1
00:00:04,420 --> 00:00:07,221
דמיינו כי אנו חיים בזמן פרה-היסטורי.

2
00:00:07,221 --> 00:00:09,468
כעת, נסו לשער:

3
00:00:09,468 --> 00:00:12,721
איך יכולנו לנהל את זמננו בלי שעון?

4
00:00:12,721 --> 00:00:15,315
כל השעונים מבוססים על איזושהי תבנית החוזרת על עצמה

5
00:00:15,315 --> 00:00:18,890
המחלקת את הזמן למקטעים שווים.

6
00:00:18,890 --> 00:00:20,688
למצוא את התבניות החוזרות

7
00:00:20,688 --> 00:00:22,918
אנו מתבוננים לשמים.

8
00:00:22,918 --> 00:00:24,902
הכי ברורה היא השמש הזורחת ושוקעת בסוף כל יום

9
00:00:26,184 --> 00:00:28,760
אולם לעקוב אחר פרקי זמן ארוכים יותר

10
00:00:28,760 --> 00:00:30,811
אנו מחפשים מחזורים ארוכים יותר.

11
00:00:30,811 --> 00:00:32,512
לשם כך, אנו מתבוננים בירח

12
00:00:32,512 --> 00:00:33,853
הגדל בהדרגה ואחר כך מצטמק לאורך ימים רבים.

13
00:00:36,578 --> 00:00:37,894
כאשר אנו סופרים את מספר הימים בין מופעי ירח מלא

14
00:00:38,978 --> 00:00:40,910
אנו מגיעים למספר 29.

15
00:00:40,910 --> 00:00:42,833
זהו מקורו של מושג החודש.

16
00:00:42,833 --> 00:00:45,873
אבל, אם ננסה לחלק 29 למקטעים שווים

17
00:00:45,873 --> 00:00:49,227
ניקלע לבעיה: הדבר בלתי אפשרי.

18
00:00:49,227 --> 00:00:51,676
הדרך היחידה לחלק 29 למקטעים שווים

19
00:00:51,676 --> 00:00:54,819
היא לפרקו חזרה ליחידות בודדות...

20
00:00:54,819 --> 00:00:57,102
29 הוא מספר <i>ראשוני</i>.

21
00:00:57,102 --> 00:00:59,061
חישבו עליו כעל "בלתי פָּרִיק".

22
00:00:59,061 --> 00:01:00,879
אם מספר יכול להתפרק לחלקים שווים הגדולים מ-1,

23
00:01:02,814 --> 00:01:04,621
אנו מכנים אותו "מספר פָּרִיק".

24
00:01:04,621 --> 00:01:06,608
אם אנו סקרנים, נוכל לתהות:

25
00:01:06,608 --> 00:01:08,450
כמה מספרים ראשוניים קיימים,

26
00:01:08,450 --> 00:01:10,398
ולאיזה גודל הם יכולים להגיע?

27
00:01:10,398 --> 00:01:13,744
הבה נתחיל על ידי חלוקה של כל המספרים לשני סוגים.

28
00:01:13,744 --> 00:01:15,611
נרשום את כל הראשוניים בצד שמאל

29
00:01:15,611 --> 00:01:17,648
ואת הפריקים בימין.

30
00:01:17,648 --> 00:01:20,379
תחילה נדמה שהם קופצים לסירוגין בין הטורים.

31
00:01:20,379 --> 00:01:23,017
אין תבנית ברורה.

32
00:01:23,017 --> 00:01:24,439
אז הבה נשתמש בשיטה מודרנית

33
00:01:24,439 --> 00:01:26,077
לראות את התמונה הגדולה.

34
00:01:26,077 --> 00:01:29,047
הטריק הוא להשתמש ב"ספירלת אולם" (Ulam)

35
00:01:29,047 --> 00:01:32,011
תחילה נרשום את כל המספרים לפי סדר עולה

36
00:01:32,011 --> 00:01:34,043
בצורת ספירלה.

37
00:01:34,043 --> 00:01:37,164
עכשיו נצבע את כל הראשוניים בכחול.

38
00:01:37,164 --> 00:01:41,290
ולבסוף נעשה "זום החוצה" לראות מיליוני מספרים.

39
00:01:41,290 --> 00:01:42,860
זוהי תבנית הראשוניים

40
00:01:42,860 --> 00:01:45,365
הממשיכה עוד ועוד לנצח.

41
00:01:45,365 --> 00:01:47,967
באופן מדהים, המבנה המלא של תבנית זו

42
00:01:47,967 --> 00:01:50,314
עדיין לא מפוענח עד היום.

43
00:01:50,314 --> 00:01:51,843
אנו בדרך למשהו...

44
00:01:51,843 --> 00:01:52,987
הבה נתקדם בזמן

45
00:01:52,987 --> 00:01:55,526
לשנת 300 לפני הספירה ביוון העתיקה.

46
00:01:55,526 --> 00:01:58,183
פילוסוף בשם אוקלידס מאלכסנדריה

47
00:01:58,183 --> 00:01:59,411
הבין שאת כל המספרים

48
00:01:59,411 --> 00:02:02,607
אפשר לחלק לשני הסוגים הללו.

49
00:02:02,607 --> 00:02:04,896
תחילה הוא הבין שכל מספר

50
00:02:04,896 --> 00:02:07,078
אפשר לחלק שוב ושוב

51
00:02:07,078 --> 00:02:10,599
עד שמגיעים לקבוצה של מספרים אותם לא ניתן לחלק יותר

52
00:02:10,599 --> 00:02:12,921
ובהגדרה, המספרים הקטנים הללו

53
00:02:12,921 --> 00:02:15,760
הם תמיד מספרים ראשוניים.

54
00:02:15,760 --> 00:02:17,148
אם כן, אנו יודעים שכל המספרים

55
00:02:17,148 --> 00:02:20,542
איכשהו בנויים מראשוניים קטנים מהם.

56
00:02:20,542 --> 00:02:23,317
להבהרה, דמיינו עולם מלא מספרים

57
00:02:23,317 --> 00:02:25,674
(התעלמו לרגע מהראשוניים).

58
00:02:25,674 --> 00:02:28,037
כעת קחו מספר פָּרִיק כלשהו ופרקו אותו לגורמיו

59
00:02:30,518 --> 00:02:33,354
ותמיד תישארו עם מספרים ראשוניים.

60
00:02:33,354 --> 00:02:34,774
אוקלידס ידע שכל מספר

61
00:02:34,774 --> 00:02:37,675
אפשר לבטא בעזרת מספרים ראשוניים קטנים יותר.

62
00:02:37,675 --> 00:02:40,221
נחשוב עליהם כעל אבני בניין.

63
00:02:40,221 --> 00:02:41,996
לא משנה באיזה מספר תבחרו

64
00:02:41,996 --> 00:02:46,157
תמיד אפשר יהיה לבנותו בעזרת ראשוניים קטנים ממנו.

65
00:02:46,157 --> 00:02:48,032
זהו היסוד של התגלית

66
00:02:48,032 --> 00:02:50,759
הידועה בשם "המשפט היסודי של האריתמטיקה".

67
00:02:50,759 --> 00:02:52,013
לדוגמא בחרו במספר כלשהו, נניח 30,

68
00:02:53,934 --> 00:02:55,501
ומצאו את כל המספרים הראשוניים

69
00:02:55,501 --> 00:02:57,233
אליו הוא מתפרק.

70
00:02:57,233 --> 00:02:59,763
תהליך זה ידוע בשם "פירוק לגורמים".

71
00:02:59,763 --> 00:03:01,624
נקבל את הגורמים הראשוניים,

72
00:03:01,624 --> 00:03:05,811
ובמקרה שלנו 2, 3 ו-5 הם הגורמים הראשוניים של 30.

73
00:03:05,811 --> 00:03:07,906
אוקלידס הבין שאפשר להכפיל

74
00:03:07,906 --> 00:03:10,714
גורמים ראשוניים אלה מספר מסויים של פעמים

75
00:03:10,714 --> 00:03:12,739
כדי לבנות את המספר המקורי.

76
00:03:12,739 --> 00:03:13,780
במקרה שלנו, פשוט

77
00:03:13,780 --> 00:03:16,178
מכפילים כל גורם פעם אחת כדי לבנות את 30.

78
00:03:16,178 --> 00:03:20,158
2 כפול 3 כפול 5 הוא הפירוק הראשוני של 30.

79
00:03:20,158 --> 00:03:23,153
חישבו על זה כעל מפתח או צירוף מיוחד.

80
00:03:23,153 --> 00:03:24,887
אין שום דרך אחרת לבנות 30

81
00:03:24,887 --> 00:03:27,110
באמצעות קבוצה אחרת של מספרים ראשוניים

82
00:03:27,110 --> 00:03:28,792
אותם נכפיל אחד בשני.

83
00:03:28,792 --> 00:03:31,276
כלומר לכל מספר בעולם יש רק

84
00:03:31,276 --> 00:03:34,046
פירוק לגורמים ראשוניים אחד ויחיד.

85
00:03:34,046 --> 00:03:36,299
למשל, ניתן לחשוב על כל מספר

86
00:03:36,299 --> 00:03:38,017
כעל מנעול יחידני.

87
00:03:38,033 --> 00:03:39,722
המפתח המיוחד למנעול זה

88
00:03:39,722 --> 00:03:42,054
יהיה הפירוק שלו לגורמים ראשוניים.

89
00:03:42,054 --> 00:03:43,937
לאף שני מנעולים לא יהיה אותו מפתח.

90
00:03:43,937 --> 00:03:47,889
לאף שני מספרים אין את אותו פירוק לגורמים ראשוניים.