ลองจินตนาการว่าเราอยู่ในยุคก่อนประวัติศาสตร์
ลองคิดดูว่า
เราสามารถรู้เวลาได้อย่างไร โดยไม่มีนาฬิกา
นาฬิกาทุกเรือนมีพื้นฐานมาจากวัฎจักรที่เกิดขึ้นซ้ำๆ กัน
ซึ่งแบ่งเวลาเป็นส่วนๆ ละเท่าๆ กัน
ในการหาวัฎจักรที่เกิดขึ้นซ้ำๆ กันนั้น
เรามองไปยังท้องฟ้า
เราเห็นดวงอาทิตย์ขึ้น และตกลงในทุกวัน
แต่หากเราต้องการรู้เวลาในระยะยาวกว่านี้
เรามองหาวัฎจักรที่ยาวนานกว่านี้
อย่างเช่น เรามองไปยังดวงจันทร์แทน
ซึ่งรูปร่างหน้าตาจะเปลี่ยนในแต่ละวัน
เมื่อเรานับจำนวนวัน ระหว่างพระจันทร์เต็มดวง
เราจะได้ 29 วัน
ซึ่งนี่คือที่มาของ เดือน
แต่ถ้าเราจะแบ่งตัวเลข 29 เป็นส่วนๆ ที่เท่าๆ กัน
เราจะพบว่ามันเป็นไปไม่ได้
ทางเดียวที่จะแตกเลข 29 เป็นส่วนเท่าๆ กันได้นั้น
คือแตกออกเป็น 1 หน่วย 29 อัน
เพราะ 29 คือจำนวนเฉพาะ
ซึ่งไม่สามารถแตกออกเป็นตัวเลขย่อยๆ ได้
ถ้าตัวเลขสามารถแบ่งออกเป็นส่วนๆ ได้
เราเรียกว่า จำนวนประกอบ
ตอนนี้เราอาจจะสงสัยว่า
มีจำนวนเฉพาะจำนวนกี่ตัว
และมีขนาดใหญ่ได้ขนาดไหน
เราจะเริ่มโดยแบ่งตัวเลขเป็น 2 ประเภท
เราจะให้จำนวนเฉพาะอยู่ทางซ้าย
และจำนวนเฉพาะอยู่ทางขวา
ในตอนแรก เราอาจจะเห็นว่าตัวเลขนั้นไปๆ มาๆ ทั้งสองฝั่ง
เรายังไม่เห็นที่มาของการเรียงลำดับนี้ได้อย่างชัดเจนนัก
ทีนี้ เราจะใช้วิธีสมัยใหม่
เพื่อให้เราเห็นภาพ
ซึ่งเราจะใช้วงเกลียวของ Ulam
ซึ่งเราจะเรียงตัวเลขทุกตัวที่เป็นไปได้
เป็นก้นหอยที่เป็นวงออกไปเรื่อยๆ
แล้วเราจะระบายสีจำนวนเฉพาะเป็นสีน้ำเงิน
ทีนี้ เมื่อเราซูมออกมาจนสามารถเห็นตัวเลขได้เป็นล้านตัว
นี่คือลำดับของจำนวนเฉพาะ
ซึ่งออกไปเรื่อยๆ
ซึ่งโครงสร้างของวงเกลียวนี้
ยังไม่เคยมีใครพิสูจน์ได้
เราจะเริ่มเรื่องของเราแล้ว
ทีนี้เราจะ
ไปในช่วง 300 ก่อนคริสต์กาล ในกรีกโบราณ
นักปรัชญาที่ชื่อว่ายูคลิด
เข้าใจว่าตัวเลขทุกตัวนั้น
สามารถแบ่งออกได้เป็นสองประเภท
เขาเข้าใจว่าตัวเลขทุกตัว
สามารถหารลงไปเรื่อยๆ
จนถึงกลุ่มตัวเลขที่เล็กที่สุด
ซึ่งกลุ่มตัวเลขที่เล็กที่สุดนี้
คือจำนวนเฉพาะ
ซึ่งเขากล่าวว่าตัวเลขทุกตัว
นั้นเกิดจากการรวมตัวกันของจำนวนเฉพาะ
เพื่อให้เข้าใจกัน ลองจินตนาการตัวเลขทุกตัว
ที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
ทีนี้ ลองนำจำนวนประกอบตัวใดก็ได้มาแตกออก
แล้วเราจะเหลือไว้แค่จำนวนเฉพาะ
ซึ่งยูคลิดรู้ว่าตัวเลขทุกตัว
สามารถแสดงออกมา โดยกลุ่มจำนวนเฉพาะ
ซึ่งเราสามารถเปรียบเทียบได้ว่ามันคือ โครงสร้าง
ซึ่งตัวเลขทุกตัวที่คุณเลือก
สามารถสร้างขึ้นมาจากกลุ่มจำนวนเฉพาะที่เล็กกว่า
ซึ่งนี่คือที่มาของ
ทฤษฎีพื้นฐานของตัวเลข
แล้วนำตัวเลขอะไรก็ได้ เช่น 30
แล้วหาจำนวนเฉพาะทุกตัว
ที่มันสามารถหารได้ลงตัว
ซึ่งกระบวนการนี้เป็นการแยกตัวประกอบ
จะทำให้เรารู้จำนวนเฉพาะ
ในกรณีนี้ 2, 3 และ 5 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 30
ยูคลิดรู้ว่า คุณสามารถคูณ
ตัวเลขเหล่านี้ในจำนวนครั้งที่ถูกต้อง
เพื่อสร้างตัวเลขเดิม
ในกรณีนี้ คุณเพียงแค่
คูณตัวประกอบเฉพาะแต่ละตัวด้วยกันเพื่อสร้างตัวเลข 30
2 คูณ 3 คูณ 5 คือตัวประกอบเฉพาะของ 30
คิดว่า มันเป็นคีย์พิเศษ
ซึ่งไม่มีวิธีอื่นในการสร้างตัวเลข 30
โดยยนำจำนวนเฉพาะกลุ่มอื่น ๆ
มาคูณเข้าด้วยกัน
ดังนั้นตัวเลขทุกตัวจะมี
วิธีการแยกตัวประกอบเพียง 1 วิธีเท่านั้น
การเปรียบเทียบที่ดีคือ ลองจินตนาการว่าตัวเลขแต่ละตัวเลข
คือล็อคที่แตกต่างกัน
กุญแจของมัน
คือการแยกตัวประกอบที่เฉพาะเจาะจง
ไม่มีล็อคสองอันที่จะใช้กุญแจเหมือนกัน
ไม่มีตัวเลข 2 ตัวที่ใช้วิธีการแยกตัวประกอบเฉพาะเหมือนกัน