됩니다
그 값은 얼마가 될까요?
15뉴턴(N)이 나옵니다
돌린힘의 크기는 15뉴턴(N)이 됩니다
앞서 배웠던 내용들과
비슷한 부분들이 있는데요
이미 모멘트와 돌림힘에서 배웠던
내용이지만 이전에는
그 크기만 알 수 있었습니다
힘의 방향은 어떻게 알 수 있을까요?
외적의 정의와 대입 방법은
무엇일까요?
외적 (벡터값r×벡터값F)은
r의 크기값에 F의 크기값을 곱한 값에
두 벡터의 사이각 중 작은 각의 사인값을 곱하고
두 벡터에 수직한 벡터값을 곱한 값과 같습니다
여기에 모든 값들이 스칼라 값이기 때문에
방향을 나타내진 않습니다
방향은 단위벡터에 의해서 표현되는데
단위벡터는 특정방향을 가리키는
크기가 1인 벡터를 말합니다
외적에서 이 부분은
크기를 나타내며 돌림힘을 배우기 전에
우리가 알고 있던 방법들로 이런 스칼라값을 구할 수 있습니다
힘 벡터의 크기값에 사인쎄타값을 곱하면
회전 팔에 수직한 성분값을
구할 수 있게 됩니다
그 값에 r의 크기값을 곱하면
돌림힘 벡터의 크기를 구할 수 있고 15가 됩니다
일단 N × m 단위를 빼도록 하죠
크기가 15로 방향은 n인
벡터로 표시할 수 있습니다
이 벡터n을 법선벡터라고 합니다
이 벡터에 대해 뭘 알 수 있을까요?
이 벡터는 벡터r과 벡터F,
두 벡터에 수직입니다
두 벡터 모두에 수직인 벡터를
3차원 공간상에 표현할수 있는 방법은
이 화면에서 앞으로 나오거나
뒤로 들어간 벡터를 그리는 방법이 있겠네요
두 벡터가 지금 보고 있는
화면위에 표현되고 있기 때문입니다
만약 화면위에 수직인 벡터를 가정한다면
두 벡터 모두에 수직이 될겁니다
그렇다면 법선 벡터가 화면쪽으로
들어가는지 나오는지 어떻게 알 수 있나요?
여기서 오른손 법칙을 쓰면 되겠네요
오른손 법칙대로라면 r을 두번째 손가락으로
F는 가운데 손가락으로 두게 되면
엄지 손가락이 외적의
방향이 됩니다
그럼 그려보겠습니다
여기 잘 그릴 수 있는지 확인해 보겠습니다
이것을 두번째 손가락이라고 하면
화면 위에 올려둔 손가락을 상상해 볼수 있겠네요
두번째 손가락이 r값을 나타내고
이 손은 오른손입니다
오른손만 적용할 수 있다는 것을 명심하세요
만약 왼손을 사용한다면 방향이 반대가 되기 때문입니다
가운데 손가락은 벡터F의 방향으로 두세요
나머지 손가락은 그냥 이렇게
동그라미로 그리셔도 됩니다
제가 그린 손가락에는 뭔지 알아보기
쉽도록 손톱을 그리도록 하겠습니다
두번째 손가락에 손톱을 그리고
세번째 손가락 손톱도 그려보겠습니다
이 상황에서 엄지 손가락은 어디로 향해있나요?
제 엄지는 화면 밖으로 나오는 방향이군요
엄지 손톱 방향이 되겠네요
이해가 되시나요?
이건 손바닥입니다
다른쪽 면도 그려보고
이해를 위해 계속 그려보겠습니다
이게 두번째 손가락입니다
이건 세번째 손가락이 되겠죠
엄지는 화면쪽을 가리키므로
돌림힘의 방향은 화면쪽을 향합니다
단위 벡터 n의 방향은 화면 바깥방향을 가르키고
중심에 점을 찍은 원으로 표시할 수 있습니다
시간이 다 되었네요
돌림힘을 외적을 가지고
구해보았습니다
그럼 다음 비디오에서 뵐게요
Merhaba
Şimdiye kadar çözdüğümüz Tork problemlerinde
sadece torkun büyüklüğünü hesapladık.
Fakat bilindiği gibi tork, bir vektördür.
Bu nedenle torkun yönü de vardır.
-
Torkun vektör olması,
konum vektörü ile kuvvet vektörünün kartezyen çarpımı olarak tanımlanmış olmasındandır.
Bilindiği gibi, iki vektörün kartezyen çarpımı yine bir vektör verir.
-
-
-
-
-
-
-
-
Konuyu bir örnek çözerek anlamaya çalışalım.
Bir ucu çivi ile sabitlenmiş bir çubuğumuz olsun.
-
Bu çubuk çivi etrafında dönebilsin.
-
-
Kuvveti uygulayacağımız noktayı yani konum vektörünün büyüklüğünü çividen 10m uzakta seçelim.
r=10m
-
Çividen 10m uzaklıkta, yatayla belli bir açı yapan
bir F kuvveti uygulansın.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Kuvvetin büyüklüğünü kök 3 Newton olarak belirleyelim.
-
-
Kuvvetin yatayla yaptığı açı
-
-
pi/3 radyan olsun.
bu aynı zamanda 60 derece demektir.
-
Şimdi de kuvvetin çivi etrafında oluşturduğu torku bulmaya çalışalım.
-
-
Hatırlarsanız, Tork ve moment konularında
kuvvetin, kuvvet koluna dik olan bileşeni ile hesaplamalar yapıyorduk.
-
-
-
-
-
-
Sorumuza dönersek,
kuvvetin dönmeyi sağlayan yani kuvvet koluna dik olan bileşeni
şekil olarak şöyle çizilebilir.
-
-
-
-
-
Kuvvetin bir de yatay bileşeni vardır, fakat bu bileşen dönmeyi sağlamadığı için
onu hesaplamamıza gerek yoktur.
-
Burada dönmeyi sağlayan, kuvvetin sadece dik bileşenidir.
-
-
Kuvvetin dik bileşeninin büyüklüğünü hesaplayalım.
Kenarda bir dik üçgen çizerek hesaplamaları yapalım.
-
Eğer bu uzunluk kök 3 ve açı da pi/3 radyan (yani 60 derece) ise
-
-
pi/3 açısının karşısındaki bu dik uzunluk nedir onu bulmak istiyoruz.
-
-
-
Trigonometri kullanarak bu uzunluğun
[kök 3] x [ sin(pi/3) ] olduğunu buluruz.
-
sin(pi/3) aynı zamanda sin60 derece demektir.
sin60 ın (kök3) / 2 olduğunu trigonometriden biliyoruz
Öyleyse bu dik uzunluğun 3/2 olduğunu buluruz.
-
Bulduğumuz bu sonuç aslında
kuvvetin dik bileşeninin büyüklüğünün
3/2 Newton olduğu anlamına geliyor.
Şimdi torku hesaplamaya geçebiliriz.
-
-
-
-
Önce torkun büyüklüğünü hesaplayalım
Torkun büyüklüğünü mutlak değer içinde gösteriyoruz.
tork = kuvvet x kuvvet kolu formülünden
-
Kuvvetin dik bileşenini başlangıçta burada çizmiştim
Bunu bir üçgen oluşturmak için yapmıştım.
Fakat şurada çizsem daha doğru olacak.
Çünkü kuvvet bu noktadan uygulanıyor.
Bileşenleride bu nokta üstünde göstermek daha iyi.
-
-
-
-
-
tork = 3/2 x 10 = 15Nm olarak bulunur.
(torkun birimi Newton çarpı metredir.)
-
-
Şimdiye kadar çözdüğümüz örneklerde hep torkun büyüklüğünü bulduk.
-
-
Fakat şimdi torkun yönünü de hesaplayacağız.
Bunun için kartezyen çarpımı hatırlayalım.
-
(r kartezyen F) = (r'ın büyüklüğü) çarpı (F'in büyüklüğü) çarpı (aralarındaki açının sinüsü) çarpı (yön vektörü n)
-
Yön vektörü n, r ve F'e diktir.
yazdığımız kartezyen çarpımda vektör olan sadece n, diğerleri sadece skalar.
Öyleyse torkun yönü, n vektörünün yönüdür.
-
-
n aynı zamanda birim vektördür, yani büyüklüğü 1 dir.
-
Denkleme baştan bir bakalım.
Çerçeve içine aldığım bu bölüm torkun büyüklüğünü veriyor.
Torkun büyüklüğünü daha önce de hesaplayabiliyorduk.
Kuvvetin dönmeyi sağlayan bileşeninin büyüklüğünü bulup
kuvvet koluyla çarptığımızda
torkun büyüklüğünü buluyorduk ki bunu
15 Nm olarak bulmuştuk.
-
-
Şimdi bulmak istediğimiz bu 15Nm'nin yönü.
Bunu da yön vektörü olan, n belirleyecek.
-
n'in r ve F'e dik olduğunu biliyoruz.
-
-
Bu durumu 3 boyutta gözümüzde canlandırmaya çalışalım
n, r ve F'e dik ise, ya sayfadan içeri ya da sayfadan dışarı bir yönde olmalıdır.
-
Hemfikir misiniz?
r ve F'i aynı düzlemde düşünürsek, bu ikisine dik bir vektör
aynı düzlemde olamaz. Ancak bu düzleme dik bir düzlemde olabilir.
-
-
-
n'in yönünün düzlemden içeri mi dışarı mı olduğunu sağ el kuralı ile belirleriz.
-
-
Sağ el kuralını uygularsak
n'in sayfadan dışarı yönde olduğunu buluruz.
Bunu şekil olarak da çizmeye çalışalım.
Öncelikle sağ el kuralını sağ eli kullanarak uygulayacağınızı unutmayın.
-
işaret parmağı r'ın yönünü gösterecek.
-
-
-
-
-
-
Orta parmağım F'in yönünü gösterecek.
-
-
Tırnakları da çizeyim, anlaşılması daha kolay olabilir.
-
-
-
Başparmağım ise ekrandan dışarı doğru
yani size doğru .
-
Umarım şekille daha iyi anlaşılmıştır.
-
-
-
Bu işaret parmağı
bu, orta parmak
bu da başparmak.
Başparmağın yönü aynı zamanda torkun yönü.
O halde torkun yönünü sayfadan dışarı, yani ekrandan size doğru olduğunu bulmuş olduk.
Bu yönü fizikte "çember içinde bir nokta" işaretiyle gösteririz.
-
Süremiz doldu !
Gelecek videoda görüşürüz.
到目前为止
我在物理上做过的所有力矩问题中
我们只是算出了力矩的大小
因为这就是重要的
但是力矩实际上是个矢量
它是有方向的
这是因为力矩被定义成
到转轴的径向距离
和施加的力的叉乘
这些都是矢量
所以我们看一下
我第一次是怎么教你们矢量的
然后给你们展示为什么这和
我们用叉乘计算的是同样的
现在用叉乘
除了力矩的大小
我们还要算出方向
但是我们也会看到距离有点-
这只是力矩方向的定义
我不知道这实际上有多直观
之前讲力矩时我教了你们什么?
假设有力臂
我们设这可以是时钟的指针
或者它被钉到了墙上
所以它会绕着这个物体转动
我们设这个到枢轴的距离是r
我们设这个距离是10
也就等于r
r的大小是10
所以到枢轴的距离是10 我在这里施加一个力F
我要用黄色写下F
我施加了一个力F
我把这画成直的
我以某个角度施加力F
这是力F
也是个矢量
它有大小和方向
我们设这是10米
假设我们在这里施加了一个7牛顿的力
我让这更有趣一点
假设我施加了一个根3牛顿的力
我只是编造的
因为我认为这个数能算出来
我们设这个力和杠杆臂
或者转动臂
之间的夹角是 这一次我们用弧度
假设它是π/3
但是如果你们要形象化一点 这是60°
π/3等于θ
所以根据我们对于扭矩或力矩的了解
绕着这个支点的力矩是多少?
或者说这个力形成的力矩是多少?
当我们学习力矩或扭矩
我们发现 实际上这些问题最难的部分
是你们不能直接用力
乘以到转轴的距离
你们实际上要乘以引起旋转
的力的分量
或者垂直于转动臂的力
的分量
或者垂直于力臂的分量
所以我们怎么把这算出来?
垂直于这个力臂的
力的分量
我可以把这画出来
我看一下 它看起来是这样的
我可以把它画到这里
我也可以把这画到这里 对吧?
这应该是分量 或者这应该是
垂直于转动臂的分量
平行分量应该是这个
但是我们不管它
它对转动没有影响
对转动有用的唯一的力
就是力的这个分量
这个力的大小是多少?
矢量F的垂直于这个力臂的分量
如果这个角 我在下面画一下小的三角形
如果这是根3 这是π/3弧度或60°
这是个直角
这是π/3 我知道这看不清
这个长度是多少?
这是个30-60-90的三角形
我们知道这个长度
我的意思是 有很多考虑方法
既然我们知道了三角学知识
我们知道这是根3
乘以sinπ/3 或者sin60°
所以这就等于根3
sinπ/3或sin60°
就是根3除以2
所以根3乘以根3等于3
所以这就等于3/2
所以这个力矢量垂直力臂
的分量的大小是
3/2牛顿 现在 我们能算出
力矩的大小
就是3/2牛顿乘以10米
所以我们知道力矩的大小
对现在用的符号要小心点
要来提醒你们
力矩是个矢量 或者你们也可以把这看做
是伪矢量
因为这有点 不管怎样 我们不研究这个
所以力矩矢量的大小是多少?
就是3/2牛顿乘以这个距离 记住
我刚把矢量画到这里 来给你们展示分量
我可以把矢量移动到这里 因为这实际上
就是施加力的地方
你们可以在这里画一些矢量
因为矢量可以到处移动
所以这也是3/2牛顿
或者这让表达更清楚一点
所以就是3/2牛顿乘以
到转轴的距离 就是乘以10米
这等于多少?
15牛顿・米
所以这个力矩的大小是15牛顿・米
但是我们现在做的
希望这看起来有一点熟悉
这就是当我们学习力矩和扭矩的时候学的
但是现在我们做的是
算出了力矩的大小
但是如果想要知道方向会怎样
这就是叉乘要做的
叉乘的定义是什么?
叉乘 r×F 这就等于r的大小
乘以F的大小乘以它们之间较小夹角
的正弦 乘以与它们垂直的矢量
这实际上就是有用的地方
因为所有这里的这些
这些都是标量 对吧?
所以这些不用指定方向
方向由单位矢量表示
单位矢量就是长度是1
指向某个方向的矢量
看 这个叉乘 这部分
这部分得出了大小
我们只要用学过的算出力矩的方法来做
力矢量的大小乘以sinθ
这就得出了垂直于力臂的
力矢量的分量
我们只要用这乘以r的大小
就得到力矩矢量的大小 就是15
我们现在可以把牛顿・米略去
15 它的方向就是这个矢量
n矢量的方向
我们可以把它叫做法向矢量
对于这个矢量 我们知道什么?
垂直于r 这是r 对吧
垂直于F
唯一的
可以形象表示三维世界
一个矢量垂直于这两个
这个垂直纸面向里或向外 对吧?
因为这两个矢量在
屏幕所在平面内
所以如果我是垂直于屏幕的矢量
不管你们怎么看
它就垂直于这两个矢量
如果这个矢量垂直纸面
向里或向外 怎么算出来?
我们要用右手定则 对吧?
右手定则中 我们用 r用食指表示
F用中指
大拇指的方向就告诉了我们
我们是否- 叉乘的方向
所以我们把这画出来
我看一下能不能画好
所以如果这是食指
你们可以想象 你们的手放在屏幕上
所以食指代表r
这是我的右手
记住 这只对右手适用
如果用左手 就得出相反的方向
然后中指就指着
F的方向
然后剩下的手指
我鼓励你们把这画出来
所以如果我要画出来
我把指甲画出来 这样你们就知道这是什么
所以这是食指的指甲
这是中指的指甲
所以这种情况下 大拇指向着哪个方向
我的大拇指就是向外的
我希望可以 这是大拇指的指甲
希望这说得通 对吧?
这是我的手掌
这是另一边 我可以继续画
但是希望 这说得通
这是食指
这是中指
我的大拇指垂直纸面向外
所以这就告诉我们力矩
实际上是指向纸外的
所以单位矢量n的方向
就是向外的
我们可以用一个圈里面点一个点表示
我几乎到了时间限制了
所以这里就是
当施加力矩时的叉乘
下个视频再见
到目前爲止
我在物理上做過的所有力矩問題中
我們只是算出了力矩的大小
因爲這就是重要的
但是力矩實際上是個向量
它是有方向的
這是因爲力矩被定義成
到轉軸的徑向距離
和施加的力的叉乘
這些都是向量
所以我們看一下
我第一次是怎麽教你們向量的
然後給你們展示爲什麽這和
我們用叉乘計算的是同樣的
現在用叉乘
除了力矩的大小
我們還要算出方向
但是我們也會看到距離有點-
這只是力矩方向的定義
我不知道這實際上有多直觀
之前講力矩時我教了你們什麽?
假設有力臂
我們設這可以是時鍾的指針
或者它被釘到了牆上
所以它會繞著這個物體轉動
我們設這個到樞軸的距離是r
我們設這個距離是10
也就等於r
r的大小是10
所以到樞軸的距離是10 我在這裡施加一個力F
我要用黃色寫下F
我施加了一個力F
我把這畫成直的
我以某個角度施加力F
這是力F
也是個向量
它有大小和方向
我們設這是10米
假設我們在這裡施加了一個7牛頓的力
我讓這更有趣一點
假設我施加了一個根3牛頓的力
我只是編造的
因爲我認爲這個數能算出來
我們設這個力和杠杆臂
或者轉動臂
之間的夾角是 這一次我們用弧度
假設它是π/3
但是如果你們要形象化一點 這是60°
π/3等於θ
所以根據我們對於扭矩或力矩的了解
繞著這個分歧點的力矩是多少?
或者說這個力形成的力矩是多少?
當我們學習力矩或扭矩
我們發現 實際上這些問題最難的部分
是你們不能直接用力
乘以到轉軸的距離
你們實際上要乘以引起旋轉
的力的分量
或者垂直於轉動臂的力
的分量
或者垂直於力臂的分量
所以我們怎麽把這算出來?
垂直於這個力臂的
力的分量
我可以把這畫出來
我看一下 它看起來是這樣的
我可以把它畫到這裡
我也可以把這畫到這裡 對吧?
這應該是分量 或者這應該是
垂直於轉動臂的分量
平行分量應該是這個
但是我們不管它
它對轉動沒有影響
對轉動有用的唯一的力
就是力的這個分量
這個力的大小是多少?
向量F的垂直於這個力臂的分量
如果這個角 我在下面畫一下小的三角形
如果這是根3 這是π/3弧度或60°
這是個直角
這是π/3 我知道這看不清
這個長度是多少?
這是個30-60-90的三角形
我們知道這個長度
我的意思是 有很多考慮方法
既然我們知道了三角學知識
我們知道這是根3
乘以sinπ/3 或者sin60°
所以這就等於根3
sinπ/3或sin60°
就是根3除以2
所以根3乘以根3等於3
所以這就等於3/2
所以這個力向量垂直力臂
的分量的大小是
3/2牛頓 現在 我們能算出
力矩的大小
就是3/2牛頓乘以10米
所以我們知道力矩的大小
對現在用的符號要小心點
要來提醒你們
力矩是個向量 或者你們也可以把這看做
是僞向量
因爲這有點 不管怎樣 我們不研究這個
所以力矩向量的大小是多少?
就是3/2牛頓乘以這個距離 記住
我剛把向量畫到這裡 來給你們展示分量
我可以把向量移動到這裡 因爲這實際上
就是施加力的地方
你們可以在這裡畫一些向量
因爲向量可以到處移動
所以這也是3/2牛頓
或者這讓表達更清楚一點
所以就是3/2牛頓乘以
到轉軸的距離 就是乘以10米
這等於多少?
15牛頓・米
所以這個力矩的大小是15牛頓・米
但是我們現在做的
希望這看起來有一點熟悉
這就是當我們學習力矩和扭矩的時候學的
但是現在我們做的是
算出了力矩的大小
但是如果想要知道方向會怎樣
這就是叉乘要做的
叉乘的定義是什麽?
叉乘 r×F 這就等於r的大小
乘以F的大小乘以它們之間較小夾角
的正弦 乘以與它們垂直的向量
這實際上就是有用的地方
因爲所有這裡的這些
這些都是純量 對吧?
所以這些不用指定方向
方向由單位向量表示
單位向量就是長度是1
指向某個方向的向量
看 這個叉乘 這部分
這部分得出了大小
我們只要用學過的算出力矩的方法來做
力向量的大小乘以sinθ
這就得出了垂直於力臂的
力向量的分量
我們只要用這乘以r的大小
就得到力矩向量的大小 就是15
我們現在可以把牛頓・米略去
15 它的方向就是這個向量
n向量的方向
我們可以把它叫做法向向量
對於這個向量 我們知道什麽?
垂直於r 這是r 對吧
垂直於F
唯一的
可以形象表示三維世界
一個向量垂直於這兩個
這個垂直紙面向裏或向外 對吧?
因爲這兩個向量在
屏幕所在平面內
所以如果我是垂直於屏幕的向量
不管你們怎麽看
它就垂直於這兩個向量
如果這個向量垂直紙面
向裏或向外 怎麽算出來?
我們要用右手定則 對吧?
右手定則中 我們用 r用食指表示
F用中指
大拇指的方向就告訴了我們
我們是否- 叉乘的方向
所以我們把這畫出來
我看一下能不能畫好
所以如果這是食指
你們可以想象 你們的手放在屏幕上
所以食指代表r
這是我的右手
記住 這只對右手適用
如果用左手 就得出相反的方向
然後中指就指著
F的方向
然後剩下的手指
我鼓勵你們把這畫出來
所以如果我要畫出來
我把指甲畫出來 這樣你們就知道這是什麽
所以這是食指的指甲
這是中指的指甲
所以這種情況下 大拇指向著哪個方向
我的大拇指就是向外的
我希望可以 這是大拇指的指甲
希望這說得通 對吧?
這是我的手掌
這是另一邊 我可以繼續畫
但是希望 這說得通
這是食指
這是中指
我的大拇指垂直紙面向外
所以這就告訴我們力矩
實際上是指向紙外的
所以單位向量n的方向
就是向外的
我們可以用一個圈裏面點一個點表示
我幾乎到了時間限制了
所以這裡就是
當施加力矩時的叉乘
下個影片再見