1
00:00:04,420 --> 00:00:07,221
La oss forestille oss, at vi levde for lang, lang tid siden.

2
00:00:07,221 --> 00:00:09,468
La oss prøve å tenke over,

3
00:00:09,468 --> 00:00:12,721
hvordan vi holdt styr på tiden uten klokke.

4
00:00:12,721 --> 00:00:15,315
Alle klokker er basert på et gjentatt mønster,

5
00:00:15,315 --> 00:00:18,890
som deler hele tiden opp i like store deler.

6
00:00:18,890 --> 00:00:20,688
For å finne de gjentatte mønstrene

7
00:00:20,688 --> 00:00:22,918
ser vi på himmelen.

8
00:00:22,918 --> 00:00:24,902
Det er klart, at solen står opp og ned hver dag,

9
00:00:24,902 --> 00:00:26,184
men når vi skal holde styr på lengre tidsrom,

10
00:00:26,184 --> 00:00:28,760
skal vi se etter lengre sykluser.

11
00:00:28,760 --> 00:00:30,811
Vi kan se på månen,

12
00:00:30,811 --> 00:00:32,512
det ser ut som den vokser og minsker over mange dager.

13
00:00:32,512 --> 00:00:33,853
Når vi teller antallet av dager mellom fullmåne,

14
00:00:33,853 --> 00:00:36,578
finner vi ut av at, det er 29.

15
00:00:36,578 --> 00:00:37,894
Det er sånn, man fant opp en måned.

16
00:00:37,894 --> 00:00:38,978
Når vi skal prøve å dele 29 opp i like store deler,

17
00:00:38,978 --> 00:00:40,910
finner vi ut av, at det er umulig.

18
00:00:40,910 --> 00:00:42,833
Den eneste måneden, vi kan dele opp 29 i like store deler

19
00:00:42,833 --> 00:00:45,873
er ved å splitte det opp i grupper av 1.

20
00:00:45,873 --> 00:00:49,227
29 er nemlig et primtall.

21
00:00:49,227 --> 00:00:51,676
Vi kan tenke på det som udelelig.

22
00:00:51,676 --> 00:00:54,819
Hvis et tal kan bli delt opp i like store deler, som er større enn 1,

23
00:00:54,819 --> 00:00:57,102
kaller vi det et sammensatt tall.

24
00:00:57,102 --> 00:00:59,061
Hvis vi er nysgjerrige, kommer vi kanskje til å tenke på,

25
00:00:59,061 --> 00:01:00,879
hvor mange primtall, det er,

26
00:01:00,879 --> 00:01:02,814
og hvor store de blir.

27
00:01:02,814 --> 00:01:04,621
La oss starte med å dele alle tall inn i 2 kategorier.

28
00:01:04,621 --> 00:01:06,608
Vi setter primtallene til venstre

29
00:01:06,608 --> 00:01:08,450
og de sammensatte tallene til høyre.

30
00:01:08,450 --> 00:01:10,398
Til å starte med ser de ut til å være litt her og der.

31
00:01:10,398 --> 00:01:13,744
Det ser ikke ut som det er et mønster.

32
00:01:13,744 --> 00:01:15,611
La oss bruke en moderne teknikk

33
00:01:15,611 --> 00:01:17,648
til å se det fulle bildet.

34
00:01:17,648 --> 00:01:20,379
Teknikken er å bruke Ullam-spiralen.

35
00:01:20,379 --> 00:01:23,017
Først stiller vi alle tall i rekkefølge

36
00:01:23,017 --> 00:01:24,439
i en voksende spiral.

37
00:01:24,439 --> 00:01:26,077
Så farger vi alle primtallene blå.

38
00:01:26,077 --> 00:01:29,047
Til slutt forminsker vi bildet, så vi kan se millioner av tall.

39
00:01:29,047 --> 00:01:32,011
Det her er primtallenes mønster,

40
00:01:32,011 --> 00:01:34,043
som fortsetter og fortsetter for evig.

41
00:01:34,043 --> 00:01:37,164
Utrolig nok er hele det her mønsterets struktur

42
00:01:37,164 --> 00:01:41,290
fremdeles ikke løst i dag.

43
00:01:41,290 --> 00:01:42,860
Vi har funnet noe.

44
00:01:42,860 --> 00:01:45,365
La oss spole tiden frem

45
00:01:45,365 --> 00:01:47,967
til omkring 300 år før vår tidsregning i gamle Grekenland.

46
00:01:47,967 --> 00:01:50,314
En filosof kjent som Euclid fra Alexandria

47
00:01:50,314 --> 00:01:51,843
forstod, at alle tall

48
00:01:51,843 --> 00:01:52,987
kunne bli delt opp i de her 2 kategoriene.

49
00:01:52,987 --> 00:01:55,526
Han begynte ved å finne ut av,

50
00:01:55,526 --> 00:01:58,183
at alle tall kan bli dividert igjen og igjen,

51
00:01:58,183 --> 00:01:59,411
inntil man når en gruppe av de minste, like store tall.

52
00:01:59,411 --> 00:02:02,607
Per definisjon er de her små tallene

53
00:02:02,607 --> 00:02:04,896
alltid primtall.

54
00:02:04,896 --> 00:02:07,078
Han viste altså,

55
00:02:07,078 --> 00:02:10,599
at alle tall på en måte er bygget ut av mindre primtall.

56
00:02:10,599 --> 00:02:12,921
For å gjøre det klart kan vi forestille oss et univers

57
00:02:12,921 --> 00:02:15,760
med alle tall og ignorere primtallene.

58
00:02:15,760 --> 00:02:17,148
Vi kan velge et hvilket som helst sammensatt tall

59
00:02:17,148 --> 00:02:20,542
og dividere det ned, og vi vil alltid stå tilbake med et primtall.

60
00:02:20,542 --> 00:02:23,317
Euclid visste altså, at ethvert tall kan uttrykkes

61
00:02:23,317 --> 00:02:25,674
ved å bruke en gruppe av mindre primtall.

62
00:02:25,674 --> 00:02:28,037
Vi kan tenke på de her som byggeklosser.

63
00:02:28,037 --> 00:02:30,518
Uansett hvilket tall vi velger,

64
00:02:30,518 --> 00:02:33,354
kan vi alltid bygge det med noen mindre primtall.

65
00:02:33,354 --> 00:02:34,774
Det er roten til oppdagelsen,

66
00:02:34,774 --> 00:02:37,675
vi kaller den fundamentale teori om aritmetikk.

67
00:02:37,675 --> 00:02:40,221
Vi kan velge ethvert tall. La oss for eksempel tal 30.

68
00:02:40,221 --> 00:02:41,996
Nå kan vi finne alle de primtallene,

69
00:02:41,996 --> 00:02:46,157
som går opp i det uten rest.

70
00:02:46,157 --> 00:02:48,032
Det heter faktorisering.

71
00:02:48,032 --> 00:02:50,759
Det vil gi oss primtallene.

72
00:02:50,759 --> 00:02:52,013
I det her tilfelle er 2, 3 og 5 primfaktorene til 30.

73
00:02:52,013 --> 00:02:53,934
Euclid fant ut av, at man kan gange

74
00:02:53,934 --> 00:02:55,501
primfaktorene et vist antall ganger

75
00:02:55,501 --> 00:02:57,233
og på den måten bygge et opprinnelige tall.

76
00:02:57,233 --> 00:02:59,763
I det her tilfelle ganger vi bare

77
00:02:59,763 --> 00:03:01,624
hver faktor med hverandre 1 gang for å bygge tallet 30.

78
00:03:01,624 --> 00:03:05,811
2 ganger 3 ganger 5 er prim faktoriseringen for 30.

79
00:03:05,811 --> 00:03:07,906
Vi kan tenke på det som en særlig nøkkel kombinasjon.

80
00:03:07,906 --> 00:03:10,714
Det er ingen annen måte å bygge tallet 30 på

81
00:03:10,714 --> 00:03:12,739
ved å bruke andre tall

82
00:03:12,739 --> 00:03:13,780
ganget sammen.

83
00:03:13,780 --> 00:03:16,178
Ethvert tall har altså 1,

84
00:03:16,178 --> 00:03:20,158
og kun 1, prim faktorisering.

85
00:03:20,158 --> 00:03:23,153
Man kan altså forestille seg,

86
00:03:23,153 --> 00:03:24,887
at alle tall har en forskjellig lås.

87
00:03:24,887 --> 00:03:27,110
Den unike nøkkelen til låsen

88
00:03:27,110 --> 00:03:28,792
er den primfaktorisering.

89
00:03:28,792 --> 00:03:31,276
Det er ikke 2 låser, som har den samme nøkkelen.

90
00:03:31,276 --> 00:03:34,046
Det er ikke 2 tall, som har samme primfaktorisering.