Imaginem que vivemos na pré-história. Agora pensem no seguinte: Como anotaríamos a passagem do tempo sem um relógio? Todos os relógios se baseiam num padrão repetitivo que divide o tempo em partes iguais. Para encontrar esses padrões repetitivos olhamos para os céus. O nascer e o pôr do Sol em cada dia é o mais óbvio. Contudo, para anotar a passagem de períodos mais longos de tempo temos de procurar ciclos mais longos. Para isso observamos a Lua, que parece crescer e diminuir ao longo de vários dias. Quando contamos o número de dias entre duas luas cheias notamos que são 29. Foi assim que se "inventou" o mês. No entanto, se tentarmos dividir 29 em partes iguais temos um problema: não é possível. A única maneira de dividir 29 em partes iguais é "parti-lo" nas suas unidades unitárias. 29 é um número primo. Pensem nele como sendo inquebrável. Se um número pode ser dividido em partes iguais maiores que a unidade chamamos-lhe número composto. Nesta altura, se formos curiosos poderemos perguntar-nos: quantos números primos há e qual é o maior deles? Comecemos por separar todos os números em duas categorias. os números primos à esquerda, e os números compostos à direita. Ao princípio parecem dançar para cá e para lá. Não se nota um padrão óbvio, aqui. Então vamos usar uma técnica moderna para vermos o quadro geral. O truque é usar a espiral Ulam. Primeiro ordenamos todos os números possíveis numa espiral crescente. Depois pintamos os números primos de azul. Finalmente, olhámos de longe para vermos milhões de números. Este é o padrão dos números primos, que continua ininterruptamente. Inacreditàvelmente, ainda não se conseguiu, até hoje, conhecer toda a estrutura deste padrão. Estamos a chegar a alguma coisa. Então saltemos até cerca do ano 300 A.C., na Grécia Antiga. Um filósofo conhecido como Euclides de Alexandria percebeu que todos os números podiam ser separados nestas duas categorias. Começou por tomar consciência de que qualquer número pode ser dividido sucessivamente até se chegar a um grupo de pequenos números. E, por definição, esses pequenos números são sempre números primos. Ou seja: ele descobriu que todos os números são, de algum modo, formados a partir de pequenos úmeros primos Vamos esclarecer. Imagine um universo de todos os números E ignore os números primos. Agora escolha um número composto e decomponha-o e vai acabar por ficar com números primos. Portanto, Euclides sabia que qualquer número podia ser expresso usando um grupo de pequenos números primos. Pense neles como sendo tijolos. Seja qual for o número que escolhamos ele pode, sempre, ser construído com um agrupamento de pequenos números primos Esta é a raiz da descoberta conhecida como Teorema Fundamental da Aritmética. Para continuar, tomemos um número, por exemplo, 30 e encontremos os números primos que o constituem. É o que chamamos factorização. Com isto vamos encontrar os factores primos, Neste caso 2, 3 e 5 são os factores primos de 30. Euclides descobriu que podemos multiplicar estes factores primos de uma maneira específica para construir o número original Neste caso basta multiplicar uma vez cada um dos factores para obter 30: 2 vezes 3 vezes 5 é a factorização de 30. Imaginemos que esse produto é uma chave especial, ou uma combinação Não há outra maneira de refazer 30 usando o produto de qualquer outro grupo de números primos. Portanto, qualquer número tem uma única factorização em números primos. Uma boa analogia é imaginar que cada número é um cadeado diferente. A única chave para este cadeado será a sua factorização. Não há dois cadeados com a mesma chave Não há dois números com a mesma factorização. Uma boa analogia é imaginar cada número como um cadeado diferente. A unica chave para cada cadeado seria sua fatorização prima Nenhum cadeado divide uma chave com outro. E nenhum número divide sua fatorização prima.