0:00:03.457,0:00:04.768
Σ΄αυτό το βίντεο θέλω να γνωρίσουμε τους αρνητικούς αριθμούς

0:00:04.768,0:00:07.564
και να μάθουμε πώς τους προσθέτουμε και τους αφαιρούμε.

0:00:09.326,0:00:11.612
Όταν τους συναντά κανείς για πρώτη φορά, φαίνονται σκοτεινοί και μυστηριώδεις.

0:00:11.612,0:00:14.769
Όταν αρχίζουμε να μετράμε πράγματα, μετράμε θετικούς αριθμούς.

0:00:14.769,0:00:17.346
Τι σημαίνει λοιπόν "αρνητικός αριθμός";

0:00:20.835,0:00:22.905
Αν όμως το καλοσκεφτείτε, πιθανότατα έχετε ήδη συναντήσει αρνητικούς αριθμούς στη ζωή σας.

0:00:26.412,0:00:30.674
Αλλά πριν σας δώσω παραδείγματα, η γενική ιδέα είναι πως αρνητικός αριθμός είναι κάθε αριθμός μικρότερος από το μηδέν.

0:00:30.674,0:00:34.839
Μικρότερος από το μηδέν.

0:00:37.191,0:00:39.851
Και αν αυτό σας φαίνεται περίεργο και αφηρημένο, ας το δούμε με κάποια παραδείγματα.

0:00:45.251,0:00:47.114
Ας πούμε ότι μετράμε τη θερμοκρασία (είτε σε βαθμούς Κελσίου, είτε σε Φαρενάιτ)

0:00:47.114,0:00:49.881
ας πούμε λοιπόν ότι τη μετράμε σε Κελσίου.

0:00:51.878,0:00:53.707
Ζωγραφίζω λοιπόν μια μικρή κλίμακα για να μετρήσουμε σ' αυτήν τη θερμοκρασία.

0:00:57.099,0:01:02.909
Ας πούμε λοιπόν ότι αυτό είναι οι μηδέν βαθμοί Κελσίου, αυτό ο ένας βαθμός Κελσίου, οι 2, οι 3.

0:01:05.817,0:01:10.296
Ας πούμε τώρα ότι είναι μια κρύα μέρα και ότι η θερμοκρασία είναι 3 βαθμοί Κελσίου.

0:01:12.004,0:01:16.976
Και κάποιος που μπορεί να προβλέψει το μέλλον, σας λέει ότι αύριο η θερμοκρασία θα πέσει 4 βαθμούς.

0:01:16.976,0:01:21.502
Πόσο κρύο θα κάνει λοιπόν; Πώς μπορούμε να μετρήσουμε αυτό το κρύο;

0:01:25.126,0:01:26.874
Για να δούμε: αν η θερμοκρασία έπεφτε μόνο κατά ένα βαθμό, θα έφτανε τους 2 βαθμούς Κελσίου. Αλλά ξέρουμε ότι θα πέσει 4 βαθμούς.

0:01:26.874,0:01:32.068
Αν έπεφτε 2 βαθμούς, θα έφτανε στον 1 βαθμό Κελσίου.

0:01:32.068,0:01:35.311
Αν έπεφτε 3 βαθμούς, θα έφτανε στους 0 βαθμούς.

0:01:38.453,0:01:43.965
Αλλά δε φτάνει να πέσει 3 βαθμούς. Ξέρουμε ότι θα πέσει 4 βαθμούς, άρα θα πρέπει να πάμε ένα βαθμό πιο κάτω από το μηδέν.

0:01:43.965,0:01:50.416
Και αυτό το ένα κάτω από το μηδέν, το λέμε "μείον ένα".

0:01:52.907,0:01:57.029
Και μπορείς να το δεις αυτό: η γραμμή των αριθμών όσο πας προς τα δεξιά του μηδέν αυξάνεται σε θετικές αξίες,

0:01:57.029,0:02:04.207
αλλά όσο πας προς τα αριστερά του μηδέν, θα πάρεις -1, -2, -3.

0:02:07.301,0:02:09.948
Και θα έχεις - αν το σκεφτείς έτσι - μεγαλύτερους αρνητικούς αριθμούς.

0:02:09.948,0:02:15.372
Αλλά θέλω να είναι ξεκάθαρο: το -3 είναι λιγότερο από το -1.

0:02:15.372,0:02:19.488
Υπάρχει λιγότερη ζέστη στον αέρα στους -3 βαθμούς παρά στον -1.

0:02:19.488,0:02:23.329
Κάνει πιο κρύο - η θερμοκρασία είναι μικρότερη.

0:02:23.329,0:02:39.824
Για να το ξεκαθαρίσουμε λοιπόν: το -100 είναι πολύ μικρότερο από το -1.

0:02:41.913,0:02:45.094
Αν δεις το 100 και μετά δεις το 1 η πρώτη σου αντίδραση μπορεί να είναι ότι το 100 είναι μεγαλύτερο.

0:02:45.094,0:02:46.272
Αλλά, αν το καλοσκεφτείς, -100 σημαίνει ότι κάτι λείπει.

0:02:52.304,0:02:55.737
-100 βαθμοί Κελσίου είναι μια έλλειψη θερμότητας. Άρα υπάρχει πολύ λιγότερη θερμότητα στους -100 απ' ότι στον -1 βαθμό.

0:02:55.737,0:02:57.493
Για να δώσω ακόμα ένα παράδειγμα:

0:02:57.493,0:03:11.264
Ας πούμε ότι σήμερα στον τραπεζικό μου λογαριασμό έχω 10 δολάρια.

0:03:13.114,0:03:14.949
Ας πούμε λοιπόν ότι βγαίνω έξω (γιατί αισθάνομαι ωραία που έχω 10 δολάρια),

0:03:14.949,0:03:21.426
και ξοδεύω 30 δολάρια.

0:03:24.275,0:03:26.861
Και, ας πούμε, ότι η τράπεζά μου με αφήνει να ξοδεύω

0:03:26.861,0:03:28.354
περισσότερα χρήματα απ' όσα έχω -- υπάρχουν όντως τέτοιες τράπεζες!

0:03:30.422,0:03:32.907
Ξοδεύω λοιπόν 30 δολάρια. Πώς θα μοιάζει ο λογαριασμός μου τώρα;

0:03:37.839,0:03:43.284
Μπορεί ήδη να σκέφτεσαι μια απάντηση σ' αυτή την ερώτηση. Θα χρωστάω κάποια χρήματα στην τράπεζα.

0:03:43.284,0:03:47.130
Πώς θα είναι ο λογαριασμός μου αύριο;

0:03:47.130,0:03:51.642
Θα πεις λοιπόν: "Αν έχω 10 δολάρια και ξοδέψω 30 δολάρια,

0:03:54.219,0:03:56.489
υπάρχουν 20 δολάρια που από κάπου πρέπει να προήλθαν". Αυτά τα 20 δολάρια ήρθαν από την τράπεζα.

0:03:56.489,0:03:59.119
Άρα, θα χρωστάω στην τράπεζα 20 δολάρια.

0:04:00.789,0:04:07.199
Έτσι, στον τραπεζικό μου λογαριασμό, για να φαίνεται πόσα χρήματα έχω, θα μπορούσα να πω ότι 10 - 30 = -20 δολάρια.

0:04:13.345,0:04:18.075
Αν πω λοιπόν ότι έχω -20 δολάρια, αυτό σημαίνει ότι χρωστάω στην τράπεζα - δεν τα έχω αυτά τα λεφτά.

0:04:20.946,0:04:22.535
Όχι μόνο δεν έχω τίποτα, αλλά χρωστάω κιόλας. Είναι το ανάποδο.

0:04:25.589,0:04:29.228
Εδώ έχω να ξοδέψω κάποια χρήματα. Τα 10 μου δολάρια σημαίνουν ότι η τράπεζα μου χρωστά 10 δολάρια.

0:04:33.390,0:04:34.963
Αν όμως ξαφνικά αρχίσω να χρωστάω στην τράπεζα, έχω πάει ανάποδα.

0:04:36.778,0:04:38.593
Αν χρησιμοποιήσουμε μια γραμμή των αριθμών εδώ, μπορεί να βγάλουμε περισσότερο νόημα.

0:04:38.593,0:04:39.832
Αυτό είναι το μηδέν.

0:04:43.347,0:04:47.417
Ξεκινάω με 10 δολάρια και ξοδεύω 30, δηλαδή πηγαίνω 30 θέσεις προς τα αριστερά.

0:04:49.848,0:04:52.804
Αν πάω 10 θέσεις προς τα αριστερά - αν δηλαδή ξοδέψω μόνο 10 δολάρια - θα φτάσω πάλι στα 0 δολάρια.

0:04:52.804,0:04:56.829
Αν ξοδέψω άλλα 10 δολάρια, θα φτάσω στα -10 δολάρια.

0:04:56.829,0:05:02.208
Αν ξοδέψω κι άλλα 10 δολάρια, θα φτάσω στα -20 δολάρια.

0:05:04.483,0:05:06.759
Έτσι για κάθε μια από αυτές τις αποστάσεις ξοδεύω 10 δολάρια και φτάνω στα 0. Ξοδεύω άλλα 10 και φτάνω στα -10.

0:05:06.759,0:05:09.754
Ξοδεύω άλλα 10 και φτάνω στα -20.

0:05:09.754,0:05:13.144
Έτσι όλη αυτή η απόσταση εδώ, συνολικά, είναι το πόσα πολλά ξόδεψα.

0:05:13.144,0:05:17.270
Ξόδεψα 30 δολάρια.

0:05:20.398,0:05:23.327
Η γενική ιδέα είναι λοιπόν ότι αν ξοδεύεις, ή αν αφαιρείς (αν ο καιρός για παράδειγμα γίνεται πιο κρύος), πας προς τα αριστερά.

0:05:23.327,0:05:24.803
Οι αριθμοί γίνονται μικρότεροι.

0:05:24.803,0:05:27.229
Και τώρα ξέρουμε ότι μπορούν να γίνουν μικρότεροι και από το μηδέν.

0:05:27.229,0:05:31.604
Μπορούν να γίνουν -1, -1 -- ή ακόμα -1.5, -1.6.

0:05:31.604,0:05:34.948
Όσο πιο αρνητικοί γίνονται, τόσο περισσότερο χάνεις.

0:05:37.268,0:05:41.389
Αν προσθέτεις - αν για παράδειγμα πάρω το μισθό μου - θα μετακινηθώ προς τα δεξιά της γραμμής των αριθμών.

0:05:43.058,0:05:46.082
Τώρα που το καταλάβαμε αυτό, ας κάνουμε κάποια καθαρά μαθηματικά προβλήματα.

0:05:52.317,0:05:56.474
Ας πούμε, 3-4.

0:05:57.710,0:06:00.193
Είναι ακριβώς το ίδιο με αυτό που κάναμε με τη θερμοκρασία.

0:06:01.944,0:06:03.695
Ξεκινάμε με το 3 και αφαιρούμε 3. Δηλαδή μετακινούμαστε 4 θέσεις προς τα αριστερά.

0:06:03.695,0:06:05.854
Πάμε 1,2,3,4.

0:06:05.854,0:06:10.417
Φτάνουμε έτσι στο -1.

0:06:11.767,0:06:13.934
Και όταν αρχίσεις να το κάνεις αυτό, τότε καταλαβαίνεις τι σημαίνει ένας αρνητικός αριθμός.

0:06:15.843,0:06:17.752
Σας προτείνω να έχετε στο μυαλό σας την εικόνα της γραμμής των αριθμών και να μετακινείστε σ' αυτήν

0:06:17.752,0:06:19.961
ανάλογα με το αν προσθέτετε ή αφαιρείτε.

0:06:19.961,0:06:21.236
Ας κάνουμε λοιπόν ένα-δύο ακόμα προβλήματα.

0:06:21.236,0:06:27.848
Ας πούμε ότι έχουμε 2-8.

0:06:27.848,0:06:30.552
(Και θα δούμε και άλλους τρόπους να το κάνουμε αυτό στα επόμενα βίντεο),

0:06:30.552,0:06:33.612
αλλά τώρα, ας το δούμε στη γραμμή των αριθμών.

0:06:33.612,0:06:35.083
Έχουμε το 0 εδώ.

0:06:35.083,0:06:38.729
Είμαστε στο 1, 2.

0:06:43.891,0:06:47.043
Αν αφαιρέσουμε 8, αυτό σημαίνει ότι μετακινούμαστε 8 θέσεις προς τα αριστερά.

0:06:47.043,0:06:50.993
Έτσι θα πάμε ένα προς τα αριστερά, δύο προς τα αριστερά.

0:06:53.036,0:06:55.080
Πήγαμε λοιπόν δύο θέσεις προς τα αριστερά και φτάσαμε στο 0. Πόσες θέσεις ακόμα πρέπει να μετακινηθούμε προς τα αριστερά;

0:06:56.961,0:06:59.010
Πήγαμε ήδη δύο θέσεις προς τα αριστερά - άρα για να φτάσουμε τις 8, θα πρέπει να μετακινηθούμε άλλες 6 θέσεις προς τα αριστερά.

0:07:07.396,0:07:09.106
Πού θα φτάσουμε λοιπόν;

0:07:09.106,0:07:10.074
Ήμασταν στο 0.

0:07:10.074,0:07:18.706
Έχουμε -1,-2,-3,-4,-5, -6.

0:07:18.706,0:07:24.310
Άρα, 2 - 8 = -6.

0:07:26.540,0:07:29.633
2 - 2 μας κάνει 0. Όταν αφαιρείς 8, θα πρέπει να μετακινηθείς άλλες 6 θέσεις.

0:07:36.562,0:07:38.807
Ας κάνουμε ένα ακόμα παράδειγμα. Θα είναι λίγο περίεργο, αλλά ελπίζω ότι θα βγάζει νόημα.

0:07:38.807,0:07:43.976
Ας πάρουμε το -4 - 2.

0:07:49.439,0:07:51.009
Ξεκινάμε λοιπόν με έναν αρνητικό αριθμό και αφαιρούμε από αυτόν.

0:07:51.009,0:07:56.808
Αν αυτό σας μπερδεύει, θυμηθείτε την γραμμή των αριθμών!

0:07:59.680,0:08:07.015
Έχουμε λοιπόν το μηδέν εδώ. -1, -2, -3, -4. Ξεκινάμε λοιπόν από εδώ.

0:08:09.279,0:08:11.543
Θέλουμε λοιπόν να αφαιρέσουμε 2 από το -4, άρα θα μετακινηθούμε δύο θέσεις προς τα αριστερά.

0:08:15.387,0:08:21.723
Αν λοιπόν αφαιρέσουμε ένα, θα φτάσουμε στο -5. Αν αφαιρέσουμε κι άλλο ένα, θα φτάσουμε στο -6.

0:08:21.723,0:08:23.332
Άρα το αποτέλεσμα είναι το -6.

0:08:23.332,0:08:24.748
Ας κάνουμε τώρα κάτι άλλο ενδιαφέρον.

0:08:30.266,0:08:34.261
Ας ξεκινήσουμε από το -3 και αντί να αφαιρέσουμε, ας προσθέσουμε 2.

0:08:39.389,0:08:42.217
Ξεκινάμε λοιπόν από το -3 και προσθέτουμε 2. Άρα θα μετακινηθούμε προς τα δεξιά.

0:08:44.750,0:08:46.760
Προσθέτουμε λοιπόν ένα και φτάνουμε στο -2. Μετά προσθέτουμε ακόμα ένα και φτάνουμε στο -1.

0:08:47.969,0:08:49.394
Μετακινούμαστε δύο θέσεις προς τα δεξιά.

0:08:49.394,0:08:54.395
Έτσι, -3 + 2 = -1.

0:08:55.957,0:08:59.934
Και μπορείτε να το δείτε και μόνοι σας, όλα αυτά ταιριάζουν στο πώς ορίσαμε την πρόσθεση και την αφαίρεση.

0:08:59.934,0:09:05.399
Αν ξεκινήσουμε από το -1 και αφαιρέσουμε 2, θα φτάσουμε στο -3.

0:09:05.399,0:09:07.506
Είναι κάπως ανάποδο απ' ό,τι αυτό εδώ πάνω.