1
00:00:00,000 --> 00:00:00,590
这儿有一个圆 这是它的直径

2
00:00:00,590 --> 00:00:03,640
让我把这条直径画好些

3
00:00:03,640 --> 00:00:05,280
恩 不错

4
00:00:05,280 --> 00:00:09,080
这就是这个圆的直径

5
00:00:09,080 --> 00:00:09,760
圆的一条直径

6
00:00:09,760 --> 00:00:12,580
直径画好了

7
00:00:12,580 --> 00:00:14,700
现在有一个三角形

8
00:00:14,700 --> 00:00:16,110
它的一条边就是直径

9
00:00:16,110 --> 00:00:19,220
这条边所对的角的

10
00:00:19,220 --> 00:00:26,040
顶点在圆周上

11
00:00:26,040 --> 00:00:28,960
就是说

12
00:00:28,960 --> 00:00:34,200
直径所对的那个角在圆周上

13
00:00:34,200 --> 00:00:35,260
这个三角形应该

14
00:00:35,260 --> 00:00:38,020
是这样的

15
00:00:38,020 --> 00:00:44,160
这节课我所要证明的就是

16
00:00:44,160 --> 00:00:47,170
这个三角形其实

17
00:00:47,170 --> 00:00:50,700
是一个直角三角形

18
00:00:50,700 --> 00:00:54,290
90度的角所对的边

19
00:00:54,290 --> 00:00:57,040
就是直径

20
00:00:57,040 --> 00:00:58,550
我先不在这里标记这个角

21
00:00:58,550 --> 00:01:00,340
因为它不方便后面的证明

22
00:01:00,340 --> 00:01:02,140
看看我们应该怎么证明它呢

23
00:01:02,140 --> 00:01:05,070
我们已经学了圆周角的概念

24
00:01:05,070 --> 00:01:08,910
圆周角与它同弧所对的圆心角之间的关系

25
00:01:08,910 --> 00:01:12,970
看看能不能利用上

26
00:01:12,970 --> 00:01:14,830
这是一个圆周角

27
00:01:14,830 --> 00:01:15,720
记为θ

28
00:01:15,720 --> 00:01:18,950
我们说

29
00:01:18,950 --> 00:01:22,760
这个点就是这个圆的圆心

30
00:01:22,760 --> 00:01:25,070
那么这个角应该是一个圆心角

31
00:01:25,070 --> 00:01:27,370
让我再画一个三角形

32
00:01:27,370 --> 00:01:30,190
又画了一条线

33
00:01:30,190 --> 00:01:32,620
这个就是圆心角

34
00:01:32,620 --> 00:01:33,460
这个是半径

35
00:01:33,460 --> 00:01:35,130
这同样是一条半径

36
00:01:35,130 --> 00:01:38,190
实际上它们两个的长度是相等的

37
00:01:38,190 --> 00:01:40,070
几节课以前我们学过

38
00:01:40,070 --> 00:01:41,230
这个圆周角

39
00:01:41,230 --> 00:01:44,480
对着这个圆弧

40
00:01:44,480 --> 00:01:48,710
而这个弧所对的圆心角

41
00:01:48,710 --> 00:01:52,420
将是这个圆周角的二倍

42
00:01:52,420 --> 00:01:55,850
这一点我们几节课之前证明过

43
00:01:55,850 --> 00:01:57,400
所以这个角是 2θ

44
00:01:57,400 --> 00:01:59,040
是同弧所对的圆心角

45
00:01:59,040 --> 00:02:02,150
现在看这个三角形

46
00:02:02,150 --> 00:02:05,260
这是个等腰三角形

47
00:02:05,260 --> 00:02:10,120
我可以把它旋转

48
00:02:10,120 --> 00:02:11,620
这样画出来

49
00:02:11,620 --> 00:02:13,800
假设我把它翻过来 这条边 这条边

50
00:02:13,800 --> 00:02:16,480
还有下面绿色的这条边

51
00:02:16,480 --> 00:02:22,163
这两条边的边长都是r

52
00:02:22,163 --> 00:02:25,000
顶角是2θ其实我只是把这个三角形拿出来

53
00:02:25,000 --> 00:02:28,980
并且旋转以后 画出来

54
00:02:28,980 --> 00:02:31,160
这条边就是刚刚的那条边

55
00:02:31,160 --> 00:02:33,530
因为这两条边相等 这是个等腰三角形

56
00:02:33,530 --> 00:02:35,060
这两个底角也相等

57
00:02:35,060 --> 00:02:37,050
这个角和这个角相等

58
00:02:37,050 --> 00:02:41,660
在这里画的这个三角形里

59
00:02:41,660 --> 00:02:43,980
这两个角就是那对相等的底角

60
00:02:43,980 --> 00:02:47,580
我看看

61
00:02:47,580 --> 00:02:49,820
θ已经用过了 我们用x来表示这些角

62
00:02:49,820 --> 00:02:55,150
那么这个和这个角都是x

63
00:02:55,150 --> 00:02:58,150
那x是多少呢

64
00:02:58,150 --> 00:02:59,800
x + x + 2θ = 180

65
00:02:59,800 --> 00:03:05,230
它们在同一个三角形中

66
00:03:05,230 --> 00:03:08,000
我把它写下来

67
00:03:08,000 --> 00:03:12,120
我们已经得出了 x + x + 2θ = 180

68
00:03:12,120 --> 00:03:13,970
也就是2x + 2θ = 180

69
00:03:13,970 --> 00:03:15,770
2x = 180 - 2θ两边同时除以2

70
00:03:15,770 --> 00:03:23,010
得出 x = 90 - θ

71
00:03:23,010 --> 00:03:30,880
所以x = 90 - θ

72
00:03:30,880 --> 00:03:35,970
这个有什么用呢

73
00:03:35,970 --> 00:03:42,980
让我们再看看这个三角形

74
00:03:42,980 --> 00:03:50,590
这个三角形的这条边

75
00:03:50,590 --> 00:03:52,890
也是这个圆的半径

76
00:03:52,890 --> 00:03:55,130
这个长度我们

77
00:03:55,130 --> 00:03:59,160
已经标记过了是半径r

78
00:03:59,160 --> 00:04:01,930
所以这个三角形也是等腰三角形

79
00:04:01,930 --> 00:04:04,080
这两边相等

80
00:04:04,080 --> 00:04:05,060
这两个底角也相等

81
00:04:05,060 --> 00:04:08,870
这个是θ 所以这个角也是θ

82
00:04:08,870 --> 00:04:12,770
事实上 利用这两个角都是θ

83
00:04:12,770 --> 00:04:13,500
我们也证明了之前的那个

84
00:04:13,500 --> 00:04:17,160
关于圆周角的结论

85
00:04:17,160 --> 00:04:17,895
就是同弧所对的圆心角和圆周角

86
00:04:17,895 --> 00:04:20,770
之间的关系

87
00:04:20,770 --> 00:04:25,100
所以这个是θ 这个也是θ

88
00:04:25,100 --> 00:04:27,340
因为是等腰三角形

89
00:04:27,340 --> 00:04:27,980
这里的这个角是什么呢

90
00:04:27,980 --> 00:04:29,670
它应该是 θ 加上 90度减去θ

91
00:04:29,670 --> 00:04:31,120
就是 θ加上90 减去 θ

92
00:04:31,120 --> 00:04:36,150
θ 消掉了

93
00:04:36,150 --> 00:04:39,850
所以不论三角形是怎样的 只要它的一条边是直径

94
00:04:39,850 --> 00:04:41,650
并且这条边所对的角或者说顶点

95
00:04:41,650 --> 00:04:44,690
在圆周上

96
00:04:44,690 --> 00:04:46,270
那么这个角

97
00:04:46,270 --> 00:04:49,690
就是直角

98
00:04:49,690 --> 00:04:53,070
这个三角形就是一个直角三角形

99
00:04:53,070 --> 00:04:56,620
我可以随机画一些三角形

100
00:04:56,620 --> 00:05:01,780
在这取一个点

101
00:05:01,780 --> 00:05:08,750
这样的

102
00:05:08,750 --> 00:05:11,640
这也是个直角三角形

103
00:05:11,640 --> 00:05:16,010
或者这样画

104
00:05:16,010 --> 00:05:19,750
那么

105
00:05:19,750 --> 00:05:23,220
这也是直角

106
00:05:23,220 --> 00:05:25,240
对任意一个三角形

107
00:05:25,240 --> 00:05:27,860
都可以做相同的证明

108
00:05:27,860 --> 00:05:30,090
事实上 我刚刚所画的那个三角形是很普通的

109
00:05:30,090 --> 00:05:33,810
所有它对于这所有的三角形都适用