WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.590
这儿有一个圆 这是它的直径

00:00:00.590 --> 00:00:03.640
让我把这条直径画好些

00:00:03.640 --> 00:00:05.280
恩 不错

00:00:05.280 --> 00:00:09.080
这就是这个圆的直径

00:00:09.080 --> 00:00:09.760
圆的一条直径

00:00:09.760 --> 00:00:12.580
直径画好了

00:00:12.580 --> 00:00:14.700
现在有一个三角形

00:00:14.700 --> 00:00:16.110
它的一条边就是直径

00:00:16.110 --> 00:00:19.220
这条边所对的角的

00:00:19.220 --> 00:00:26.040
顶点在圆周上

00:00:26.040 --> 00:00:28.960
就是说

00:00:28.960 --> 00:00:34.200
直径所对的那个角在圆周上

00:00:34.200 --> 00:00:35.260
这个三角形应该

00:00:35.260 --> 00:00:38.020
是这样的

00:00:38.020 --> 00:00:44.160
这节课我所要证明的就是

00:00:44.160 --> 00:00:47.170
这个三角形其实

00:00:47.170 --> 00:00:50.700
是一个直角三角形

00:00:50.700 --> 00:00:54.290
90度的角所对的边

00:00:54.290 --> 00:00:57.040
就是直径

00:00:57.040 --> 00:00:58.550
我先不在这里标记这个角

00:00:58.550 --> 00:01:00.340
因为它不方便后面的证明

00:01:00.340 --> 00:01:02.140
看看我们应该怎么证明它呢

00:01:02.140 --> 00:01:05.070
我们已经学了圆周角的概念

00:01:05.070 --> 00:01:08.910
圆周角与它同弧所对的圆心角之间的关系

00:01:08.910 --> 00:01:12.970
看看能不能利用上

00:01:12.970 --> 00:01:14.830
这是一个圆周角

00:01:14.830 --> 00:01:15.720
记为θ

00:01:15.720 --> 00:01:18.950
我们说

00:01:18.950 --> 00:01:22.760
这个点就是这个圆的圆心

00:01:22.760 --> 00:01:25.070
那么这个角应该是一个圆心角

00:01:25.070 --> 00:01:27.370
让我再画一个三角形

00:01:27.370 --> 00:01:30.190
又画了一条线

00:01:30.190 --> 00:01:32.620
这个就是圆心角

00:01:32.620 --> 00:01:33.460
这个是半径

00:01:33.460 --> 00:01:35.130
这同样是一条半径

00:01:35.130 --> 00:01:38.190
实际上它们两个的长度是相等的

00:01:38.190 --> 00:01:40.070
几节课以前我们学过

00:01:40.070 --> 00:01:41.230
这个圆周角

00:01:41.230 --> 00:01:44.480
对着这个圆弧

00:01:44.480 --> 00:01:48.710
而这个弧所对的圆心角

00:01:48.710 --> 00:01:52.420
将是这个圆周角的二倍

00:01:52.420 --> 00:01:55.850
这一点我们几节课之前证明过

00:01:55.850 --> 00:01:57.400
所以这个角是 2θ

00:01:57.400 --> 00:01:59.040
是同弧所对的圆心角

00:01:59.040 --> 00:02:02.150
现在看这个三角形

00:02:02.150 --> 00:02:05.260
这是个等腰三角形

00:02:05.260 --> 00:02:10.120
我可以把它旋转

00:02:10.120 --> 00:02:11.620
这样画出来

00:02:11.620 --> 00:02:13.800
假设我把它翻过来 这条边 这条边

00:02:13.800 --> 00:02:16.480
还有下面绿色的这条边

00:02:16.480 --> 00:02:22.163
这两条边的边长都是r

00:02:22.163 --> 00:02:25.000
顶角是2θ其实我只是把这个三角形拿出来

00:02:25.000 --> 00:02:28.980
并且旋转以后 画出来

00:02:28.980 --> 00:02:31.160
这条边就是刚刚的那条边

00:02:31.160 --> 00:02:33.530
因为这两条边相等 这是个等腰三角形

00:02:33.530 --> 00:02:35.060
这两个底角也相等

00:02:35.060 --> 00:02:37.050
这个角和这个角相等

00:02:37.050 --> 00:02:41.660
在这里画的这个三角形里

00:02:41.660 --> 00:02:43.980
这两个角就是那对相等的底角

00:02:43.980 --> 00:02:47.580
我看看

00:02:47.580 --> 00:02:49.820
θ已经用过了 我们用x来表示这些角

00:02:49.820 --> 00:02:55.150
那么这个和这个角都是x

00:02:55.150 --> 00:02:58.150
那x是多少呢

00:02:58.150 --> 00:02:59.800
x + x + 2θ = 180

00:02:59.800 --> 00:03:05.230
它们在同一个三角形中

00:03:05.230 --> 00:03:08.000
我把它写下来

00:03:08.000 --> 00:03:12.120
我们已经得出了 x + x + 2θ = 180

00:03:12.120 --> 00:03:13.970
也就是2x + 2θ = 180

00:03:13.970 --> 00:03:15.770
2x = 180 - 2θ两边同时除以2

00:03:15.770 --> 00:03:23.010
得出 x = 90 - θ

00:03:23.010 --> 00:03:30.880
所以x = 90 - θ

00:03:30.880 --> 00:03:35.970
这个有什么用呢

00:03:35.970 --> 00:03:42.980
让我们再看看这个三角形

00:03:42.980 --> 00:03:50.590
这个三角形的这条边

00:03:50.590 --> 00:03:52.890
也是这个圆的半径

00:03:52.890 --> 00:03:55.130
这个长度我们

00:03:55.130 --> 00:03:59.160
已经标记过了是半径r

00:03:59.160 --> 00:04:01.930
所以这个三角形也是等腰三角形

00:04:01.930 --> 00:04:04.080
这两边相等

00:04:04.080 --> 00:04:05.060
这两个底角也相等

00:04:05.060 --> 00:04:08.870
这个是θ 所以这个角也是θ

00:04:08.870 --> 00:04:12.770
事实上 利用这两个角都是θ

00:04:12.770 --> 00:04:13.500
我们也证明了之前的那个

00:04:13.500 --> 00:04:17.160
关于圆周角的结论

00:04:17.160 --> 00:04:17.895
就是同弧所对的圆心角和圆周角

00:04:17.895 --> 00:04:20.770
之间的关系

00:04:20.770 --> 00:04:25.100
所以这个是θ 这个也是θ

00:04:25.100 --> 00:04:27.340
因为是等腰三角形

00:04:27.340 --> 00:04:27.980
这里的这个角是什么呢

00:04:27.980 --> 00:04:29.670
它应该是 θ 加上 90度减去θ

00:04:29.670 --> 00:04:31.120
就是 θ加上90 减去 θ

00:04:31.120 --> 00:04:36.150
θ 消掉了

00:04:36.150 --> 00:04:39.850
所以不论三角形是怎样的 只要它的一条边是直径

00:04:39.850 --> 00:04:41.650
并且这条边所对的角或者说顶点

00:04:41.650 --> 00:04:44.690
在圆周上

00:04:44.690 --> 00:04:46.270
那么这个角

00:04:46.270 --> 00:04:49.690
就是直角

00:04:49.690 --> 00:04:53.070
这个三角形就是一个直角三角形

00:04:53.070 --> 00:04:56.620
我可以随机画一些三角形

00:04:56.620 --> 00:05:01.780
在这取一个点

00:05:01.780 --> 00:05:08.750
这样的

00:05:08.750 --> 00:05:11.640
这也是个直角三角形

00:05:11.640 --> 00:05:16.010
或者这样画

00:05:16.010 --> 00:05:19.750
那么

00:05:19.750 --> 00:05:23.220
这也是直角

00:05:23.220 --> 00:05:25.240
对任意一个三角形

00:05:25.240 --> 00:05:27.860
都可以做相同的证明

00:05:27.860 --> 00:05:30.090
事实上 我刚刚所画的那个三角形是很普通的

00:05:30.090 --> 00:05:33.810
所有它对于这所有的三角形都适用