Welcome back.
And if you were covering your eyes because you didn't want
to see calculus, I think you can open your eyes again.
There shouldn't be any significant displays of
calculus in this video.
But just to review what we went over, we just said, OK if
we have a spring-- and I drew it vertically this time-- but
pretend like there's no gravity, or maybe pretend like
we're viewing-- we're looking at the top of a table, because
we don't want to look at the effect of
a spring and gravity.
We just want to look at a spring by itself.
So this could be in deep space, or something else.
But we're not thinking about gravity.
But I drew it vertically just so that we can get more
intuition for this curve.
Well, we started off saying is if I have a spring and 0-- x
equals 0 is kind of the natural resting point of the
spring, if I just let this mass-- if I didn't pull on the
spring at all.
But I have a mass attached to the spring, and if I were to
stretch the spring to point A, we said, well what happens?
Well, it starts with very little velocity, but there's a
restorative force, that's going to be pulling it back
towards this position.
So that force will accelerate the mass, accelerate the mass,
accelerate the mass, until it gets right here.
And then it'll have a lot of velocity here, but then it'll
start decelerating.
And then it'll decelerate, decelerate, decelerate.
Its velocity will stop, and it'll come back up.
And if we drew this as a function of time,
this is what happens.
It starts moving very slowly, accelerates.
At this point, at x equals 0, it has its maximum speed.
So the rate of change of velocity-- or the rate of
change of position is fastest. And we can see the slope is
very fast right here.
And then, we start slowing down again, slowing down,
until we get back to the spot of A.
And then we keep going up and down, up and down, like that.
And we showed that actually, the equation for the mass's
position as a function of time is x of t-- and we used a
little bit of differential equations to prove it.
But this equation-- not that I recommend that you memorize
anything-- but this is a pretty
useful equation to memorize.
Because you can use it to pretty much figure out
anything-- about the position, or of the mass at any given
time, or the frequency of this oscillatory motion, or
anything else.
Even the velocity, if you know a little bit of calculus, you
can figure out the velocity at anytime, of the object.
And that's pretty neat.
So what can we do now?
Well, let's try to figure out the period of
this oscillating system.
And just so you know-- I know I put the label harmonic
motion on all of these-- this is simple harmonic motion.
Simple harmonic motion is something that can be
described by a trigonometric function like this.
And it just oscillates back and forth, back and forth.
And so, what we're doing is harmonic motion.
And now, let's figure out what this period is.
Remember we said that after T seconds, it gets back to its
original position, and then after another T seconds, it
gets back to its original position.
Let's figure out with this T is.
And that's essentially its period, right?
What's the period of a function?
It's how long it takes to get back to your starting point.
Or how long it takes for the whole cycle to happen once.
So what is this T?
So let me ask you a question.
What are all the points-- that if this is a
cosine function, right?
What are all of the points at which cosine is equal to 1?
Or this function would be equal to A, right?
Because whenever cosine is equal to 1, this whole
function is equal to A.
And it's these points.
Well cosine is equal to 1 when-- so, theta-- let's say,
when is cosine of theta equal to 1?
So, at what angles is this true?
Well it's true at theta is equal to 0, right?
Cosine of 0 is 1.
Cosine of 2 pi is also 1, right?
We could just keep going around that unit circle.
You should watch the unit circle video if this makes no
sense to you.
Or the graphing trig functions.
It's also true at 4 pi.
Really, any multiple of 2 pi, this is true.
Right?
Cosine of that angle is equal to 1.
So the same thing is true.
This function, x of t, is equal to A at what points?
x of t is equal to A whenever this expression-- within the
cosines-- whenever this expression is equal to 0, 2
pi, 4 pi, et cetera.
And this first time that it cycles, right, from 0 to 2
pi-- from 0 to T, that'll be at 2 pi, right?
So this whole expression will equal A, when k-- and that's
these points, right?
That's when this function is equal to A.
It'll happen again over here someplace.
When this little internal expression is equal to 2 pi,
or really any multiple of 2 pi.
So we could say, so x of t is equal to A when the square
root of k over m times t, is equal to 2 pi.
Or another way of thinking about it, is let's multiply
both sides of this equation times the inverse of the
square root of k over m.
And you get, t is equal to 2 pi times the square root-- and
it's going to be the inverse of this, right?
Of m over k.
And there we have the period of this function.
This is going to be equal to 2 pi times the square
root of m over k.
So if someone tells you, well I have a spring that I'm going
to pull from some-- I'm going to stretch it, or compress it
a little bit, then I let go-- what is the period?
How long does it take for the spring to go back to its
original position?
It'll keep doing that, as we have no friction, or no
gravity, or any air resistance, or
anything like that.
Air resistance really is just a form of friction.
You could immediately-- if you memorize this formula,
although you should know where it comes from-- you could
immediately say, well I know how long the period is.
It's 2 pi times m over k.
That's how long it's going to take the spring to get back--
to complete one cycle.
And then what about the frequency?
If you wanted to know cycles per second, well that's just
the inverse of the period, right?
So if I wanted to know the frequency, that equals 1 over
the period, right?
Period is given in seconds per cycle.
So frequency is cycles per second, and this
is seconds per cycle.
So frequency is just going to be 1 over this.
Which is 1 over 2 pi times the square root of k over m.
That's the frequency.
But I have always had trouble memorizing this, and this.
You always [UNINTELLIGIBLE]
k over m, and m over k, and all of that.
All you have to really memorize is this.
And even that, you might even have an intuition
as to why it's true.
You can even go to the differential equations if you
want to reprove it to yourself.
Because if you have this, you really can answer any question
about the position of the mass, at any time.
The velocity of the mass, at any time, just by taking the
derivative.
Or the period, or the frequency of the function.
As long as you know how to take the period and frequency
of trig functions.
You can watch my videos, and watch my trig videos, to get a
refresher on that.
One thing that's pretty interesting about this, is
notice that the frequency and the period, right?
This is the period of the function, that's how long it
takes do one cycle.
This is how many cycles it does in one second-- both of
them are independent of A.
So it doesn't matter, I could stretch it only a little bit,
like there, and it'll take the same amount of time to go
back, and come back like that, as it would if I
stretch it a lot.
It would just do that.
If I stretched it just a little bit, the function would
look like this.
Make sure I do this right.
I'm not doing that right.
Edit, undo.
If I just do it a little bit, the amplitude is going to be
less, but the function is going to essentially do the
same thing.
It's just going to do that.
So it's going to take the same amount of time to complete the
cycle, it'll just have a lower amplitude.
So that's interesting to me, that how much I stretch it,
it's not going to make it take longer or less time to
complete one cycle.
That's interesting.
And so if I just told you, that I actually start having
objects compressed, right?
So in that case, let's say my A is minus 3.
I have a spring constant of-- let's say k is,
I don't know, 10.
And I have a mass of 2 kilograms. Then I could
immediately tell you what the equation of the position as a
function of time at any point is.
It's going to be x of t will equal-- I'm running out of
space-- so x of t would equal-- this is just basic
subsitution-- minus 3 cosine of 10 divided by 2, right? k
over m, is 5.
So square root of 5t.
I know that's hard to read, but you get the point.
I just substituted that.
But the important thing to know is this-- this is, I
think, the most important thing-- and then if given a
trig function, you have trouble remembering how to
figure out the period or frequency-- although I always
just think about, when does this expression equal 1?
And then you can figure out-- when does it equal 1, or when
does it equal 0-- and you can figure out its period.
If you don't have it,
you can memorize this formula for period, and this formula
for frequency, but I think that might be a waste of your
brain space.
Anyway, I'll see you in the next video.
Здравей отново!
Ако си със затворени очи, понеже не искаш
да гледаш висшата математика, мисля, че вече можеш да ги отвориш.
В този клип не би трябвало да има
много висша математика.
Но само за да преговорим какво научихме до момента – казахме,
че имаме една пружина – този път я показвам във вертикално положение,
представи си, че няма гравитация
или че пружината е на някакво бюро,
защото не искаме да се занимаваме едновременно с пружина И с гравитация.
Искаме да разгледаме пружината сама по себе си.
Това може да се случи, например, в далечния космос.
Но да не мислим за гравитацията.
Показвам пружината вертикално,
за да разберем по-добре тази графика.
Започнахме, като казахме, че имаме пружина
и тази точка х = 0 е равновесното положение на пружината,
в случай, че въобще не съм опънал пружината.
Но аз имам тяло с маса, прикрепено към пружината,
и разгледахме какво става, ако опъна пружината до т. А.
Започва да се движи с много малка скорост,
но имаме връщаща сила, която ще връща пружината към тази позиция.
И тази сила ще ускорява масата, ще я ускорява и ускорява,
докато стигне тук.
Тук ще имаме висока скорост,
но след това ще започне да забавя.
Ще забавя, забавя и забавя,
скоростта ще стане 0 и ще се качи обратно горе.
Ако изобразим това като функция на времето,
ето какво се случва.
Започва да се движи бавно, ускорява
и в тази точка, в която x = 0, скоростта е максимална.
И промяната в скоростта,
или скоростта на промяна на позицията, е най-голяма.
Можем да видим, че наклонът тук е много голям.
След което започваме да забавяме отново и отново,
докато стигнем обратно при точка A.
След което продължаваме да се движим нагоре-надолу по този начин.
Показахме, че уравнението за позицията на масата
като функция на времето е – е х(t) – и използвахме
малко диференциални уравнения, за да го докажем.
Не че препоръчвам да запаметяваш каквото и да е,
но това е доста полезно за запомняне уравнение.
Понеже може да се използва за намиране на общо взето всичко,
която се отнася се за позицията на масата във всеки един момент,
честотата на това трептене или нещо друго.
Ако знаем малко висша математика, можем да определим дори
скоростта на обекта във всеки един момент от време.
Което е доста хубаво.
И какво можем да направим сега?
Нека се опитаме да намерим периода
на тази трептяща система.
Знам, че сложих заглавие "хармонично трептене"
на всички тези видеа – това е просто хармонично трептене.
Простите хармонични трептения са нещо, което може да се опише
чрез тригонометрична функция по този начин.
Просто трепти напред-назад, напред-назад.
И това, което извършваме, е хармонично трептене.
И така, нека намерим какъв е този период.
Спомни си, че казахме, че след T секунди има връщане
към първоначалната позиция, а след още T секунди
отново имаме връщане към първоначалната позиция.
Нека разберем какво е това Т.
Това по същество е периодът, нали така?
Какво представлява периодът на дадена функция?
Това е колко време отнема да се върнем в началната точка.
Или колко време трае извършването на един цял цикъл.
И колко е това Т?
Нека ти задам един въпрос.
Какво са всички тези точки – какво става ако това е
функция косинус?
Какви са всичките точки, в които косинус е равен на 1?
Или тази функция ще е равна на А, нали?
Понеже всеки път, когато косинусът е равен на 1, цялата тази
функция е равна на А.
А това са тези точки.
И косинусът е равен на 1, когато... тита... да кажем...
кога косинус от тита е равен на 1?
Т.е. за какви ъгли това е вярно равенство?
Това е вярно при тита равно на 0, нали?
Косинус от 0 е 1.
Косинус от 2 пи също е едно, нали така?
Можем просто да си продължим да обикаляме единичната окръжност.
Трябва да гледаш клипа за единичната окръжност, ако това
не ти е ясно.
Или графичното представяне на тригонометричните функции.
Имаме вярно равенство при ъгъл 4 пи.
Наистина, всяко кратно на 2 пи е вярно.
Нали?
Косинусът на този ъгъл е равен на 1.
И същото нещо е вярно.
В кои точки тази функция, х от t, е равна на А?
x от t е равно на А всеки път, когато този израз вътре в косинуса
когато този израз е равен на 0, 2 пъти пи,
4 пъти пи, т.н.
Първият път, при който се завърта от 0 до 2 пи...
от 0 до Т, това ще бъде 2 пи, нали?
Така целият този израз ще е равен на А
в тези точки, нали?
Това е, когато тази функция е равна на А.
Това ще се случи отново тук някъде.
Когато този малък израз вътре е равен на 2 пи
или на всяко кратно на 2пи число.
Т.е. можем да кажем, че х от t е равно на А, когато квадратният корен
от k върху m, цялото по t, е равен на 2 пи.
Или друг начин на представяне е, чрез умножаване
на двете страни на това уравнение по обратното на
квадратния корен от k върху m.
И получаваме, че t е равно на 2 пи, умножено по корен квадратен-и
ще бъде обратното на това, нали така?
От m върху k.
И ето го периода на тази функция.
Това ще е равно на 2 пъти пи по квадратен
корен от m върху k.
И така, ако някой ти каже: "Имам една пружина, която
ще дръпна от... ще я обтегна или свия малко,
и след това ще я пусна – какъв е периодът?
Колко време ще отнеме пружината да се върне в началното си положение?
Тя ще продължи да го прави, тъй като нямаме триене.
Нямаме гравитация, нямаме и съпротивление на въздуха.
Съпротивлението на въздуха също е вид триене.
Можеш веднага – ако запомниш тази формула,
въпреки че е важно да знаеш откъде идва тя – ще можеш
веднага да кажеш: "Знам дължината на периода.
Това е 2 пъти пи, умножено по m върху k."
Това показва колко време ще отнеме на пружината да се върне –
и да завърши цикъла.
А какво да кажем за честотата?
Ако искаме да знаем извършените цикли на секунда, това е всъщност
реципрочното на периода, нали така?
И ако искам да знам честотата, тя е равна на 1 върху
периода, нали?
Периодът е в секунди на цикъл.
Честотата е в цикли на секунда,
а това е секунди на цикъл.
И честотата ще бъде 1 върху това.
Което е 1 върху 2 пи, умножено по корен квадратен от k върху m.
Това е честотата.
Но аз пък винаги съм си имал проблеми в запомнянето на това и това.
k върху m, и m върху k, и други подобни.
Всичко, което наистина трябва да запомниш, е следното:
Дори и по логика можем да разберем
защо това е така.
Можеш да се върнеш на диференциалните уравнения,
ако искаш да го докажеш за себе си.
Защото имайки това, наистина можем да отговорим на всеки въпрос
за положението и скоростта на тази маса във всеки момент.
Скоростта на масата, във всеки един момент, като се намери производната.
Или периода, или честотата на функцията.
Стига да знаеш как се намират периода и честотата
на тригонометричните функции.
Можеш да гледаш клиповете ми, включително тези за тригонометрия,
за да си го припомниш.
Обърна внимание на честотата и периода, нали?
Периодът на функцията показва колко време изминава,
за да се завърши даден цикъл.
Честотата – това е броят на циклите за една секунда –
Нито периодът, нито честотата зависят от А.
И няма значение, бих разтегнал малко,
като там, и ще отнеме същото време за връщане
назад, и по този начин, както бих го направил
ако разтегна много.
Ще се случи това.
Ако разтегна малко, функцията ще изглежда
по този начин.
Да се уверим, че правилно правя това.
Не е така.
Редакция...
отначало.
Ако поработя малко, амплитудата ще е
по-малка, но функцията по същество ще върши
същото нещо.
Ще направи това.
И затова ще е нужно същото време за завършване на цикъла,
само амплитудата ще е по-малка.
Ето това ми е интересно, че ако разтегна повече,
това няма да удължи или намали времето
за да стане цял цикълът.
Интересно.
И ако ти кажа, че всъщност в началото
тук имам свиване, какво става?
В този случай, да кажем, че А е равно на минус 3.
Имам константа на пружината, която е, да кажем k,
равна на 10.
Имам маса от 2 килограма. Веднага мога
да ти кажа какво е уравнението за положението като
функция на времето.
Това ще е x от t, което ще е равно на... мястото ми свършва...
x от t ще е равно... това е основно
заместване... минус 3 пъти косинус от 10, делено на 2, нали така?
k върху m е 5.
Корен квадратен от 5t.
Знам, че е трудно за разчитане, но схващаш идеята.
Просто заместих това тук.
Но това, което е важно да се знае, е следното – това е,
мисля, най-важното – и ако ми е дадена
една тригонометрична функция, идва трудност при
намирането на периода или честотата – въпреки че винаги
мисля за това кога този израз ще е равен на 1?
И можем да разберем – кога е равно на 1, или кога
е равно на 0 – и от там можем да намерим периода.
Ако това не е става,
можеш да запомниш тази формула за период и тази формула за честота,
но си мисля, че това може да прахоса ценно място в ума ти.
Както и да е, ще се видим в следващия клип.
Vítejte zpět.
Pokud jste si zakryli oči, abyste neviděli diferenciální počet,
myslím, že oči můžete opět otevřít.
Moc diferenciálního počtu by v tomto videu být nemělo.
Jen pro přehled zopakujeme, co jsme se naučili.
Máme pružinu nakreslenou vertikálně...
ale předstírejme, že zde není gravitace,
nebo předstírejme, že se díváme na horní plochu stolu,
protože nechceme studovat efekt pružiny a gravitace.
Pouze samostatnou pružinu.
Mohlo by to být někde ve vesmíru. Ale nepřemýšlíme o gravitaci.
Nakreslil jsem to vertikálně, abychom získali lepší představu o této křivce.
Na začátku jsme řekli, jestliže mám pružinu a 0...
x rovno 0 je rovnovážný stav pružiny,
když nechám toto závaží... ...když za pružinu vůbec nezatáhnu.
Ale mám závaží připevněné na pružinu,
a kdybych napnul pružinu do bodu A, co se stane?
Začne to jen s malou rychlostí, neboť je tam pouze síla pružnosti,
která závaží potáhne zpět do této pozice.
Ona síla bude závaží zrychlovat a zrychlovat, až se to dostane sem.
A tady to bude mít velkou rychlost, ale potom to začne zpomalovat.
A potom to bude zpomalovat, až se jeho rychlost zastaví a závaží se vrátí zpět.
A kdybychom to nakreslili, jako funkci času, stane se toto.
Začne se to pohybovat a zrychlovat velmi pomalu.
V tomto bodě, kde ‚x‛ se rovná 0, to má svou maximální rychlost.
Rychlost změny rychlosti...nebo rychlost změny pozice je nejrychlejší.
A vidíme, že směrnice je tady velmi strmá.
A potom znovu začneme zpomalovat, než se dostaneme zpět do bodu A.
A potom budeme pokračovat nahoru a dolů, nahoru a dolů...takto.
Dokázali jsme, že rovnice pro pozici závaží, jako funkce času je x(t)...
a použili jsme trochu diferenciálních počtů, abychom to dokázali.
Ale tato rovnice...ne, že bych vám doporučoval, abyste si ji pamatovali...
ale je to docela užitečná rovnice k zapamatování.
Protože to můžete použít, abyste vyřešili v podstatě cokoli,
co se týká pozice závaží v daném čase
nebo frekvenci tohoto kmitavého pobybu nebo cokoli jiného.
Když znáte diferenciální počet, můžete zjistit rychlost předmětu v jakýkoli čas.
A to je docela elegantní.
Takže co můžeme udělat teď?
Pojďme najít periodu tohoto kmitajícího systému.
Však víte...vím, že všechno zde značím harmonickým pohybem...
...toto je jednoduchý harmonický pohyb.
Jednoduchý harmonický pohyb je něco,
co lze popsat trigonometrickou funkcí, jako je tato.
A ono to prostě kmitá sem a tam, sem a tam.
To co zde děláme, je harmonický pohyb.
A teď se pojďme podívat, jaká je perioda.
Vzpomeňte si, že po ‚T‛ sekundách se závaží dostane do své původní pozice
a potom po dalších ‚T‛ sekundách se opět vrátí do své původní pozice.
Pojďme si spočítat toto ‚T‛.
A to je vlastně perioda. Co je to perioda funkce?
Je to doba, za kterou se dostanete do své původní pozice.
Nebo jak dlouho trvá, aby celá fáze proběhla jednou.
Takže co je toto ‚T‛?
Dám vám otázku.
Jaké jsou všechny body... ...toto je funkce kosinus.
V jakých všech bodech se kosinus rovná 1?
Nebo, aby tato funkce byla rovna A?
Protože kdykoli je kosinus roven 1, celá tato funkce se rovná A.
A to jsou tyto body.
Kosinus je roven 1, když...takže theta... ...kdy je kosinus theta roven 1?
V jakých úhlech je toto pravda?
Je to pravda, když je theta rovna 0.
Kosinus 0 je 1. Kosinus 2 pi je také 1.
Mohli bychom se držet jednotkového kruhu.
Podívejte se na video o jednotkovém kruhu, jestliže to nechápete.
Nebo o znázornění trigonometrické funkce graficky.
Je to také pravda ve 4 pi.
Vlastně je to pravda ve všech násobcích 2 pi.
Kosinus tohoto úhlu je roven 1.
Stejná věc je pravda.
Tato funkce x(t) je rovna A... ...v jakých bodech?
x(t) je rovno A, když tento výraz...uvnitř kosinu...
....kdykoli je tento výraz roven 0; 2 pi; 4 pi a tak dále.
A když to poprvé jde cyklicky od 0 do 2 pi...
...od 0 do T, tak to bude přesně ve 2 pi.
Celý tento výraz se bude rovnat A, když ‚k‛...a to jsou tyto body.
Když je tato funkce rovna A. Stane se to znovu někde tady.
Když je tento vnitřní výraz roven 2 pi nebo jakémukoli násobku 2 pi.
Takže bychom mohli říci, že x(t) je rovno A,
když je druhá odmocnina (k lomeno m) krát t rovna 2 pi.
Nebo to můžeme spočítat tak,
že vynásobíte obě strany rovnice obrácenou druhou odmocninou (k lomeno m).
A dostanete, že ‚t‛ se rovná 2 pi krát druhá odmocnina...
...a to bude opak tohoto... ...m lomeno k...
A tady mám periodu této funkce.
Toto se bude rovnat 2 pi krát druhá odmocnina (m děleno k).
Když vám někdo řekne... ...mám pružinu, kterou natáhnu...
...natáhnu ji, nebo ji trochu stlačím a pak ji pustím...jaká je perioda?
Jak dlouho trvá, než se pružina vrátí zpátky do své původní pozice?
Bude to pokračovat, protože nemáme žádné tření,
žádnou gravitaci nebo odpor vzduchu apod. Odpor vzduchu je jen druh tření.
Můžete ihned...když si zapamatujete tento vzorec,
i když byste měli vědět, odkud pochází...
můžete ihned říci, že víte, jaká je perioda.
Perioda je 2pi krát (m děleno k).
To je doba, jakou pružina potřebuje, aby se vrátila zpět...
...aby dokončila jednu fázi.
A co frekvence?
Kdybyste chtěli vědět počet fází za sekundu, tak je to jen obrácená perioda.
Kdybych chtěl vědět frekvenci, tak je to rovno 1 lomeno periodou.
Perioda je dána v sekundách za jednu fázi.
Takže frekvence je počet fází za sekundu a toto je v sekundách za jednu fázi.
Frekvence je jen 1 děleno tímto.
Což je 1 lomeno 2 pi krát druhá odmocnina (k lomeno m).
To je frekvence.
Ale vždycky jsem měl problém si to všechno zapamatovat.
Vždycky k lomeno m a m lomeno k a tak.
Všechno co si potřebujete zapamatovat, je toto.
A i díky tomu, můžete tušit, proč je to pravda.
Můžete použít diferenciální počet, kdybyste si to chtěli dokázat.
Protože pokud máte toto, můžete zodpovědět jakoukoli otázku,
ohledně pozice závaží v jakémkoli čase,
rychlosti závaží v jakémkoli čase, jen tím, že výraz zderivujete.
Nebo periodu nebo frekvenci funkce.
Když víte, jak zjistit periodu a frekvenci trigonometrických funkcí.
Můžete se podívat na moje trigonometrická videa, abyste si to osvěžili.
Jedna věc, která je docela zajímavá, je... ...všimněte si, že frekvence a perioda...
Toto je perioda funkce, tj. jak dlouho trvá jedna fáze.
Toto je počet fází za jednu sekundu... ...a obě jsou nezávislé na A.
Nezáleží na tom, můžu to natáhnout jen trochu, třeba takto
a bude to trvat stejně dlouho, aby se to vrátilo zpět,
a bude se to vracet stejně, i kdybych to natáhnul hodně.
Kdybych to natáhnul jen trochu, funkce by vypadala takto.
Musím se ujistit, že to dělám správně.
Toto nedělám správně.
Upravit, zpátky.
Kdybych to natáhnul jen trochu, amplituda bude menší,
ale ta funkce bude v podstatě stejná.
Udělá to toto.
Doba k dokončení fáze bude stejná, jen amplituda bude menší.
To mi přijde zajímavé. Ať to natáhnu jak chci,
nebude to trvat více nebo méně času, aby to dokončilo jednu fázi.
To je zajímavé.
Když jsem vám řekl, že mám předměty stlačené.
V tomto případě, řekněme, že moje A je -3.
Mám koeficient tuhosti... ...řekněme, že ‚k‛ je třeba 10.
A mám závaží o hmotnosti 2 kilogramy.
Potom vám mohu ihned říci, jaká je rovnice pozice,
jako funkce času v kterémkoli bodě.
Bude to rovno x(t)...dochází mi místo...
...x(t) bude rovno...je to jen jednoduchá substituce...-3 kosinus (10 děleno 2).
...k lomeno m je 5...
Takže druhá odmocnina z 5t.
Vím, že je to těžké přečíst, ale chápete to.
Jen jsem využil substituci.
Ale ta důležitá věc, kterou byste měli vědět, je toto...
...myslím, že je to ta nejdůležitější věc...
...když máte trigonometrickou funkci a máte problém si vzpomenout,
jak zjistit periodu nebo frekvenci...
...ačkoliv vždycky přemýšlím, kdy je tento výraz roven 1?
A potom můžete zjistit...kdy se to rovná 1, nebo kdy se to rovná 0...
a tím můžete zjistit periodu.
Když to nemáte,
můžete si zapamatovat tento výraz pro periodu a tento výraz pro frekvenci,
ale myslím, že je to zbytečné plýtvání vaší mozkové kapacity.
Na viděnou v dalším videu.
ברוכים השבים.
אם עצמתם את עיניכם, כי לא רציתם לראות חשבון
דיפרנציאלי, אתם יכולים לפקוח אותן בחזרה.
לא יהיה לנו עסק עם חשבון דיפרנציאלי
בסירטון הזה.
רק נחזור על מה שכבר עברנו, בסדר? אמרנו
שיש לנו קפיץ - הפעם ציירתי אותו אנכית - אך
אני מניח שאין גרביטציה, כאילו שזה מבט על,
על קפיץ שמונח על שולחן, כי אנו לא רוצים
להסתכל על השפעת הגרביטציה על
תנועתו של הקפיץ.
אנו רוצים להתרכז בקפיץ עצמו.
זה גם יכול ליות בחלל, או משהו כזה.
אנו לא מתייחסים לגרביטציה.
ציירתי אותו אנכית, בתקווה שזה יעזור
להבין את העקומה הזאת טוב יותר.
התחלנו בזה שאמרנו שאם הקפיץ נמצא ב- 0,
כלומר x שווה 0, זה המצב הטבעי (הרפוי) של
הקפיץ. לא משכתי ולא דחפתי את הקפיץ. לא
נגעתי במסה.
כאמור, יש מסה הקשורה לקצה הקפיץ, ואם אני
מותח את הקפיץ עד לנקודה A, מה קורה אז?
הוא מתחיל לנוע במהירות נמוכה, אבל ישנו
כוח מחזיר המושך אותו חזרה לכוון
המצב הזה.
הכוח הזה גורם להאצת המסה, היא מאיצה
ומאיצה עד שהיא מגיעה לכאן.
כאן תהיה לה מהירות גבוהה, והיא
תתחיל להאט.
היא תאט יותר ויותר, עד
שהמהירות תתאפס, והיא תחזור חזרה.
כשאנו מציירים את זה כפונקציה של הזמן,
זה מה שקורה.
היא מתילה לנוע לאט, מאיצה.
בנקודה הזאת, כש- x שווה ל- 0,יש לה את המהירות המירבית.
קצב שינוי ההעתק
הוא מירבי. אנו רואים שהשיפוע כאן
הוא מאד תלול.
ואז, היא מתחילה להאט שוב, ומאיטה
עד שהיא מגיעה חזרה לנקודה A.
ואז היא נעה מעלה ומטה, מעלה ומטה, בצורה כזאת.
אנו השתמשנו קצת בחשבון דיפרנציאלי,
כדי למצוא את נוסחת ההעתק
כפונקציה של הזמן.
אני לא ממליץ שתזכרו את
הנוסחה הזאת בעל פה,
אך לא יזיק.
היא מאד שימושית, ניתן לקבל איתה
את ההעתק של המסה כפונקציה של הזמן,
את התדירות של התנודות ועוד
דברים אחרים.
אם מתמצאים בנגזרות, ניתן לקבל את
המהירות של המסה פונקציה של הזמן.
זה נחמד.
מה אנו יכולים לעשות עכשיו?
בואו ננסה למצוא את זמן
המחזור של התנודות.
באופו כללי, אנו מדברים על תנודות הרמוניות,
וזאת תנועה הרמונית פשוטה.
תנועה הרמונית פשוטה היא תנועה אותה ניתן
לתאר בעזרת פונקציה טריגונומטרית כזאת.
הגוף מתנודד קדימה ואחורה, קדימה ואחורה.
אנו עוסקים בתנועה הרמונית.
בואו נמצא את זמן המחזור.
תזכרו שאמרנו שאחרי זמן של T שניות, הגוף
חוזר למקומו ההתחלתי, ואחרי עוד T שניות
הוא חוזר פעם נוספת למקומו ההתחלתי.
בואו נמצא מהו ה- T הזה.
זה זמן המחזור, בסדר?
מהו זמן המחזור של הפונקציה הזאת?
זה הזמן שלוקח לגוף לחזור למקומו ההתחלתי.
זה הזמן שלוקח להשלים מחזור אחד.
מהו T?
אשאל אותכם שאלה.
זאת פונקצית קוסינוס, בסדר?
מהן הנקודות
בהן הקוסינוס שווה ל- 1?
או, בהן הפונקציה הזאת שווה ל- A?
כי כל פעם שהקוסינוס שווה ל- 1, כל
הפונקציה שווה ל- A.
הנקודות האלו.
נקרא לזווית טטה,
מתי קוסינוס טטה שווה ל- 1?
באילו זוויות זה מתקיים?
זה מתקיים כשטטה שווה ל- 0, נכון?
קוסינוס 0 שווה 1.
גם קוסינוס 2 פאי שווה 1, נכון?
אפשר להמשיך ולהסתובב במעגל היחידה.
כדאי לכם לצפות בסירטון על מעגל היחידה, זה
יעזור לכם להבין.
או בסרטונים העוסקים בגרפים של הפונקציות הטריגונומטריות.
זה מתקיים גם ב- 4 פאי.
בעצם, בכל כפולה של 2 פאי,
נכון?
הקוסינוס של הזווית שווה 1.
אותו דבר כאן.
באיזה נקודות הפונקציה הזאת, (x (t, שווה ל- A?
הפונקציה (x (t שווה ל- A כשהביטוי הזה, הארגומנט
של הקוסינוס, שווה ל- 0, 2 פאי,
4 פאי, וכו'.
המחזור הראשון מתקיים מ- 0
עד 2 פאי - מ- 0 ל- T. זה יהיה ב- 2 פאי, נכון?
הפונקציה הזאת תהיה שווה ל- A בנקודות
האלה, נכון?
כאן הפונקציה תהיה שווה ל- A.
זה יקרה פעם נוספת באיזשהו מקום כאן.
כשהארגומנט שווה ל- 2 פאי,
או לכפולה כלשהי של 2 פאי.
אם כן, ניתן להגיד ש- (x (t שווה ל- A, כשהשורש
הריבועי של k חלקי m, כפול הזמן, שווה ל- 2 פאי.
בואו נסתכל על זה אחרת, בואו נכפיל
את שני האגפים של המשוואה הזאת בהופכי של
השורש הריבועי של k חלקי m.
מקבלים ש- t שווה ל- 2 פאי כפול ההופכי של
השורש הריבועי של זה, נכון?
של m חלקי k.
הנה יש לנו את זמן המחזור של התנועה.
הוא שווה ל-- 2 פאי כפול השורש הריבועי
של m חלקי k.
אם מישהו שואל אותכם, מהו זמן המחזור של התנועה
כשאני אמשוך בקצה של קפיץ - אאריך אותו
או אכווץ אותו?
כמה זמן ייקח לקפיץ לחזור
למקומו ההתחלתיי?
הוא ימשיך להתנודד, כל עוד אין חיכוך
ואין גרביטציה, ולא התנגדות האוויר,
או משהו כזה.
התנגדות האוויר היא סוג מסוים של חיכוך.
אתם יכולים לזכור את הנוסחה הזאת,
אך אפשר גם לקבל אותה כשיודעים מה מקורה,
ואז תוכלו לענות על השאלה.
זה 2 פאי כפול השורש של m חלקי k.
זה הזמן שלוקח לקפיץ
להשלים מחזור אחד.
מהי התדירות של התנועה?
רוצים לדעת כמה מחזורים יש בשנייה, זה בעצם
ההופכי של זמן המחזור.
התדירות שווה ל- 1 חלקי
זמן המחזור, נכון?
זמן המחזור נתון בשניות למחזור.
אז, התדירות נתונה במחזורים לשנייה,
זה מחזורים לשנייה.
התדירות היא 1 חלקי זה.
זה 1 חלקי 2 פאי, כפול השורש הריבועי של k חלקי m.
זאת התדירות.
קשה לי לזכור את הנוסחה הזאת, וגם זאת.
האם זה m חלקי k,
או k חלקי m?
כל מה שעליכם לזכור זה את הנוסחה הזאת.
וממנה ניתן לגזור
את היתר.
אם יש צורך להוכיח אותה, ניתן לחזור
למשוואה הדיפרנציאלית.
אם יש לכם את זה, אתם יכולים לענות על כל שאלה
הקשורה להעתק של המסה בכל רגע.
וגם בקשר למהירות של המסה בכל רגע, על
ידי גזירה.
וגם לקבל את זמו המחזור ואת התדירות של התנועה,
כל עוד אתם יודעים מהם זמן המחזור והתדירות
של פונקציות טריגונומטריות.
אם אתם רוצים לרענן את הידע שלכם, אתם יכולים
לצפות בסירטוני הטריגו שלי.
יש משהו שכדאי לשים לב
בקשר לזמן המחזור והתדירות.
זה זמן המחזור, כמה זמן
לוקח מחזור אחד.
זה כמה מחזורים יש בשנייה - שניהם
אינם תלוים ב- A.
זה לא משנה, אתם יכולים למתוח את הקפיץ במעט,
כמו כאן, זה ייקח לו אותו זמן לחזור למקומו
ההתחלתי, גם אם תמתחו
אותו הרבה.
זה יעשה את זה.
אם מתחתי את הקפיץ מעט, הפונקציה
תיראה ככה.
אני משתדל לעשות את זה נכון.
אני לא עושה את זה נכון.
נעשה "ביטול פעולה".
המשרעת תהיה יותר קטנה,
אך זאת בדיוק אותה
הפונקציה.
זה יעשה ככה.
זה ייקח אותו זמן להשלים מחזור אחד,
כשהמשרעת קטנה.
זה מעניין. לא חשוב כמה אני מותח את הקפיץ,
זה לא ייקח יותר או פחות זמן
להשלים מחזור.
זה מעניין.
נראה דוגמה מספרית: נניח שאני
מכווץ את הקפיץ, בסדר?
נניח ש- A שווה מינוס 3.
יש לנו קבוע קפיץ, k,
שערכו 10.
ויש לנו מסה בת 2 קילוגרם. נראה מהי
נוסחת התנועה כפונקציה של הזמן,
בנקודה כלשהי.
זה יהיה (x (t - המקום בלוח הולך להיגמר.
זאת הצבה פשוטה. (x (t שווה
מינוס 3 קוסינוס של שורש ריבועי של 10 חלקי 2, בסדר?
שורש של k חלקי m, זה 5.
השורש של 5 כפול הזמן t.
קשה לקרוא את זה, אך אני מקווה שהבנתם.
רק הצבתי מספרים.
מה שחשוב זה לדעת את נוסחת ההעתק
כפונקציה של הזמן, אז כדי לקבל מהו זמן המחזור
או התדירות, אם מתקשים לזכור את הנוסחאות שלהם,
כל מה שצריך לחשוב הוא
מתי הביטוי הזה שווה ל- 1.
אם תקבלו מתי הביטוי הזה שווה ל- 1,
תוכלו לקבל את זמן המחזור.
או אולי אתם הייתם רוצים לזכור
את הנוסחה של זמן המחזור, או את הנוסחה
של התדירות, אבל אני חושב שזה בזבוז של
מקום בראש.
בכל מקרה, נתראה בסירטון הבא.
Olá, pessoal!
Se você pulou o último video por não saber cálculo,
pode ficar tranquilo agora
Não haverá cálculo
nesse video.
Mas, só para revisar o que já vimos:
temos uma mola- e eu a fiz na vertical dessa vez-
mas finja que não existe gravidade, ou faça de conta
que estamos vendo a mola de cima,
porque queremos ignorar
o efeito da gravidade
Só queremos nos preocupar com a mola.
Ela poderia estar no espaço sideral, por exemplo
sem que a gravidade a afetasse.
Mas eu só a fiz verticalmente para que pudessemos
ter uma intuição maior sobre a curva.
Bem, nos começamos dizemos que há uma mola e que
o ponto "O" tem valor de x = 0, porque é o ponto de descanso
da mola, ou seja, se eu não puxasse a mola, é aí
que ela estaria
Mas eu tenho um corpo maciço atrelado à mola, e se eu
esticasse a mola até o ponto A, o que ocorreria?
Bem, ela começaria a se movimentar bem devagar,
mas há uma força restauradora que vai puxar
a mola para a posição O de novo
então, essa força vai acelerar o corpo, acelerar..
acelerar.. até ele chegar até aqui.
E aí, ele terá muita velocidade , mas começará
a desacelerar.
E ele vai desacelerar, desacelerar, desacelerar...
que sua velocidade será 0, e aí ele voltará a subir.
E se nós desenharmos X em função do tempo,
isso ocorrerá.
Começarã se movendo bem devagar, acelerando,
Chegando aqui, x = 0 e a velocidade é máxima
então, a variação de espaço, é a maior nesse ponto;
podemos ver isso claramente, no gráfico
E ai, o corpo começa a perde velocidade, cada vez mais
Até voltarmos ao ponto A
e esse ciclo continua...
E nós mostramos que, na verdade, a equação de espaço
em função de tempo é X(t)
e usamos equações diferenciais para provar.
Mas essa equação- não que eu recomende que vc decore-
é bem útil
Porque você pode usá-la para descobrir tudo
sobre a posição do corpo em qualquer instante dado
ou a frequência, periodo...
até a velocidade, se você souber um pouco de cálculo, você
pode descobrir , para qualquer instante
E é bem prática.
então, o que podemos fazer agora?
Bem, vamos tentar descobrir o período
desse sistema oscilatório
E só, para que você saiba
isso é um movimento harmônico simples (MHS)
MHS é algo que pode
ser descrito trigonometricamente,
e oscila de lá pra cá, de lá pra cá..
E agora vamos descobrir qual é o período
Lembre-se do que dissemos, depois de T segundos, o corpo volta
ao seu espaço original, e depois de outros T segundos
ele volta , novamente a sua posição original.
Nosso trabalho é descobrir o valor de T
que é, essencialmente, o Período, certo?
O que é o período de uma função?
é o tempo que leva para que ela volte ao seu espaço inicial
Ou quanto demora para o ciclo se repetir
E aí, quanto é T?
Então ,deixe-me perguntá-lo algo.
notem que essa é uma função cosseno, certo?
Quais são os pontosem que o cosseno é igual a 1?
ou, nos quais a função seria igual a A?
Porque, quando o cosseno for igual a 1,
a função valerá A, não é?
E são esses os pontos.
Bem, o cosseno é igual a 1, quanndo..
quais são os angulos
que fazem do cosseno 1?
Bem, cosseno é 1 qnd o ângulo for 0, não?
o cosseno de 0 é 1
Cosseno de 2pi também é 1, não é?
Nós poderíamos continuar dando a volta no ciclo trigonométrico
Se você não sabe o que é isso, assista o video do ciclo
trigonometrico.
Ou o de funções trigonometricas
cosseno também vale 0 em 4pi
Para qualquer multiplo de 2 pi, isso é verdadeiro.
Certo?
O Cosseno de qualquer ângulo desse tipo,
vale 1
Essa funlão X(t) é igual a "A" em quais pontos?
x é igual a A, onde o ângulo for igual a 0,
2pi
4pi, etc..
E esse é o primeiro ciclo completo, não é? quando vamos de 0 a 2pi
ou seja, de 0 a T, então T é igual a 2pi, não é?
então essa expressão será igual a A, quando cosseno for 1, ou seja..
nesses pontos, não é?
Nesses pontos, a função será igual a A.
E isso acontecerá de novo,
quando o ângulo for 2pi..
ou qualquer multiplo de 2pi
Então, poderíamos dizer que x(t)= 0
Retornando
E se você estiver cobrindo seus olhos por que você não quer
ver Calculo, eu acho que você pode abrir seus olhos de novo
não devem ter muitos aparecimentos significativos de
Calculo nesse vídeo
Mas só para rever o que nós passamos, nós dissemos, Ok se
nós tivermos uma mola -- e eu desenhar ela verticalmente desta vez --- mas
fingir que não há gravidade, ou talvez fingir com se
estivessemos vendo - estamos olhando do topo de uma mesa , porque
nos não queremos ver o efeito da
mola e da gravidade
Nos só queremos ver o efeito na mola
Então isso pode ser no espaço, ou algo parecido.
Mas nos não estamos pensando em gravidade
Mas eu desenhei ela verticalmente só para termos mais
noção dessa curva.
Bem, começamos dizendo que se eu tenho uma mola no 0
-- e x=0 é o ponto natural de repouso da mola,
Se eu deixar somente a massa -- se eu não puxar a
mola de forma alguma.
Mas eu tenho uma massa ligada à mola, e se eu fosse
esticar a mola ao ponto A, vamos dizer, o que acontece?
Bem, ela começa com pouca velocidade, mas existe
força restauradora, que estará puxando a de volta
na direção desta posição.
Então esta força vai acelerar a massa, acelerar a massa,
acelerar a massa, até ela chegar aqui.
E então ela terá muita velocidade aqui, mas então
ela começará a desacelerar.
E então ela vai desacelerar, desacelerar, desacelera.
Sua velocidade vai parar, e ela voltará para cima.
E se nós desenhássemos esta função do tempo.
é isto que acontece.
Ela começa movendo lentamente, acelera.
Nesse ponto, em x=0, ela tem sua velocidade máxima.
Então a taxa de mudança da velocidade - ou a taxa
de mudança de posição é mais rápida. E podemos ver que a inclinação
está bem rápida aqui.
E então, começamos diminuindo a velocidade novamente, diminuindo a velocidade
até voltarmos ao ponto A.
E então ficamos subindo e descendo, subindo e descendo, assim.
E nós mostramos que na verdade, a equação para a posição da massa
como uma função do tempo é x de t -- e usamos um
pouco de equações diferenciais para provar isso.
Mas esta equação -- não que eu recomendei que você memorizasse
alguma coisa -- mas esta é uma equação muito
útil parar se memorizar.
Porque você pode usa-la para descobrir qualquer
coisa -- sobre a posição, ou a massa em qualquer tempo
dado, ou a frequência do movimento de oscilação,
ou qualquer outra coisa.
Mesmo a velocidade,se você sabe um pouco de cálculo,
você pode descobrir a velocidade em qualquer tempo do objeto.
E isso é bem nítido.
Então o que fazemos agora?
Bom, vamos tentar descobrir o período
desse sistema de oscilação.
E só para você saber -- Eu sei que coloco a legenda de movimento
harmônico em tudo isso -- isto é um movimento harmônico simples.
Movimento harmônico simples é algo que pode ser
descrito por uma função trigonométrica como essa.
E só oscila de um lado para o outro, de um lado para o outro.
E então, o que estamos fazendo é movimento harmônico.
E agora, vamos descobrir o que é o período.
Lembrem que dizemos que depois de T segundo, ela volta
para sua posição original, e então depois de outros T segundos,
ela volta para sua posição original.
Vamos descobrir quem é o T.
E isso é essencialmente o período, certo?
Qual é o período de uma função?
É quanto tempo ela leva para voltar ao ponto de partida.
Ou quanto tempo ela leva para que um ciclo completo aconteça uma vez.
Então o que é esse T?
Deixe-me fazer uma pergunta.
Quais sào todos os pontos -- isso se essa
for uma função coseno, certo?
Quais são os pontos nos quais o coseno é igual a 1?
Ou onde esta função seria igual a A, certo?
Porque não importa onde coseno for 1, toda esta
função será igual a A.
E são estes pontos.
Bem coseno é igual a 1 quando -- então, teta, vamos dizer,
quando coseno de teta é igual a 1?
Então, em qual ângulo isso é verdade?
Bem, é verdade que em teta é igual a 0, certo?
Coseno de 0 é 1.
Coseno de 2pi também é 1, certo?
Nós podemos ficar dando voltas nesse círculo unitário.
Você deveria assistir o vídeo sobre círculo unitário se isso
não faz sentido algum para você.
Ou os gráficos de funções trigonométricas.
Também é verdade em 4pi.
Realmente, em qualquer múltiplo de 2pi isso é verdade.
Correto?
Coseno de um ângulo é igual a 1.
Então a mesma coisa é verdade.
Esta função, x de t, é igual a A em quais pontos?
x de t é igual a A sempre que essa expressão -- dentro dos
cosenos -- sempre que essa expressão é igual a 0, 2pi,
4pi, etc.
E esta é a primeira vez que circula, certo, de 0 ao 2 pi
-- de o ao T, isso será em 2pi, certo?
Então toda esta expressão será igual a A, quando k
-- e estes pontos, certo?
É quando esta função é igual a A.
Isso acontecerá tudo de novo em algum lugar.
Quando essa pequena expressão interna for igual 2pi,
ou quando for qualquer múltiplo de 2pi.
Então podemos dizer, x de t é igual a A quando a raiz
quadrada de k sobre m vezes t for igual a 2pi.
Ou pensando de outra maneira, vamos multiplicar
ambos os lados da equação pelo inverso da
raiz quadrada de k sobre m.
欢迎回来
如果大家因为不想看微积分而遮住了眼睛
我想大家可以睁开眼睛了
这个视频中不会
出现微积分
但为了复习我们讲过的知识 我们曾说
如果我们有个弹簧 这次我垂直画个弹簧
但假设没有重力
或假设我们在看
我们俯视一个桌子 因为
我们不想同时研究弹力和重力
我们只希望研究弹力
这可能在外太空中 或其他地方
但我们不考虑重力
我垂直画弹簧 以便于我们
可以更直观地看曲线
好的 从假设我们有个弹簧
x=0描绘的是弹簧的自然状态
如果质量是
如果我不拉弹簧
但是弹簧上有个物体
如果将弹簧拉到A点 我们说
会发生什么呢？ 弹簧开始有个很小的运动速度
但这有个恢复力
它想将弹簧重新拉回到这个位置
这个力会对物体块产生加速度 物体块有加速度
对物体块有加速 直到物体块到这儿
然后物体块有很大的速度
然后它会开始减速
然后它会减速 减速 再减速
速度会停止 物体块会重新上升
如果我们画出位置对于时间的函数
这是位置的变化
它开始移动得缓慢 加速
在这点 当x=0时 有最大速度
速度的变化率
或说位置的改变率是最快的
可以看出斜率在这里很大
然后 又开始变慢 变慢
直到我们重新到达A点
然后继续上升再下降 再上升再下降 如此反复
我们应该表示出物体块位置相对于时间的函数
是x(t) 我们使用
一点微分方程的知识来证明一下这个运动
但这个函数 我不建议大家记住这个
但这是个值得记住的有用方程
因为大家可以使用它来求出几乎任何
关于位置的东西 或说任何时间物体块的位置
或是这个震荡运动的频率 或者其他任何东西
甚至求出速度 如果我们知道微积分的知识
大家可以求出这个物体任何时刻的速度
这听起来很棒 我们现在能做什么呢？
好的 我们试着求出震荡运动的周期
如大家所知
我知道我把这标上了简谐运动的标签
这是个简谐运动
简谐运动可以被
描述为像这样的三角函数
它来回地震荡 来回震荡
因此 我们做的是简谐运动
现在 我们求解一下周期
记住 我们说经过T秒 物体块回到
最初的位置 然后经过另一个T秒
它又回到最初的位置
我们求解一下T
这实际上是它的周期 对吗？
一个函数的周期是什么？
是函数重新回到起始点所用的时间
或说让循环再发生一次所需要的时间
周期是多少？ 我来问大家一个问题
所有的点
如果这是个余弦函数 对吗？
余弦值等于1时的所有位置是哪些？
或说让这个函数等于A的位置 对吗？
因为一旦当余弦值等于1时
整个函数值等于A 也就是这些点
余弦值等于1 θ 比方说
什么时候cosθ等于1？
在哪些角度上这个式子是正确的？
当θ=0时是正确的 对吗？
cos0等于1 cos2π也等于1 对吗？
我们可以继续绕着单位圆转动
若现在大家不明白
可以看看介绍单位圆的视频或画出三角函数的图像
θ等于4π时也是正确的
实际上在2π任何倍数上 式子都是正确的
这些角的余弦值是1 所以也有同样的情况
这个函数 x(t) 在哪些点上等于A？
x(t)等于A 当这个式子
在余弦符号内部 当这个表达式等于0
2π 或4π 等等
它的第一个周期 从0到2π
从0到T 这将到达2π 对吗？
整个表达式将等于A 当k
就是这些点 对吗？
在这些点函数等于A
在这里的某个地方循环会再次开始
当这个内部表达式等于2π时
或者等于2π的倍数时
我们可以说 x(t)等于A 当k/m的开根号
乘以t 等于2π
另一种思考方法是 在方程两边乘以
根号(k/m)
的倒数
大家得到 t等于2π乘以根号-
就是这个的倒数 对吗？ 即m/k
我们得到了函数的周期
也就是2π
乘以m/k的平方根
如果有人告诉你们 我有个弹簧 要从某处
拉它 要拉伸弹簧 或者压缩它
然后放松弹簧 周期是多少？
让弹簧重新回到它最初的位置需要
多长时间？
弹簧会一直震荡 因为没有摩擦力
没有重力 没任何空气阻力 或类似的力
空气阻力实际上是一种摩擦力
大家可以立即 如果大家记得这个公式
尽管大家要知道公式是怎么推导来的 大家可以
立即说 我知道周期是多少
这是2π乘以m除以k的平方根
这是让弹簧回到起始状态的时间
弹簧完成一个循环的时间 频率是多少呢？
如果大家想知道弹簧每秒经过多少个周期
频率是周期的倒数 对吗？
如果我想要知道频率
也就是1除以周期 对吗？
周期单位是秒每循环
所以频率的单位是循环每秒
这是秒每循环
频率就是1除以这个
也就是1除以2π乘以k/m的平方根
这是频率
但我总是很难记住这个 还有这个
老是k/m 还有m/k 之类的东西
大家要记住的是这个 甚至这个
大家还要在直觉上知道这为什么是正确的
大家甚至可以使用微分方程
如果大家想自己证明一下这个式子的话
因为如果有了这个 实际上可以回答任何
关于任何时刻这个物体块处于何处的问题
任何时刻这个物体块的速度
只要求导就可以求出了
或求周期 或者频率
只要大家知道如何求三角函数的
周期和频率
大家可以看我的视频 看我关于三角函数的视频
复习一下这方面的知识
关于这个的一件很有趣的事情是
注意这个频率和周期 对吗？
这是函数的周期
也就是一个循环花费的时间
这是一秒钟经历的周期数
它们两个都和A无关
与A毫无关系 我可以将弹簧拉伸一点
比如在这 它需要相同的时间回到初始位置
像这样返回 正如我拉伸更多距离所发生的一样
它也会这样运动 如果我将弹簧拉伸得少一点
函数将会像这样 确保我做对了
我画错了 编辑 撤销
如果我将弹簧拉伸这么一点点 振幅将会减小
但是实际上函数有相同的变化趋势
它将会像这样
它将需要相同的时间来完成
一个循环 只是它会有小点的振幅
这对我来说很有趣 不管我将弹簧拉伸多少
它并不会需要更多或更少的时间来
完成一个循环 这很有趣
如果我告诉你们
实际上我要对物体做压缩 对吗？
在这种情况下 假设A等于-3
弹性系数是 比方说K 我不知道 是10
质量是2千克
我可以立即告诉大家
在任何一点位置相对于时间的函数是什么
将是x(t)等于 没有地方写了
x(t)将是 这是基本的替换
-3cos 10/2 对吗？ k除以m 是5
根5乘以t 我知道这很难看清
但大家明白这一点 我只是替换了这个
但要知道的重要的事情是 这是 我想
这是最重要的事 如果给定了一个三角函数
大家记不住怎样求出周期
或者频率 尽管我总是思考
什么时候这个表达式等于1？
然后大家可以求出 它什么时候等于1
或者什么时候它等于0 然后大家可以求出周期
如果大家不明白 可以记住这个求周期的公式
和这个求频率的公式
但我想这会浪费你们的大脑空间
下次视频再见