WEBVTT 00:00:04.420 --> 00:00:07.221 דמיינו כי אנו חיים בזמן פרה-היסטורי. 00:00:07.221 --> 00:00:09.468 כעת, נסו לשער: 00:00:09.468 --> 00:00:12.721 איך יכולנו לנהל את זמננו בלי שעון? 00:00:12.721 --> 00:00:15.315 כל השעונים מבוססים על איזושהי תבנית החוזרת על עצמה 00:00:15.315 --> 00:00:18.890 המחלקת את הזמן למקטעים שווים. 00:00:18.890 --> 00:00:20.688 למצוא את התבניות החוזרות 00:00:20.688 --> 00:00:22.918 אנו מתבוננים לשמים. 00:00:22.918 --> 00:00:24.902 הכי ברורה היא השמש הזורחת ושוקעת בסוף כל יום 00:00:26.184 --> 00:00:28.760 אולם לעקוב אחר פרקי זמן ארוכים יותר 00:00:28.760 --> 00:00:30.811 אנו מחפשים מחזורים ארוכים יותר. 00:00:30.811 --> 00:00:32.512 לשם כך, אנו מתבוננים בירח 00:00:32.512 --> 00:00:33.853 הגדל בהדרגה ואחר כך מצטמק לאורך ימים רבים. 00:00:36.578 --> 00:00:37.894 כאשר אנו סופרים את מספר הימים בין מופעי ירח מלא 00:00:38.978 --> 00:00:40.910 אנו מגיעים למספר 29. 00:00:40.910 --> 00:00:42.833 זהו מקורו של מושג החודש. 00:00:42.833 --> 00:00:45.873 אבל, אם ננסה לחלק 29 למקטעים שווים 00:00:45.873 --> 00:00:49.227 ניקלע לבעיה: הדבר בלתי אפשרי. 00:00:49.227 --> 00:00:51.676 הדרך היחידה לחלק 29 למקטעים שווים 00:00:51.676 --> 00:00:54.819 היא לפרקו חזרה ליחידות בודדות... 00:00:54.819 --> 00:00:57.102 29 הוא מספר ראשוני. 00:00:57.102 --> 00:00:59.061 חישבו עליו כעל "בלתי פָּרִיק". 00:00:59.061 --> 00:01:00.879 אם מספר יכול להתפרק לחלקים שווים הגדולים מ-1, 00:01:02.814 --> 00:01:04.621 אנו מכנים אותו "מספר פָּרִיק". 00:01:04.621 --> 00:01:06.608 אם אנו סקרנים, נוכל לתהות: 00:01:06.608 --> 00:01:08.450 כמה מספרים ראשוניים קיימים, 00:01:08.450 --> 00:01:10.398 ולאיזה גודל הם יכולים להגיע? 00:01:10.398 --> 00:01:13.744 הבה נתחיל על ידי חלוקה של כל המספרים לשני סוגים. 00:01:13.744 --> 00:01:15.611 נרשום את כל הראשוניים בצד שמאל 00:01:15.611 --> 00:01:17.648 ואת הפריקים בימין. 00:01:17.648 --> 00:01:20.379 תחילה נדמה שהם קופצים לסירוגין בין הטורים. 00:01:20.379 --> 00:01:23.017 אין תבנית ברורה. 00:01:23.017 --> 00:01:24.439 אז הבה נשתמש בשיטה מודרנית 00:01:24.439 --> 00:01:26.077 לראות את התמונה הגדולה. 00:01:26.077 --> 00:01:29.047 הטריק הוא להשתמש ב"ספירלת אולם" (Ulam) 00:01:29.047 --> 00:01:32.011 תחילה נרשום את כל המספרים לפי סדר עולה 00:01:32.011 --> 00:01:34.043 בצורת ספירלה. 00:01:34.043 --> 00:01:37.164 עכשיו נצבע את כל הראשוניים בכחול. 00:01:37.164 --> 00:01:41.290 ולבסוף נעשה "זום החוצה" לראות מיליוני מספרים. 00:01:41.290 --> 00:01:42.860 זוהי תבנית הראשוניים 00:01:42.860 --> 00:01:45.365 הממשיכה עוד ועוד לנצח. 00:01:45.365 --> 00:01:47.967 באופן מדהים, המבנה המלא של תבנית זו 00:01:47.967 --> 00:01:50.314 עדיין לא מפוענח עד היום. 00:01:50.314 --> 00:01:51.843 אנו בדרך למשהו... 00:01:51.843 --> 00:01:52.987 הבה נתקדם בזמן 00:01:52.987 --> 00:01:55.526 לשנת 300 לפני הספירה ביוון העתיקה. 00:01:55.526 --> 00:01:58.183 פילוסוף בשם אוקלידס מאלכסנדריה 00:01:58.183 --> 00:01:59.411 הבין שאת כל המספרים 00:01:59.411 --> 00:02:02.607 אפשר לחלק לשני הסוגים הללו. 00:02:02.607 --> 00:02:04.896 תחילה הוא הבין שכל מספר 00:02:04.896 --> 00:02:07.078 אפשר לחלק שוב ושוב 00:02:07.078 --> 00:02:10.599 עד שמגיעים לקבוצה של מספרים אותם לא ניתן לחלק יותר 00:02:10.599 --> 00:02:12.921 ובהגדרה, המספרים הקטנים הללו 00:02:12.921 --> 00:02:15.760 הם תמיד מספרים ראשוניים. 00:02:15.760 --> 00:02:17.148 אם כן, אנו יודעים שכל המספרים 00:02:17.148 --> 00:02:20.542 איכשהו בנויים מראשוניים קטנים מהם. 00:02:20.542 --> 00:02:23.317 להבהרה, דמיינו עולם מלא מספרים 00:02:23.317 --> 00:02:25.674 (התעלמו לרגע מהראשוניים). 00:02:25.674 --> 00:02:28.037 כעת קחו מספר פָּרִיק כלשהו ופרקו אותו לגורמיו 00:02:30.518 --> 00:02:33.354 ותמיד תישארו עם מספרים ראשוניים. 00:02:33.354 --> 00:02:34.774 אוקלידס ידע שכל מספר 00:02:34.774 --> 00:02:37.675 אפשר לבטא בעזרת מספרים ראשוניים קטנים יותר. 00:02:37.675 --> 00:02:40.221 נחשוב עליהם כעל אבני בניין. 00:02:40.221 --> 00:02:41.996 לא משנה באיזה מספר תבחרו 00:02:41.996 --> 00:02:46.157 תמיד אפשר יהיה לבנותו בעזרת ראשוניים קטנים ממנו. 00:02:46.157 --> 00:02:48.032 זהו היסוד של התגלית 00:02:48.032 --> 00:02:50.759 הידועה בשם "המשפט היסודי של האריתמטיקה". 00:02:50.759 --> 00:02:52.013 לדוגמא בחרו במספר כלשהו, נניח 30, 00:02:53.934 --> 00:02:55.501 ומצאו את כל המספרים הראשוניים 00:02:55.501 --> 00:02:57.233 אליו הוא מתפרק. 00:02:57.233 --> 00:02:59.763 תהליך זה ידוע בשם "פירוק לגורמים". 00:02:59.763 --> 00:03:01.624 נקבל את הגורמים הראשוניים, 00:03:01.624 --> 00:03:05.811 ובמקרה שלנו 2, 3 ו-5 הם הגורמים הראשוניים של 30. 00:03:05.811 --> 00:03:07.906 אוקלידס הבין שאפשר להכפיל 00:03:07.906 --> 00:03:10.714 גורמים ראשוניים אלה מספר מסויים של פעמים 00:03:10.714 --> 00:03:12.739 כדי לבנות את המספר המקורי. 00:03:12.739 --> 00:03:13.780 במקרה שלנו, פשוט 00:03:13.780 --> 00:03:16.178 מכפילים כל גורם פעם אחת כדי לבנות את 30. 00:03:16.178 --> 00:03:20.158 2 כפול 3 כפול 5 הוא הפירוק הראשוני של 30. 00:03:20.158 --> 00:03:23.153 חישבו על זה כעל מפתח או צירוף מיוחד. 00:03:23.153 --> 00:03:24.887 אין שום דרך אחרת לבנות 30 00:03:24.887 --> 00:03:27.110 באמצעות קבוצה אחרת של מספרים ראשוניים 00:03:27.110 --> 00:03:28.792 אותם נכפיל אחד בשני. 00:03:28.792 --> 00:03:31.276 כלומר לכל מספר בעולם יש רק 00:03:31.276 --> 00:03:34.046 פירוק לגורמים ראשוניים אחד ויחיד. 00:03:34.046 --> 00:03:36.299 למשל, ניתן לחשוב על כל מספר 00:03:36.299 --> 00:03:38.017 כעל מנעול יחידני. 00:03:38.033 --> 00:03:39.722 המפתח המיוחד למנעול זה 00:03:39.722 --> 00:03:42.054 יהיה הפירוק שלו לגורמים ראשוניים. 00:03:42.054 --> 00:03:43.937 לאף שני מנעולים לא יהיה אותו מפתח. 00:03:43.937 --> 00:03:47.889 לאף שני מספרים אין את אותו פירוק לגורמים ראשוניים.