Immaginate di vivere nella preistoria.
Ora, considerate quanto segue:
come segnamo il tempo, senza un orologio?
Tutti gli orologi sono basati su un qualche schema ripetitivo
che divide il totale del tempo in segmenti uguali.
Per trovare questi schemi ripetitivi,
guardiamo il cielo.
Il sole che sorge e tramonta ogni giorno
è il più ovvio; tuttavia per tenere il conto di
periodi più lunghi cerchiamo cicli più lunghi.
Perciò, ci rivolgiamo alla luna che
sembra crescere e decrescere gradualmente in uno spazio di molti giorni.
Quando contiamo i giorni tra
due lune piene, raggiungiamo il numero di 29.
Questa è l'origine del mese.
Tuttavia, se proviamo a dividere 29 in parti uguali,
riscontriamo un problema: è impossibile.
L'unico modo per dividere 29 in parti uguali
è ri-spezzettarlo in singole unità.
29 è un numero primo.
Immaginate che sia indistruttibile.
Se un numero più essere spezzato in parti uguali
maggiori di 1, lo chiamiamo numero composto.
Se siamo curiosi, possiamo chiederci:
quanti numeri primi ci sono e
quanto grandi possono diventare?
Iniziamo dividendo i numeri in due categorie.
Incolonniamo i numeri primi a sinistra e
i composti a destra.
All'inizio, sembrano andare avanti e indietro.
Non c'è uno schema logico.
Usiamo una tecnica moderna
per vedere il quadro d'insieme.
Il trucco è usare la spirale di Ulam.
Primo, scriviamo tutti i numeri possibili in ordine
crescente in una spirale dall'interno verso l'esterno.
Poi, coloriamo di blu i numeri primi.
Infine, zummiamo all'indietro per vedere milioni di numeri.
E' lo schema di numeri primi che
continua all'infinito.
L'intera struttura dello schema
non è stata ancora risolta.
Siamo sulle tracce di qualcosa.
Saltiamo in avanti, attorno al
300 a.C. in antica Grecia.
Un filosofo noto come Euclide
di Alessandria capì che tutti i numeri
potevano essere divisi in queste due categorie separate.
Iniziò accorgendosi che qualsiasi numero
poteva essere diviso e suddiviso fino
a un gruppo di numeri uguali più piccoli.
E per definizione, questi numeri più piccoli di tutti
sono sempre numeri primi.
Seppe così che tutti i numeri sono
in qualche modo formati da numeri primi più piccoli.
Immaginate un universo di
tutti i numeri e togliete i numeri primi.
Prendete un qualsiasi numero composto e suddividetelo:
rimarrete sempre con dei numeri primi.
Euclide sapeva che qualsiasi numero
poteva essere espresso usando un gruppo di numeri primi più piccoli.
Pensate a dei mattoni da costruzione.
Non importa che numero scegliete
può sempre essere costruito con una quantità di numeri primi più piccoli.
Questo sta alla radice della scoperta
nota come il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica.
Così: prendete qualsiasi numero, tipo 30,
e trovate tutti i numeri primi
uguali in cui può dividersi.
E' chiamata riduzione in fattori.
Questo ci dà i fattori primi,
in questo caso 2, 3 e 5: sono i numeri primi fattori di 30.
Euclide si accorse che si possono moltiplicare
questi fattori primi un numero preciso di volte
per costruire il numero originario.
In questo caso, moltiplicate semplicemente ciascun
fattore una volta per fare 30.
2 volte 3 volte 5 è la riduzione in fattori primi di 30.
Pensatela come una conbinazione speciale.
Non c'è altro modo di fare 30
con un altro gruppo di
numeri primi moltiplicati tra loro.
Ogni numero possibile ha una
e una sola riduzione in fattori primi.
Una buona analogia è immaginare ciascun
numero come un lucchetto diverso.
L'unica combinazione per il lucchetto
è la sua riduzione in fattori primi.
Non ci sono due lucchetti con la stessa combinazione.
Né due numeri con la stessa riduzione in fattori primi.