WEBVTT 00:00:01.170 --> 00:00:03.364 Καλώς ήρθατε στο βίντεο για τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη (ΜΚΔ) 00:00:03.364 --> 00:00:06.020 ή τον μέγιστο κοινό παράγοντα. 00:00:06.030 --> 00:00:09.548 Για να το ξεκαθαρίσουμε από την αρχή, όταν κάποιος σας ζητήσει... 00:00:09.548 --> 00:00:16.520 ποιος είναι ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης του 12 και του 8... 00:00:16.530 --> 00:00:22.758 ή αν σας ρωτήσουν ποιος είναι ο μέγιστος κοινός παράγοντας του 12 και του 8... 00:00:22.758 --> 00:00:25.130 Αυτό είναι ένα C που γράφω εδώ για τη λέξη Common (που σημαίνει "κοινός" στα αγγλικά)... 00:00:25.140 --> 00:00:26.590 δεν ξέρω γιατί βγήκε έτσι... 00:00:26.600 --> 00:00:27.563 Όπως και να σας το πούνε λοιπόν, σας ζητάνε το ίδιο πράγμα. 00:00:27.563 --> 00:00:31.014 Ένας διαιρέτης είναι απλώς ένας αριθμός που μπορεί να διαιρέσει κάποιον άλλον, 00:00:31.014 --> 00:00:34.167 και ένας παράγοντας... κι αυτός είναι ένας αριθμός που μπορεί να διαιρέσει κάποιον άλλον. 00:00:34.180 --> 00:00:37.130 Άρα ο διαιρέτης και ο παράγοντας είναι ουσιαστικά το ίδιο πράγμα. 00:00:37.140 --> 00:00:39.769 Αφού το ξεκαθαρίσαμε αυτό λοιπόν... 00:00:39.769 --> 00:00:41.620 ας βρούμε ποιος είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης... 00:00:41.620 --> 00:00:43.890 ή ο μέγιστος κοινός παράγοντας των αριθμών 12 και 8. 00:00:43.890 --> 00:00:45.960 Αυτό που κάνουμε είναι σχετικά απλό. 00:00:45.970 --> 00:00:48.930 Πρώτα βρίσκουμε τους παράγοντες κάθε αριθμού. 00:00:48.930 --> 00:00:52.350 Άρα πρώτα γράφουμε όλους τους παράγοντες του αριθμού 12. 00:00:52.360 --> 00:00:57.250 Το 1 είναι ένας παράγοντας. Το 2 χωρά στο 12 ακριβώς. 00:00:57.250 --> 00:00:59.090 Το 3 χωρά στο 12 ακριβώς. 00:00:59.100 --> 00:01:00.770 Το 4 χωρά στο 12 ακριβώς. 00:01:00.780 --> 00:01:03.950 Το 5 δεν χωρά ακριβώς στο 12. 00:01:03.960 --> 00:01:06.700 Το έξι χωρά ακριβώς στο 12 γιατί 2 x 6 = 12. 00:01:06.700 --> 00:01:10.220 Και μετά, το 12 χωρά φυσικά ακριβώς στο 12... 00:01:10.230 --> 00:01:11.070 1 x 12. 00:01:11.070 --> 00:01:12.920 Αυτοί είναι λοιπόν οι παράγοντες του 12. 00:01:12.930 --> 00:01:15.430 Ας γράψουμε τώρα τους παράγοντες του 8. 00:01:15.430 --> 00:01:17.600 Το 1 χωρά ακριβώς στο 8. 00:01:17.600 --> 00:01:18.940 Το 2 χωρά ακριβώς στο 8. 00:01:18.950 --> 00:01:20.630 Το 3 δεν χωρά ακριβώς στο 8. 00:01:20.640 --> 00:01:22.930 Το 4 χωρά ακριβώς στο 8. 00:01:22.930 --> 00:01:27.830 Και τέλος, ο μεγαλύτερος παράγοντας, που πολλαπλασιάζεται με το 1 για να μας δώσει τον αριθμό μας, είναι το 8. 00:01:27.840 --> 00:01:31.090 Τώρα λοιπόν έχουμε γράψει όλους τους παράγοντες του 12 και του 8. 00:01:31.090 --> 00:01:34.570 Ας βρούμε λοιπόν ποιοι είναι οι κοινοί παράγοντες του 12 και του 8. 00:01:34.570 --> 00:01:37.000 Έχουν και οι δύο κοινό παράγοντα το 1. 00:01:37.010 --> 00:01:38.380 Αλλά αυτό δεν είναι και τόσο ιδιαίτερο. 00:01:38.390 --> 00:01:40.324 Κάθε ακέραιος αριθμός... 00:01:40.324 --> 00:01:43.490 έχει παράγοντα το 1. 00:01:43.500 --> 00:01:47.499 Και οι δύο έχουν ως κοινό παράγοντα το 2, 00:01:47.499 --> 00:01:51.070 και μετά και οι δύο έχουν ως κοινό παράγοντα το 4. 00:01:51.070 --> 00:01:54.589 Όμως δεν θέλουμε να βρούμε απλώς έναν κοινό παράγοντα... 00:01:54.589 --> 00:01:57.380 θέλουμε να βρούμε τον μεγαλύτερο, τον μέγιστο κοινό παράγοντα. 00:01:57.390 --> 00:02:00.200 Έτσι εδώ οι κοινοί παράγοντες είναι το 1, το 2 και το 4. 00:02:00.200 --> 00:02:01.580 Ποιος είναι ο μεγαλύτερος απ' αυτούς; 00:02:01.590 --> 00:02:02.820 Είναι εύκολο. 00:02:02.820 --> 00:02:03.890 Είναι το 4. 00:02:03.900 --> 00:02:07.230 Άρα, ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας του 12 και του 8 είναι το 4. 00:02:07.230 --> 00:02:09.520 Ας το γράψω για μεγαλύτερη έμφαση. 00:02:09.530 --> 00:02:14.650 Ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας του 12 και του 8 είναι το 4. 00:02:14.660 --> 00:02:16.940 Και βεβαίως, θα μπορούσαμε το ίδιο εύκολα να πούμε... 00:02:16.940 --> 00:02:23.500 ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του 12 και του 8 είναι το 4. 00:02:23.500 --> 00:02:27.718 Μερικές φορές είναι λίγο αστείο. 00:02:27.718 --> 00:02:30.929 Ας δούμε ένα άλλο πρόβλημα. 00:02:30.929 --> 00:02:41.891 Ποιος είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του 25 και του 20; 00:02:41.900 --> 00:02:44.170 Ας το κάνουμε με τον ίδιο τρόπο. 00:02:44.170 --> 00:02:47.050 Ποιοι είναι οι παράγοντες του 25; 00:02:47.060 --> 00:02:48.430 Είναι το 1. 00:02:48.430 --> 00:02:49.390 Το 2 δεν χωρά ακριβώς. 00:02:49.400 --> 00:02:50.150 Το 3 δεν χωρά ακριβώς. 00:02:50.150 --> 00:02:51.420 Το 4 δεν χωρά ακριβώς. 00:02:51.430 --> 00:02:52.352 Το 5 χωρά ακριβώς. 00:02:52.352 --> 00:02:54.270 Ουσιαστικά είναι 5 x 5. 00:02:54.280 --> 00:02:57.130 Και μετά το 25. 00:02:57.130 --> 00:02:59.560 Είναι ενδιαφέρον ότι αυτός ο αριθμός έχει μόνο 3 παράγοντες. 00:02:59.560 --> 00:03:02.322 Θα σας αφήσω να σκεφτείτε το γιατί αυτός ο αριθμός έχει μόνο 3 παράγοντες... 00:03:02.322 --> 00:03:07.958 και άλλοι αριθμοί τείνουν να έχουν ζυγό αριθμό παραγόντων. 00:03:07.958 --> 00:03:12.782 Και τώρα, να δούμε τους παράγοντες του 20. 00:03:12.782 --> 00:03:21.025 Οι παράγοντες του 20 είναι οι 1, 2, 4, 5, 10 και 20. 00:03:21.025 --> 00:03:22.977 Και αν τους δούμε, θα παρατηρήσουμε... 00:03:22.977 --> 00:03:25.050 ότι και οι δύο έχουν κοινό παράγοντα το 1, αλλά αυτό δεν είναι τίποτα σπουδαίο. 00:03:25.060 --> 00:03:28.110 Αλλά έχουν και έναν άλλο κοινό παράγοντα! 00:03:28.110 --> 00:03:30.550 Το βρήκατε - το 5! 00:03:30.560 --> 00:03:35.638 Άρα ο μέγιστος κοινός διαιρέτης ή ο μέγιστος κοινός παράγοντας ... 00:03:35.638 --> 00:03:41.030 του 25 και του 20 είναι το 5. 00:03:41.030 --> 00:03:44.895 Ας κάνουμε ακόμα ένα πρόβλημα. 00:03:44.895 --> 00:03:54.687 Ποιος είναι ο μέγιστος κοινός παράγοντας του 5 και του 20; 00:03:54.690 --> 00:03:56.420 Ποιοι είναι λοιπόν οι παράγοντες του 5; 00:03:56.430 --> 00:03:57.330 Είναι εύκολο. 00:03:57.330 --> 00:03:59.340 Το 1 και το 5. 00:03:59.340 --> 00:04:00.283 Κι αυτό γιατί το 5 είναι πρώτος αριθμός. 00:04:00.283 --> 00:04:03.378 Δεν έχει άλλους παράγοντες από το 1 και τον εαυτό του. 00:04:03.393 --> 00:04:05.370 Ποιο είναι λοιπόν οι παράγοντες του 12; 00:04:05.370 --> 00:04:06.170 Το 12 έχει πολλούς παράγοντες. 00:04:06.180 --> 00:04:14.270 Έχει τους 1, 3, 4, 6 και 12. 00:04:14.270 --> 00:04:20.520 Άρα φαίνεται ότι ο μόνος κοινός παράγοντας που έχουν είναι το 1. 00:04:20.520 --> 00:04:23.360 Αυτό μας απογοητεύει κάπως... 00:04:23.370 --> 00:04:28.750 Πάντως, ο μέγιστος κοινός παράγοντας του 5 και του 12 είναι το 1. 00:04:28.750 --> 00:04:31.500 Και θα σας πω και λίγη ορολογία εδώ. 00:04:31.500 --> 00:04:35.476 Όταν δύο αριθμοί έχουν μέγιστο κοινό παράγοντα το 1... 00:04:35.476 --> 00:04:37.292 τότε λέγονται "σχετικοί πρώτοι". 00:04:37.292 --> 00:04:39.992 Και αυτό βγάζει νόημα, γιατί ο πρώτος αριθμός... 00:04:39.992 --> 00:04:42.880 είναι ένας αριθμός που έχει ως παράγοντες μόνο το 1 και τον εαυτό του. 00:04:42.880 --> 00:04:45.161 Και 2 σχετικά πρώτοι αριθμοί... 00:04:45.161 --> 00:04:50.190 είναι αριθμοί που έχουν το 1 ως τον μέγιστο κοινό τους παράγοντα. 00:04:50.190 --> 00:04:51.680 Ελπίζω να μην σας μπέρδεψα. 00:04:51.680 --> 00:04:56.744 Ας κάνουμε ένα άλλο πρόβλημα. 00:04:56.744 --> 00:05:04.567 Ας βρούμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη του 6 και του 12. 00:05:04.570 --> 00:05:05.670 Ξέρω ότι βάζω συχνά το 12. 00:05:05.680 --> 00:05:08.810 Θα προσπαθήσω να είμαι πιο δημιουργικός όταν σκέφτομαι αριθμούς στο μέλλον. 00:05:08.810 --> 00:05:11.040 Ποιος είναι όμως ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του 6 και του 12; 00:05:11.050 --> 00:05:12.920 Έχουμε τους παράγοντες του 6... 00:05:12.920 --> 00:05:17.760 που είναι οι 1, 2, 3 και 6. 00:05:17.760 --> 00:05:22.788 Και έχουμε και τους παράγοντες του 12: 1, 2, 3... 00:05:22.788 --> 00:05:24.384 σχεδόν τους έχουμε μάθει απ' έξω μέχρι τώρα... 00:05:24.384 --> 00:05:29.060 το 3, το 4, το 6 και το 12. 00:05:29.060 --> 00:05:33.935 Απ' ό,τι φαίνεται το 1 είναι κοινός παράγοντας... 00:05:33.935 --> 00:05:36.350 το 2 είναι επίσης κοινός παράγοντας... 00:05:36.350 --> 00:05:39.540 το 3 είναι κοινός παράγοντας... 00:05:39.550 --> 00:05:42.100 και το 6 είναι κοινός παράγοντας. 00:05:42.100 --> 00:05:43.910 Άρα, ποιος είναι ο μέγιστος κοινός παράγοντας; 00:05:43.920 --> 00:05:46.048 Είναι το 6. 00:05:46.048 --> 00:05:46.770 Κι αυτό είναι ενδιαφέρον. 00:05:46.770 --> 00:05:49.518 Σ' αυτή την περίπτωση λοιπόν, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης... 00:05:49.518 --> 00:05:52.600 και ζητώ συγγνώμη που πότε λέω "διαιρέτης" και πότε "παράγοντας'. 00:05:52.600 --> 00:05:55.175 Η μαθηματική κοινότητα πρέπει να διαλέξει ένα από τους δύο όρους. 00:05:55.175 --> 00:06:00.210 Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του 6 και του 12 είναι το 6. 00:06:00.220 --> 00:06:01.670 Άρα είναι ένας από τους 2 αριθμούς. 00:06:01.680 --> 00:06:02.906 Και αυτό βγάζει νόημα... 00:06:02.906 --> 00:06:07.710 γιατί το 6 στην πραγματικότητα διαιρεί ακριβώς το 12. 00:06:07.720 --> 00:06:08.930 Αυτά λοιπόν προς το παρόν. 00:06:08.930 --> 00:06:11.630 Ελπίζω ότι είστε έτοιμοι να κάνετε προβλήματα με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη... 00:06:11.640 --> 00:06:12.810 ή με παράγοντες. 00:06:12.810 --> 00:06:14.940 Νομίζω ότι θα φτιάξω κι άλλο βίντεο σύντομα... 00:06:14.950 --> 00:06:18.155 για να σας δώσω και άλλα παραδείγματα από προβλήματα.