Imaginons que nous vivons dans la préhistoire.
Maintenant, demandons-nous :
Comment compter les heures sans horloge ?
Toutes les horloges utilisent un phénomène répétitif
qui divise le temps en segments égaux.
Pour identifier ces phénomènes,
nous nous tournons vers le ciel.
Le soleil qui se lève et se couche chaque jour
est le plus évident.
Cependant, pour de plus longues périodes de temps,
il faut trouver des cycles plus longs.
Pour cela, nous avons regardé la Lune,
qui semble grossir progressivement
puis diminuer pendant plusieurs jours.
Si nous comptons le nombre de jours
entre deux pleines lunes,
nous obtenons le nombre 29.
Ceci est l'origine du mois.
Toutefois, si nous essayons de diviser 29 en morceaux égaux,
nous nous trouvons face à un problème : c'est impossible.
La seule manière de diviser 29 en morceaux égaux
c'est de le ramener à des morceaux de 1.
29 est un 'nombre premier'.
On pourrait dire 'incassable'.
Si un nombre peut être séparé
en morceaux égaux plus grands que 1,
nous l'appelons 'nombre composé'.
Par curiosité, nous pourrious nous demander
"Combien de nombres premiers existent-ils ?
Et quels sont les plus grands ?"
Commençons par séparer les nombres en deux catégories.
Mettons les nombres premiers sur la gauche,
et les composés sur la droite.
À première vue, ils semblent aller et venir.
Il n'y a pas de structure apparente.
Alors utilisons une technique moderne
pour aller plus loin.
L'astuce est d'utiliser une 'spirale Ulam'.
D'abord, nous inscrivons tous les nombres dans l'ordre
dans une spirale.
Ensuite, nous marquons les nombres premiers en bleu.
Enfin, nous reculons pour voir des millions de nombres.
Ceci est la structure des nombres premiers
qui continue encore et encore sans s'arrêter.
Étonnamment, la structure de ce motif
est encore incomprise de nos jours.
Il y a quelque chose là-dessous.
Dirigeons nous donc vers 300 avant JC
dans la Grèce antique.
Un philosophe du nom d'Euclide d'Alexandrie
comprit que tous les nombres
pouvaient être séparés en deux catégories distinctes.
Il nota tout d'abord que chaque nombre
pouvait être divisé, et re-divisé,
jusqu'à atteindre un groupe de plus petits nombres égaux.
Et par définition, ces plus petits nombres
sont toujours des nombres premiers.
Donc il savait que tous les nombres sont construits
d'une façon ou d'une autre de nombres premiers plus petits.
Plus clairement, imaginez l'ensemble de tous les nombres,
et ignorez les nombres premiers.
Maintenant, choisissez un nombre composé
et divisez-le
et vous finissez toujours avec des nombres premiers.
Euclide savait que chaque nombre
pouvait être représenté par un groupe de nombres premiers plus petits.
Ils peuvent être vus comme des briques.
Quel que soit le nombre choisi,
il peut être obtenu par une somme de nombres premiers plus petits.
C'est l'essence de sa découverte
connue sous le nom de 'théorème fondamental de l'arithmétique'
comme suit :
Prenez n'importe quel nombre, par exemple 30,
et trouvez tous les nombres premiers
qui peuvent le diviser.
Cela s'appelle la factorisation.
Cela nous donne les facteurs premiers,
ici, 2, 3 et 5 sont les facteurs premiers de 30.
Euclide a réalisé que l'on pouvait ensuite multiplier
ces facteurs premiers un certain nombre de fois
pour obtenir le nombre de départ.
Ici, on multiplie juste
chaque facteur une seule fois pour avoir 30.
2 x 3 x 5 est la factorisation en nombres premiers de 30.
Vous pouvez considérer ceci comme une clé ou une combinaison.
Il n'y a pas d'autre façon de construire 30
en utilisant d'autres nombres premiers
et en les multipliant.
Donc chaque nombre imaginable a une, et seulement une,
factorisation en nombres premiers.
Par analogie on peut imaginer les nombres
comme de différentes serrures.
La clé unique pour chaque serrure
serait sa factorisation en nombres premiers.
Il n'y a pas deux serrures qui ont la même clé.
Il n'y a pas deux nombres qui ont la même factorisation en nombres premiers.