דמיינו כי אנו חיים בזמן פרה-היסטורי.
כעת, נסו לשער:
איך יכולנו לנהל את זמננו בלי שעון?
כל השעונים מבוססים על איזושהי תבנית החוזרת על עצמה
המחלקת את הזמן למקטעים שווים.
למצוא את התבניות החוזרות
אנו מתבוננים לשמים.
הכי ברורה היא השמש הזורחת ושוקעת בסוף כל יום
אולם לעקוב אחר פרקי זמן ארוכים יותר
אנו מחפשים מחזורים ארוכים יותר.
לשם כך, אנו מתבוננים בירח
הגדל בהדרגה ואחר כך מצטמק לאורך ימים רבים.
כאשר אנו סופרים את מספר הימים בין מופעי ירח מלא
אנו מגיעים למספר 29.
זהו מקורו של מושג החודש.
אבל, אם ננסה לחלק 29 למקטעים שווים
ניקלע לבעיה: הדבר בלתי אפשרי.
הדרך היחידה לחלק 29 למקטעים שווים
היא לפרקו חזרה ליחידות בודדות...
29 הוא מספר ראשוני.
חישבו עליו כעל "בלתי פָּרִיק".
אם מספר יכול להתפרק לחלקים שווים הגדולים מ-1,
אנו מכנים אותו "מספר פָּרִיק".
אם אנו סקרנים, נוכל לתהות:
כמה מספרים ראשוניים קיימים,
ולאיזה גודל הם יכולים להגיע?
הבה נתחיל על ידי חלוקה של כל המספרים לשני סוגים.
נרשום את כל הראשוניים בצד שמאל
ואת הפריקים בימין.
תחילה נדמה שהם קופצים לסירוגין בין הטורים.
אין תבנית ברורה.
אז הבה נשתמש בשיטה מודרנית
לראות את התמונה הגדולה.
הטריק הוא להשתמש ב"ספירלת אולם" (Ulam)
תחילה נרשום את כל המספרים לפי סדר עולה
בצורת ספירלה.
עכשיו נצבע את כל הראשוניים בכחול.
ולבסוף נעשה "זום החוצה" לראות מיליוני מספרים.
זוהי תבנית הראשוניים
הממשיכה עוד ועוד לנצח.
באופן מדהים, המבנה המלא של תבנית זו
עדיין לא מפוענח עד היום.
אנו בדרך למשהו...
הבה נתקדם בזמן
לשנת 300 לפני הספירה ביוון העתיקה.
פילוסוף בשם אוקלידס מאלכסנדריה
הבין שאת כל המספרים
אפשר לחלק לשני הסוגים הללו.
תחילה הוא הבין שכל מספר
אפשר לחלק שוב ושוב
עד שמגיעים לקבוצה של מספרים אותם לא ניתן לחלק יותר
ובהגדרה, המספרים הקטנים הללו
הם תמיד מספרים ראשוניים.
אם כן, אנו יודעים שכל המספרים
איכשהו בנויים מראשוניים קטנים מהם.
להבהרה, דמיינו עולם מלא מספרים
(התעלמו לרגע מהראשוניים).
כעת קחו מספר פָּרִיק כלשהו ופרקו אותו לגורמיו
ותמיד תישארו עם מספרים ראשוניים.
אוקלידס ידע שכל מספר
אפשר לבטא בעזרת מספרים ראשוניים קטנים יותר.
נחשוב עליהם כעל אבני בניין.
לא משנה באיזה מספר תבחרו
תמיד אפשר יהיה לבנותו בעזרת ראשוניים קטנים ממנו.
זהו היסוד של התגלית
הידועה בשם "המשפט היסודי של האריתמטיקה".
לדוגמא בחרו במספר כלשהו, נניח 30,
ומצאו את כל המספרים הראשוניים
אליו הוא מתפרק.
תהליך זה ידוע בשם "פירוק לגורמים".
נקבל את הגורמים הראשוניים,
ובמקרה שלנו 2, 3 ו-5 הם הגורמים הראשוניים של 30.
אוקלידס הבין שאפשר להכפיל
גורמים ראשוניים אלה מספר מסויים של פעמים
כדי לבנות את המספר המקורי.
במקרה שלנו, פשוט
מכפילים כל גורם פעם אחת כדי לבנות את 30.
2 כפול 3 כפול 5 הוא הפירוק הראשוני של 30.
חישבו על זה כעל מפתח או צירוף מיוחד.
אין שום דרך אחרת לבנות 30
באמצעות קבוצה אחרת של מספרים ראשוניים
אותם נכפיל אחד בשני.
כלומר לכל מספר בעולם יש רק
פירוק לגורמים ראשוניים אחד ויחיד.
למשל, ניתן לחשוב על כל מספר
כעל מנעול יחידני.
המפתח המיוחד למנעול זה
יהיה הפירוק שלו לגורמים ראשוניים.
לאף שני מנעולים לא יהיה אותו מפתח.
לאף שני מספרים אין את אותו פירוק לגורמים ראשוניים.