0:00:04.420,0:00:07.221
Lad os forestille os, at vi levede for lang, lang tid siden.

0:00:07.221,0:00:09.468
Lad os prøve at tænke over,

0:00:09.468,0:00:12.721
hvordan vi holdt styr på tiden uden et ur.

0:00:12.721,0:00:15.315
Alle ure er baseret på et gentagende mønster,

0:00:15.315,0:00:18.890
der deler hele tiden op i lige store dele.

0:00:18.890,0:00:20.688
For at finde de gentagende mønstre

0:00:20.688,0:00:22.918
kigger vi på himlen.

0:00:22.918,0:00:24.902
Det er klart, at solen står op og ned hver dag,

0:00:26.184,0:00:28.760
men når vi skal holde styr på længere tidsrum,

0:00:28.760,0:00:30.811
skal vi kigge efter længere cyklusser.

0:00:30.811,0:00:32.512
Vi kan kigge på månen,

0:00:32.512,0:00:33.853
der ser ud til gradvist at vokse og skrumpe over mange dage.

0:00:36.578,0:00:37.894
Når vi tæller antallet af dage mellem fuldmåne,

0:00:38.978,0:00:40.910
finder vi ud af, at der er 29.

0:00:40.910,0:00:42.833
Det er sådan, man opfandt en måned.

0:00:42.833,0:00:45.873
Når vi skal prøve at dele 29 op i lige store dele,

0:00:45.873,0:00:49.227
finder vi ud af, at det er umuligt.

0:00:49.227,0:00:51.676
Den eneste måde, vi kan dele 29 op i lige store dele

0:00:51.676,0:00:54.819
er ved at splitte det op i grupper af 1.

0:00:54.819,0:00:57.102
29 er nemlig et primtal.

0:00:57.102,0:00:59.061
Vi kan tænke på det som udeleligt.

0:00:59.061,0:01:00.879
Hvis et tal kan blive delt op i lige store dele, der er større end 1,

0:01:02.814,0:01:04.621
kalder vi det et sammensat tal.

0:01:04.621,0:01:06.608
Hvis vi er nysgerrige, kommer vi måske til at tænke på,

0:01:06.608,0:01:08.450
hvor mange primtal, der er,

0:01:08.450,0:01:10.398
og hvor store de bliver.

0:01:10.398,0:01:13.744
Lad os starte med at dele alle tal ind i 2 kategorier.

0:01:13.744,0:01:15.611
Vi sætter primtallene til venstre

0:01:15.611,0:01:17.648
og de sammensatte tal til højre.

0:01:17.648,0:01:20.379
Til at starte med ser de ud til at være lidt her og der.

0:01:20.379,0:01:23.017
Der ser ikke ud til at være et mønster.

0:01:23.017,0:01:24.439
Lad os bruge en moderne teknik

0:01:24.439,0:01:26.077
til at se det fulde billede.

0:01:26.077,0:01:29.047
Teknikken er at bruge Ulam-spiralen.

0:01:29.047,0:01:32.011
Først stiller vi alle tal i rækkefølge

0:01:32.011,0:01:34.043
i en voksende spiral.

0:01:34.043,0:01:37.164
Så farver vi alle primtallene blå.

0:01:37.164,0:01:41.290
Til sidst formindsker vi billedet, så vi kan se millioner af tal.

0:01:41.290,0:01:42.860
Det her er primtallenes mønster,

0:01:42.860,0:01:45.365
der bliver ved og ved for evigt.

0:01:45.365,0:01:47.967
Utroligt nok er hele det her mønsters struktur

0:01:47.967,0:01:50.314
stadig ikke løst i dag.

0:01:50.314,0:01:51.843
Vi har fundet noget.

0:01:51.843,0:01:52.987
Lad os spole tiden frem

0:01:52.987,0:01:55.526
til omkring 300 år før vor tidsregning i det gamle Grækenland.

0:01:55.526,0:01:58.183
En filosof kendt som Euclid fra Alexandria

0:01:58.183,0:01:59.411
forstod, at alle tal

0:01:59.411,0:02:02.607
kunne blive delt op i de her 2 kategorier.

0:02:02.607,0:02:04.896
Han begyndte ved at finde ud af,

0:02:04.896,0:02:07.078
at alle tal kan blive divideret igen og igen,

0:02:07.078,0:02:10.599
indtil man når en gruppe af de mindste, lige store tal.

0:02:10.599,0:02:12.921
Per definition er de her små tal

0:02:12.921,0:02:15.760
altid primtal.

0:02:15.760,0:02:17.148
Han vidste altså,

0:02:17.148,0:02:20.542
at alle tal på en måde er bygget ud af mindre primtal.

0:02:20.542,0:02:23.317
For at gøre det klart kan vi forestille os et univers

0:02:23.317,0:02:25.674
med alle tal og ignorere primtallene.

0:02:25.674,0:02:28.037
Vi kan vælge et hvilket som helst sammensat tal

0:02:30.518,0:02:33.354
og dividere det ned, og vi vil altid stå tilbage med et primtal.

0:02:33.354,0:02:34.774
Euclid vidste altså, at ethvert tal kan udtrykkes

0:02:34.774,0:02:37.675
ved at bruge en gruppe af mindre primtal.

0:02:37.675,0:02:40.221
Vi kan tænke på de her som byggeklodser.

0:02:40.221,0:02:41.996
Ligemeget hvilket tal vi vælger,

0:02:41.996,0:02:46.157
kan vi altid bygge det med nogle mindre primtal.

0:02:46.157,0:02:48.032
Det er roden til opdagelsen,

0:02:48.032,0:02:50.759
vi kalder den fundamentale teori om aritmetik.

0:02:50.759,0:02:52.013
Vi kan vælge ethvert tal. Lad os for eksempel tage 30.

0:02:53.934,0:02:55.501
Nu kan vi finde alle de primtal,

0:02:55.501,0:02:57.233
der går op i det uden rest.

0:02:57.233,0:02:59.763
Det hedder faktorisering.

0:02:59.763,0:03:01.624
Det vil give os primtallene.

0:03:01.624,0:03:05.811
I det her tilfælde er 2, 3 og 5 primfaktorerne til 30.

0:03:05.811,0:03:07.906
Euclid fandt ud af, at man kan gange

0:03:07.906,0:03:10.714
primfaktorerne et vist antal gange

0:03:10.714,0:03:12.739
og på den måde bygge det oprindelige tal.

0:03:12.739,0:03:13.780
I det her tilfælde ganger vi bare

0:03:13.780,0:03:16.178
hver faktor med hinanden 1 gange for at bygge tallet 30.

0:03:16.178,0:03:20.158
2 gange 3 gange 5 er primfaktoriseringen for 30.

0:03:20.158,0:03:23.153
Vi kan tænke på det som en særlig nøgle eller kombination.

0:03:23.153,0:03:24.887
Der er ingen anden måde at bygge tallet 30 på

0:03:24.887,0:03:27.110
ved at bruge andre tal

0:03:27.110,0:03:28.792
ganget sammen.

0:03:28.792,0:03:31.276
Ethvert tal har altså 1,

0:03:31.276,0:03:34.046
og kun 1, primfaktorisering.

0:03:34.046,0:03:36.299
Man kan altså forestille sig,

0:03:36.299,0:03:38.017
at alle tal har en forskellig lås.

0:03:38.033,0:03:39.722
Den unikke nøgle til låsen

0:03:39.722,0:03:42.054
er dens primfaktorisering.

0:03:42.054,0:03:43.937
Der er ikke 2 låse, der har den samme nøgle.

0:03:43.937,0:03:47.889
Der er ikke 2 tal, der har samme primfaktorisering.