0:00:01.170,0:00:03.364
Καλώς ήρθατε στο βίντεο για τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη (ΜΚΔ)

0:00:03.364,0:00:06.020
ή τον μέγιστο κοινό παράγοντα.

0:00:06.030,0:00:09.548
Για να το ξεκαθαρίσουμε από την αρχή, όταν κάποιος σας ζητήσει...

0:00:09.548,0:00:16.520
ποιος είναι ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης του 12 και του 8...

0:00:16.530,0:00:22.758
ή αν σας ρωτήσουν ποιος είναι ο μέγιστος κοινός παράγοντας του 12 και του 8...

0:00:22.758,0:00:25.130
Αυτό είναι ένα C που γράφω εδώ για τη λέξη Common (που σημαίνει "κοινός" στα αγγλικά)...

0:00:25.140,0:00:26.590
δεν ξέρω γιατί βγήκε έτσι...

0:00:26.600,0:00:27.563
Όπως και να σας το πούνε λοιπόν, σας ζητάνε το ίδιο πράγμα.

0:00:27.563,0:00:31.014
Ένας διαιρέτης είναι απλώς ένας αριθμός που μπορεί να διαιρέσει κάποιον άλλον,

0:00:31.014,0:00:34.167
και ένας παράγοντας... κι αυτός είναι ένας αριθμός που μπορεί να διαιρέσει κάποιον άλλον.

0:00:34.180,0:00:37.130
Άρα ο διαιρέτης και ο παράγοντας είναι ουσιαστικά το ίδιο πράγμα.

0:00:37.140,0:00:39.769
Αφού το ξεκαθαρίσαμε αυτό λοιπόν...

0:00:39.769,0:00:41.620
ας βρούμε ποιος είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης...

0:00:41.620,0:00:43.890
ή ο μέγιστος κοινός παράγοντας των αριθμών 12 και 8.

0:00:43.890,0:00:45.960
Αυτό που κάνουμε είναι σχετικά απλό.

0:00:45.970,0:00:48.930
Πρώτα βρίσκουμε τους παράγοντες κάθε αριθμού.

0:00:48.930,0:00:52.350
Άρα πρώτα γράφουμε όλους τους παράγοντες του αριθμού 12.

0:00:52.360,0:00:57.250
Το 1 είναι ένας παράγοντας. Το 2 χωρά στο 12 ακριβώς.

0:00:57.250,0:00:59.090
Το 3 χωρά στο 12 ακριβώς.

0:00:59.100,0:01:00.770
Το 4 χωρά στο 12 ακριβώς.

0:01:00.780,0:01:03.950
Το 5 δεν χωρά ακριβώς στο 12.

0:01:03.960,0:01:06.700
Το έξι χωρά ακριβώς στο 12 γιατί 2 x 6 = 12.

0:01:06.700,0:01:10.220
Και μετά, το 12 χωρά φυσικά ακριβώς στο 12...

0:01:10.230,0:01:11.070
1 x 12.

0:01:11.070,0:01:12.920
Αυτοί είναι λοιπόν οι παράγοντες του 12.

0:01:12.930,0:01:15.430
Ας γράψουμε τώρα τους παράγοντες του 8.

0:01:15.430,0:01:17.600
Το 1 χωρά ακριβώς στο 8.

0:01:17.600,0:01:18.940
Το 2 χωρά ακριβώς στο 8.

0:01:18.950,0:01:20.630
Το 3 δεν χωρά ακριβώς στο 8.

0:01:20.640,0:01:22.930
Το 4 χωρά ακριβώς στο 8.

0:01:22.930,0:01:27.830
Και τέλος, ο μεγαλύτερος παράγοντας, που πολλαπλασιάζεται με το 1 για να μας δώσει τον αριθμό μας, είναι το 8.

0:01:27.840,0:01:31.090
Τώρα λοιπόν έχουμε γράψει όλους τους παράγοντες του 12 και του 8.

0:01:31.090,0:01:34.570
Ας βρούμε λοιπόν ποιοι είναι οι κοινοί παράγοντες του 12 και του 8.

0:01:34.570,0:01:37.000
Έχουν και οι δύο κοινό παράγοντα το 1.

0:01:37.010,0:01:38.380
Αλλά αυτό δεν είναι και τόσο ιδιαίτερο.

0:01:38.390,0:01:40.324
Κάθε ακέραιος αριθμός...

0:01:40.324,0:01:43.490
έχει παράγοντα το 1.

0:01:43.500,0:01:47.499
Και οι δύο έχουν ως κοινό παράγοντα το 2,

0:01:47.499,0:01:51.070
και μετά και οι δύο έχουν ως κοινό παράγοντα το 4.

0:01:51.070,0:01:54.589
Όμως δεν θέλουμε να βρούμε απλώς έναν κοινό παράγοντα...

0:01:54.589,0:01:57.380
θέλουμε να βρούμε τον μεγαλύτερο, τον μέγιστο κοινό παράγοντα.

0:01:57.390,0:02:00.200
Έτσι εδώ οι κοινοί παράγοντες είναι το 1, το 2 και το 4.

0:02:00.200,0:02:01.580
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος απ' αυτούς;

0:02:01.590,0:02:02.820
Είναι εύκολο.

0:02:02.820,0:02:03.890
Είναι το 4.

0:02:03.900,0:02:07.230
Άρα, ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας του 12 και του 8 είναι το 4.

0:02:07.230,0:02:09.520
Ας το γράψω για μεγαλύτερη έμφαση.

0:02:09.530,0:02:14.650
Ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας του 12 και του 8 είναι το 4.

0:02:14.660,0:02:16.940
Και βεβαίως, θα μπορούσαμε το ίδιο εύκολα να πούμε...

0:02:16.940,0:02:23.500
ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του 12 και του 8 είναι το 4.

0:02:23.500,0:02:27.718
Μερικές φορές είναι λίγο αστείο.

0:02:27.718,0:02:30.929
Ας δούμε ένα άλλο πρόβλημα.

0:02:30.929,0:02:41.891
Ποιος είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του 25 και του 20;

0:02:41.900,0:02:44.170
Ας το κάνουμε με τον ίδιο τρόπο.

0:02:44.170,0:02:47.050
Ποιοι είναι οι παράγοντες του 25;

0:02:47.060,0:02:48.430
Είναι το 1.

0:02:48.430,0:02:49.390
Το 2 δεν χωρά ακριβώς.

0:02:49.400,0:02:50.150
Το 3 δεν χωρά ακριβώς.

0:02:50.150,0:02:51.420
Το 4 δεν χωρά ακριβώς.

0:02:51.430,0:02:52.352
Το 5 χωρά ακριβώς.

0:02:52.352,0:02:54.270
Ουσιαστικά είναι 5 x 5.

0:02:54.280,0:02:57.130
Και μετά το 25.

0:02:57.130,0:02:59.560
Είναι ενδιαφέρον ότι αυτός ο αριθμός έχει μόνο 3 παράγοντες.

0:02:59.560,0:03:02.322
Θα σας αφήσω να σκεφτείτε το γιατί αυτός ο αριθμός έχει μόνο 3 παράγοντες...

0:03:02.322,0:03:07.958
και άλλοι αριθμοί τείνουν να έχουν ζυγό αριθμό παραγόντων.

0:03:07.958,0:03:12.782
Και τώρα, να δούμε τους παράγοντες του 20.

0:03:12.782,0:03:21.025
Οι παράγοντες του 20 είναι οι 1, 2, 4, 5, 10 και 20.

0:03:21.025,0:03:22.977
Και αν τους δούμε, θα παρατηρήσουμε...

0:03:22.977,0:03:25.050
ότι και οι δύο έχουν κοινό παράγοντα το 1, αλλά αυτό δεν είναι τίποτα σπουδαίο.

0:03:25.060,0:03:28.110
Αλλά έχουν και έναν άλλο κοινό παράγοντα!

0:03:28.110,0:03:30.550
Το βρήκατε - το 5!

0:03:30.560,0:03:35.638
Άρα ο μέγιστος κοινός διαιρέτης ή ο μέγιστος κοινός παράγοντας ...

0:03:35.638,0:03:41.030
του 25 και του 20 είναι το 5.

0:03:41.030,0:03:44.895
Ας κάνουμε ακόμα ένα πρόβλημα.

0:03:44.895,0:03:54.687
Ποιος είναι ο μέγιστος κοινός παράγοντας του 5 και του 20;

0:03:54.690,0:03:56.420
Ποιοι είναι λοιπόν οι παράγοντες του 5;

0:03:56.430,0:03:57.330
Είναι εύκολο.

0:03:57.330,0:03:59.340
Το 1 και το 5.

0:03:59.340,0:04:00.283
Κι αυτό γιατί το 5 είναι πρώτος αριθμός.

0:04:00.283,0:04:03.378
Δεν έχει άλλους παράγοντες από το 1 και τον εαυτό του.

0:04:03.393,0:04:05.370
Ποιο είναι λοιπόν οι παράγοντες του 12;

0:04:05.370,0:04:06.170
Το 12 έχει πολλούς παράγοντες.

0:04:06.180,0:04:14.270
Έχει τους 1, 3, 4, 6 και 12.

0:04:14.270,0:04:20.520
Άρα φαίνεται ότι ο μόνος κοινός παράγοντας που έχουν είναι το 1.

0:04:20.520,0:04:23.360
Αυτό μας απογοητεύει κάπως...

0:04:23.370,0:04:28.750
Πάντως, ο μέγιστος κοινός παράγοντας του 5 και του 12 είναι το 1.

0:04:28.750,0:04:31.500
Και θα σας πω και λίγη ορολογία εδώ.

0:04:31.500,0:04:35.476
Όταν δύο αριθμοί έχουν μέγιστο κοινό παράγοντα το 1...

0:04:35.476,0:04:37.292
τότε λέγονται "σχετικοί πρώτοι".

0:04:37.292,0:04:39.992
Και αυτό βγάζει νόημα, γιατί ο πρώτος αριθμός...

0:04:39.992,0:04:42.880
είναι ένας αριθμός που έχει ως παράγοντες μόνο το 1 και τον εαυτό του.

0:04:42.880,0:04:45.161
Και 2 σχετικά πρώτοι αριθμοί...

0:04:45.161,0:04:50.190
είναι αριθμοί που έχουν το 1 ως τον μέγιστο κοινό τους παράγοντα.

0:04:50.190,0:04:51.680
Ελπίζω να μην σας μπέρδεψα.

0:04:51.680,0:04:56.744
Ας κάνουμε ένα άλλο πρόβλημα.

0:04:56.744,0:05:04.567
Ας βρούμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη του 6 και του 12.

0:05:04.570,0:05:05.670
Ξέρω ότι βάζω συχνά το 12.

0:05:05.680,0:05:08.810
Θα προσπαθήσω να είμαι πιο δημιουργικός όταν σκέφτομαι αριθμούς στο μέλλον.

0:05:08.810,0:05:11.040
Ποιος είναι όμως ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του 6 και του 12;

0:05:11.050,0:05:12.920
Έχουμε τους παράγοντες του 6...

0:05:12.920,0:05:17.760
που είναι οι 1, 2, 3 και 6.

0:05:17.760,0:05:22.788
Και έχουμε και τους παράγοντες του 12: 1, 2, 3...

0:05:22.788,0:05:24.384
σχεδόν τους έχουμε μάθει απ' έξω μέχρι τώρα...

0:05:24.384,0:05:29.060
το 3, το 4, το 6 και το 12.

0:05:29.060,0:05:33.935
Απ' ό,τι φαίνεται το 1 είναι κοινός παράγοντας...

0:05:33.935,0:05:36.350
το 2 είναι επίσης κοινός παράγοντας...

0:05:36.350,0:05:39.540
το 3 είναι κοινός παράγοντας...

0:05:39.550,0:05:42.100
και το 6 είναι κοινός παράγοντας.

0:05:42.100,0:05:43.910
Άρα, ποιος είναι ο μέγιστος κοινός παράγοντας;

0:05:43.920,0:05:46.048
Είναι το 6.

0:05:46.048,0:05:46.770
Κι αυτό είναι ενδιαφέρον.

0:05:46.770,0:05:49.518
Σ' αυτή την περίπτωση λοιπόν, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης...

0:05:49.518,0:05:52.600
και ζητώ συγγνώμη που πότε λέω "διαιρέτης" και πότε "παράγοντας'.

0:05:52.600,0:05:55.175
Η μαθηματική κοινότητα πρέπει να διαλέξει ένα από τους δύο όρους.

0:05:55.175,0:06:00.210
Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του 6 και του 12 είναι το 6.

0:06:00.220,0:06:01.670
Άρα είναι ένας από τους 2 αριθμούς.

0:06:01.680,0:06:02.906
Και αυτό βγάζει νόημα...

0:06:02.906,0:06:07.710
γιατί το 6 στην πραγματικότητα διαιρεί ακριβώς το 12.

0:06:07.720,0:06:08.930
Αυτά λοιπόν προς το παρόν.

0:06:08.930,0:06:11.630
Ελπίζω ότι είστε έτοιμοι να κάνετε προβλήματα με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη...

0:06:11.640,0:06:12.810
ή με παράγοντες.

0:06:12.810,0:06:14.940
Νομίζω ότι θα φτιάξω κι άλλο βίντεο σύντομα...

0:06:14.950,0:06:18.155
για να σας δώσω και άλλα παραδείγματα από προβλήματα.