WEBVTT

00:00:04.000 --> 00:00:07.000
紀元前に来たと想像しましょう。

00:00:07.000 --> 00:00:09.000
さて、以下のこと考えてください。

00:00:09.000 --> 00:00:12.000
時計なしでどのように時間をはかればいいでしょうか？

00:00:12.000 --> 00:00:15.000
すべての時計は、時間を均等に分けた

00:00:15.000 --> 00:00:18.000
パターンの反復によって作られています。

00:00:18.000 --> 00:00:20.000
この反復のパターンを見つけるため、

00:00:20.000 --> 00:00:22.000
空を見上げてみます。

00:00:22.000 --> 00:00:24.000
太陽が毎日 出没するパターンは

00:00:24.000 --> 00:00:25.000
とても明白です。

00:00:25.000 --> 00:00:28.000
しかし、より長期の時間を計るには

00:00:28.000 --> 00:00:30.000
より長い周期が必要です。

00:00:30.000 --> 00:00:32.000
そこで月を観察します。

00:00:32.000 --> 00:00:34.000
日ごとに少しずつ、大きくなっては

00:00:34.000 --> 00:00:36.000
小さくなります。

00:00:36.000 --> 00:00:38.000
満月から次の満月までの

00:00:38.000 --> 00:00:39.000
日にちを数えると、

00:00:39.000 --> 00:00:40.000
２９という数字にたどりつきます。

00:00:40.000 --> 00:00:42.000
これが「月」の起源です。

00:00:42.000 --> 00:00:45.000
しかし、２９を等分に分けようとすると

00:00:45.000 --> 00:00:48.000
問題が発生します。これは不可能です。

00:00:48.000 --> 00:00:51.000
２９を等分に分ける唯一の方法は、

00:00:51.000 --> 00:00:54.000
１づつに分けることです。

00:00:54.000 --> 00:00:56.000
つまり、２９は「素数」なのです。

00:00:56.000 --> 00:00:58.000
これは、等分に分けられないものです。

00:00:58.000 --> 00:01:00.000
１より大きい数で

00:01:00.000 --> 00:01:02.000
複数に分割できる数字は、

00:01:02.000 --> 00:01:04.000
「合成数」と呼ばれます。

00:01:04.000 --> 00:01:06.000
ここで興味深い疑問が生じます。

00:01:06.000 --> 00:01:08.000
素数はいくつあるのでしょう？

00:01:08.000 --> 00:01:10.000
どのくらい大きな数字になるのでしょう？

00:01:10.000 --> 00:01:13.000
ここで、まず数字を二つに分類します。

00:01:13.000 --> 00:01:15.000
素数を左に、

00:01:15.000 --> 00:01:17.000
合成数を右に置きます。

00:01:17.000 --> 00:01:20.000
始めのうちは、行ったり来たりして、

00:01:20.000 --> 00:01:23.000
特にパターンはないようです。

00:01:23.000 --> 00:01:25.000
では、近代の技術を使用して

00:01:25.000 --> 00:01:26.000
より大きい外観を見てみましょう。

00:01:26.000 --> 00:01:29.000
ウラムの螺旋と呼ばれるものを描きます。

00:01:29.000 --> 00:01:32.000
まず、すべての数字を螺旋状に

00:01:32.000 --> 00:01:33.000
書いてきます。

00:01:33.000 --> 00:01:37.000
そして、すべての素数を青で示します。

00:01:37.000 --> 00:01:41.000
最後に、何百万もの数字を見てみましょう。

00:01:41.000 --> 00:01:43.000
これが、素数のパターンで

00:01:43.000 --> 00:01:45.000
永遠に続きます。

00:01:45.000 --> 00:01:48.000
驚くことに、このパターンの全体像は

00:01:48.000 --> 00:01:50.000
未だに解かれていません。

00:01:50.000 --> 00:01:51.000
けれど、何かの手がかりはあります。

00:01:51.000 --> 00:01:54.000
つぎに、紀元前３００年の

00:01:54.000 --> 00:01:55.000
古代ギリシャに行ってみましょう。

00:01:55.000 --> 00:01:58.000
アレキサンドリアの哲学者 ユークリッドは、

00:01:58.000 --> 00:01:59.000
すべての数字が

00:01:59.000 --> 00:02:02.000
２つのカテゴリーに分類されることを示しました。

00:02:02.000 --> 00:02:04.000
彼は、いかなる数字でも

00:02:04.000 --> 00:02:06.000
最小限の等分の数字のグループに至るまで、

00:02:06.000 --> 00:02:10.000
繰り返し、分割できることに気がつきました。

00:02:10.000 --> 00:02:13.000
そして、これらの最小限の数字が

00:02:13.000 --> 00:02:15.000
「素数」です。

00:02:15.000 --> 00:02:17.000
つまり、すべての数字は

00:02:17.000 --> 00:02:20.000
それより小さい素数からつくられているのです。

00:02:20.000 --> 00:02:25.000
簡素に考えるために、素数を除いたすべての数字を考えます。

00:02:25.000 --> 00:02:28.000
任意の合成数を選んでみます。

00:02:28.000 --> 00:02:29.000
これを分けつづけると

00:02:29.000 --> 00:02:33.000
かならず、「素数」に行きつきます。

00:02:33.000 --> 00:02:34.000
ユークリッドは、すべての数字は

00:02:34.000 --> 00:02:37.000
それより小さな素数を使って表わせることを見つけました。

00:02:37.000 --> 00:02:39.000
これを、基本ブロックと考えます。

00:02:39.000 --> 00:02:42.000
どの数字を選んでも

00:02:42.000 --> 00:02:46.000
それより小さい素数の和で作られています。

00:02:46.000 --> 00:02:48.000
これが、この発見の基礎で

00:02:48.000 --> 00:02:50.000
算術の基礎定理と呼ばれています。

00:02:50.000 --> 00:02:57.000
任意の数字、例えば、３０を等分できる素数をすべて見つけてみましょう。

00:02:57.000 --> 00:02:59.000
これを因数分解と言います。

00:02:59.000 --> 00:03:01.000
これで「素因数」を得られます。

00:03:01.000 --> 00:03:05.000
この場合は、２、３、５が３０の「素因数」です。

00:03:05.000 --> 00:03:09.000
ユークリッドは、素因数を特定の回数任意の数字を

00:03:09.000 --> 00:03:10.000
かけ合わせることで

00:03:10.000 --> 00:03:12.000
元の数字が得られることを見つけました。

00:03:12.000 --> 00:03:16.000
この場合、これらの素因数を一度ずつかければ、３０が得られます。

00:03:16.000 --> 00:03:20.000
２x３x５ が３０の因数分解です。

00:03:20.000 --> 00:03:23.000
これは、特定の鍵の組み合わせのようなものです。

00:03:23.000 --> 00:03:24.000
これ以外に、他の素数を使って

00:03:24.000 --> 00:03:27.000
３０を構築する方法は

00:03:27.000 --> 00:03:28.000
ありません。

00:03:28.000 --> 00:03:31.000
ですから、それぞれの数字に

00:03:31.000 --> 00:03:34.000
ただ一つの因数分解が存在します。

00:03:34.000 --> 00:03:38.000
各数字は、それぞれ違う鍵のようなものなのです。

00:03:38.000 --> 00:03:39.000
それぞれの特定の鍵に

00:03:39.000 --> 00:03:42.000
特定のコードである因数分解が存在します。

00:03:42.000 --> 00:03:43.000
同一のコードを持つ鍵はありません。

00:03:43.000 --> 00:03:47.000
いかなる数字でも、同じ因数分解を持つことはありません。