Imaginem que vivemos na pré-história.
Agora considerem o seguinte:
Como anotaríamos a passagem do tempo sem um relógio?
Todos os relógios se baseiam em um padrão repetitivo
que divide o tempo em partes iguais.
Para encontrar esses padrões repetitivos
olhamos para os céus.
O nascer e o pôr do Sol em cada dia é o mais óbvio.
Contudo, para anotar a passagem de períodos mais longos de tempo
temos de procurar ciclos mais longos.
Para isso observamos a Lua,
que parece crescer e diminuir gradualmente ao longo de vários dias.
Quando contamos o número de dias entre duas luas cheias
notamos que são 29.
Essa foi a "origem" do mês.
No entanto, se tentarmos dividir 29 em partes iguais
temos um problema: não é possível.
A única maneira de dividir 29 em partes iguais
é "parti-lo" nas suas unidades unitárias.
29 é um número primo.
Pensem nele como sendo inquebrável.
Se um número pode ser dividido em partes iguais maiores que a unidade
chamamos ele de "número composto".
Agora, se formos curiosos, podemos nos perguntar:
quantos números primos existem
e quão grande eles podem ser?
Comecemos por separar todos os números em duas categorias.
os números primos à esquerda,
e os números compostos à direita.
Ao princípio parecem dançar para cá e para lá.
Não se nota um padrão óbvio, aqui.
Então vamos usar uma técnica moderna
para vermos o quadro geral.
O truque é usar a espiral de Ulam.
Primeiro ordenamos todos os números possíveis
numa espiral crescente.
Depois pintamos os números primos de azul.
Finalmente, olhamos de longe para vermos milhões de números.
Este é o padrão dos números primos,
que continua ininterruptamente.
Inacreditavelmente, ainda não se conseguiu,
até hoje, conhecer toda a estrutura deste padrão.
Estamos chegando em algum lugar.
Então saltemos até cerca do
ano 300 A.C., na Grécia Antiga.
Um filósofo conhecido como Euclides de Alexandria
percebeu que todos os números
podiam ser separados nestas duas categorias.
Começou por tomar consciência de que qualquer número
pode ser dividido sucessivamente
até se chegar a um grupo de pequenos números.
E, por definição, esses pequenos números
são sempre números primos.
Ou seja: ele descobriu que todos os números são, de algum modo,
formados a partir de pequenos números primos
Para ser claro, imagine um universo de todos os números
E ignore os números primos.
Agora escolha um número composto e decomponha-o
e vai acabar por ficar com números primos.
Portanto, Euclides sabia que qualquer número
podia ser expresso usando um grupo de pequenos números primos.
Pense neles como sendo tijolos.
Seja qual for o número que escolhamos
ele pode, sempre, ser construído com um agrupamento de pequenos números primos
Esta é a raiz da descoberta conhecida como
Teorema Fundamental da Aritmética.
Para continuar, tomemos qualquer número, por exemplo, 30
e encontremos os números primos
que o constituem.
É o que chamamos "fatorização".
Com isto vamos encontrar os fatores primos.
Neste caso 2, 3 e 5 são os fatores primos de 30.
Euclides descobriu que podemos multiplicar
estes fatores primos, um número específico de vezes
para construir o número original
Neste caso basta
multiplicar uma vez cada um dos fatores para obter 30:
2 vezes 3 vezes 5 é a fatorização de 30.
Imaginemos que esse produto é uma chave especial, ou uma combinação
Não há outra maneira de refazer 30
usando o produto de qualquer
outro grupo de números primos.
Portanto, qualquer número tem uma
única fatorização em números primos.
Uma boa analogia é imaginar que cada número
é como um cadeado diferente.
A única chave para este cadeado
seria sua fatorização prima
Não há dois cadeados com a mesma chave
Não há dois números com a mesma fatorização.
(Legendas por Nicolas de Casteja)