1
00:00:04,420 --> 00:00:07,221
Imaginons que nous vivons dans la préhistoire.

2
00:00:07,221 --> 00:00:09,468
Maintenant, demandons-nous :

3
00:00:09,468 --> 00:00:12,721
Comment compter les heures sans horloge ?

4
00:00:12,721 --> 00:00:15,315
Toutes les horloges utilisent un phénomène répétitif

5
00:00:15,315 --> 00:00:18,890
qui divise le temps en segments égaux.

6
00:00:18,890 --> 00:00:20,688
Pour identifier ces phénomènes,

7
00:00:20,688 --> 00:00:22,918
nous nous tournons vers le ciel.

8
00:00:22,918 --> 00:00:24,902
Le soleil qui se lève et se couche chaque jour

9
00:00:24,902 --> 00:00:26,184
est le plus évident.

10
00:00:26,184 --> 00:00:28,760
Cependant, pour de plus longues périodes de temps,

11
00:00:28,760 --> 00:00:30,811
il faut trouver des cycles plus longs.

12
00:00:30,811 --> 00:00:32,512
Pour cela, nous avons regardé la Lune,

13
00:00:32,512 --> 00:00:33,853
qui semble grossir progressivement

14
00:00:33,853 --> 00:00:36,578
puis diminuer pendant plusieurs jours.

15
00:00:36,578 --> 00:00:37,894
Si nous comptons le nombre de jours

16
00:00:37,894 --> 00:00:38,978
entre deux pleines lunes,

17
00:00:38,978 --> 00:00:40,910
nous obtenons le nombre 29.

18
00:00:40,910 --> 00:00:42,833
Ceci est l'origine du mois.

19
00:00:42,833 --> 00:00:45,873
Toutefois, si nous essayons de diviser 29 en morceaux égaux,

20
00:00:45,873 --> 00:00:49,227
nous nous trouvons face à un problème : c'est impossible.

21
00:00:49,227 --> 00:00:51,676
La seule manière de diviser 29 en morceaux égaux

22
00:00:51,676 --> 00:00:54,819
c'est de le ramener à des morceaux de 1.

23
00:00:54,819 --> 00:00:57,102
29 est un 'nombre premier'.

24
00:00:57,102 --> 00:00:59,061
On pourrait dire 'incassable'.

25
00:00:59,061 --> 00:01:00,879
Si un nombre peut être séparé

26
00:01:00,879 --> 00:01:02,814
en morceaux égaux plus grands que 1,

27
00:01:02,814 --> 00:01:04,621
nous l'appelons 'nombre composé'.

28
00:01:04,621 --> 00:01:06,608
Par curiosité, nous pourrious nous demander

29
00:01:06,608 --> 00:01:08,450
"Combien de nombres premiers existent-ils ?

30
00:01:08,450 --> 00:01:10,398
Et quels sont les plus grands ?"

31
00:01:10,398 --> 00:01:13,744
Commençons par séparer les nombres en deux catégories.

32
00:01:13,744 --> 00:01:15,611
Mettons les nombres premiers sur la gauche,

33
00:01:15,611 --> 00:01:17,648
et les composés sur la droite.

34
00:01:17,648 --> 00:01:20,379
À première vue, ils semblent aller et venir.

35
00:01:20,379 --> 00:01:23,017
Il n'y a pas de structure apparente.

36
00:01:23,017 --> 00:01:24,439
Alors utilisons une technique moderne

37
00:01:24,439 --> 00:01:26,077
pour aller plus loin.

38
00:01:26,077 --> 00:01:29,047
L'astuce est d'utiliser une 'spirale Ulam'.

39
00:01:29,047 --> 00:01:32,011
D'abord, nous inscrivons tous les nombres dans l'ordre

40
00:01:32,011 --> 00:01:34,043
dans une spirale.

41
00:01:34,043 --> 00:01:37,164
Ensuite, nous marquons les nombres premiers en bleu.

42
00:01:37,164 --> 00:01:41,290
Enfin, nous reculons pour voir des millions de nombres.

43
00:01:41,290 --> 00:01:42,860
Ceci est la structure des nombres premiers

44
00:01:42,860 --> 00:01:45,365
qui continue encore et encore sans s'arrêter.

45
00:01:45,365 --> 00:01:47,967
Étonnamment, la structure de ce motif

46
00:01:47,967 --> 00:01:50,314
est encore incomprise de nos jours.

47
00:01:50,314 --> 00:01:51,843
Il y a quelque chose là-dessous.

48
00:01:51,843 --> 00:01:54,357
Dirigeons nous donc vers 300 avant JC

49
00:01:54,357 --> 00:01:55,526
dans la Grèce antique.

50
00:01:55,526 --> 00:01:58,183
Un philosophe du nom d'Euclide d'Alexandrie

51
00:01:58,183 --> 00:01:59,411
comprit que tous les nombres

52
00:01:59,411 --> 00:02:02,607
pouvaient être séparés en deux catégories distinctes.

53
00:02:02,607 --> 00:02:04,896
Il nota tout d'abord que chaque nombre

54
00:02:04,896 --> 00:02:07,078
pouvait être divisé, et re-divisé,

55
00:02:07,078 --> 00:02:10,599
jusqu'à atteindre un groupe de plus petits nombres égaux.

56
00:02:10,599 --> 00:02:12,921
Et par définition, ces plus petits nombres

57
00:02:12,921 --> 00:02:15,760
sont toujours des nombres premiers.

58
00:02:15,760 --> 00:02:18,158
Donc il savait que tous les nombres sont construits

59
00:02:18,158 --> 00:02:20,542
d'une façon ou d'une autre de nombres premiers plus petits.

60
00:02:20,542 --> 00:02:23,317
Plus clairement, imaginez l'ensemble de tous les nombres,

61
00:02:23,317 --> 00:02:25,674
et ignorez les nombres premiers.

62
00:02:25,674 --> 00:02:28,037
Maintenant, choisissez un nombre composé

63
00:02:28,037 --> 00:02:30,518
et divisez-le

64
00:02:30,518 --> 00:02:33,354
et vous finissez toujours avec des nombres premiers.

65
00:02:33,354 --> 00:02:34,774
Euclide savait que chaque nombre

66
00:02:34,774 --> 00:02:37,675
pouvait être représenté par un groupe de nombres premiers plus petits.

67
00:02:37,675 --> 00:02:40,221
Ils peuvent être vus comme des briques.

68
00:02:40,221 --> 00:02:41,996
Quel que soit le nombre choisi,

69
00:02:41,996 --> 00:02:46,157
il peut être obtenu par une somme de nombres premiers plus petits.

70
00:02:46,157 --> 00:02:48,032
C'est l'essence de sa découverte

71
00:02:48,032 --> 00:02:50,759
connue sous le nom de 'théorème fondamental de l'arithmétique'

72
00:02:50,759 --> 00:02:52,013
comme suit :

73
00:02:52,013 --> 00:02:53,934
Prenez n'importe quel nombre, par exemple 30,

74
00:02:53,934 --> 00:02:55,501
et trouvez tous les nombres premiers

75
00:02:55,501 --> 00:02:57,233
qui peuvent le diviser.

76
00:02:57,233 --> 00:02:59,763
Cela s'appelle la factorisation.

77
00:02:59,763 --> 00:03:01,624
Cela nous donne les facteurs premiers,

78
00:03:01,624 --> 00:03:05,811
ici, 2, 3 et 5 sont les facteurs premiers de 30.

79
00:03:05,811 --> 00:03:07,906
Euclide a réalisé que l'on pouvait ensuite multiplier

80
00:03:07,906 --> 00:03:10,714
ces facteurs premiers un certain nombre de fois

81
00:03:10,714 --> 00:03:12,739
pour obtenir le nombre de départ.

82
00:03:12,739 --> 00:03:13,780
Ici, on multiplie juste

83
00:03:13,780 --> 00:03:16,178
chaque facteur une seule fois pour avoir 30.

84
00:03:16,178 --> 00:03:20,158
2 x 3 x 5 est la factorisation en nombres premiers de 30.

85
00:03:20,158 --> 00:03:23,153
Vous pouvez considérer ceci comme une clé ou une combinaison.

86
00:03:23,153 --> 00:03:24,887
Il n'y a pas d'autre façon de construire 30

87
00:03:24,887 --> 00:03:27,110
en utilisant d'autres nombres premiers

88
00:03:27,110 --> 00:03:28,792
et en les multipliant.

89
00:03:28,792 --> 00:03:31,276
Donc chaque nombre imaginable a une, et seulement une,

90
00:03:31,276 --> 00:03:34,046
factorisation en nombres premiers.

91
00:03:34,046 --> 00:03:36,299
Par analogie on peut imaginer les nombres

92
00:03:36,299 --> 00:03:38,017
comme de différentes serrures.

93
00:03:38,033 --> 00:03:39,722
La clé unique pour chaque serrure

94
00:03:39,722 --> 00:03:42,054
serait sa factorisation en nombres premiers.

95
00:03:42,054 --> 00:03:43,937
Il n'y a pas deux serrures qui ont la même clé.

96
00:03:43,937 --> 00:03:47,889
Il n'y a pas deux nombres qui ont la même factorisation en nombres premiers.