Привет!

Допустим, у нас с вами есть круг.

И ещё мы знаем диаметр этого круга.

Я сейчас постараюсь его получше нарисовать.

Довольно неплохо получилось, да?

Это диаметр нашего круга.

Диаметр.

Допустим, у нас есть треугольник,

у которого одна из сторон – диаметр.

Угол, противолежащий этой стороне,

находится у вершины,

которая лежит где-то на окружности.

Допустим, что вершина

лежит где-то здесь на окружности.

Тогда треугольник будет выглядеть примерно так.

Вот так выглядит наш треугольник.

Я докажу вам в этом видео,

что этот треугольник будет прямоугольным.

А прямой угол будет находиться у вершины,

противолежащей диаметру.

Я пока не буду отмечать его на рисунке,

потому что мы это еще не доказали.

Давайте посмотрим, что мы сможем сделать,

чтобы показать это.

Мы уже знаем определение вписанного угла

и его отношение к центральному углу,

если они оба опираются на одну и ту же дугу.

Давайте посмотрим. Мы видим здесь вписанный угол.

Давайте обозначим его Ѳ.

Допустим, что здесь у нас центр нашего круга.

Тогда этот угол – центральный угол.

Давайте я нарисую ещё один треугольник,

нарисую еще одну линию.

Это у нас центральный угол. Это – радиус.

Здесь у нас тоже радиус.

Расстояния от центра одинаковы.

Мы выучили несколько видео тому назад, что этот угол,

вписанный угол, он относится к этой дуге.

Центральный угол, который стягивает ту же дугу,

будет в 2 раза больше.

Мы доказали это пару видео тому назад.

Значит этот угол будет равен 2Ѳ.

Это центральный угол,

который опирается на ту же самую дугу.

Теперь, этот треугольник у нас равнобедренный.

Я могу повернуть его и зарисовать вот так.

Я немного поверну, и он будет выглядеть так,

а зелёная сторона будет выглядеть вот так.

И обе эти стороны по длине равны r.

Верхний угол равен 2Ѳ.

Всё, что я сделал – просто повернул его,

чтобы нарисовать его таким образом.

Эта сторона – это данная сторона.

Т.к. две стороны равны,

это равнобедренный треугольник.

Значит, два угла у основания должны быть одинаковыми.

Этот и этот угол у основания равны.

Подумаем, я уже использовал Ѳ,

тогда сейчас давайте использовать х.

Здесь будет х, и здесь будет х.

Чему будет равен х?

х+х+2Ѳ=180°.

Они все относятся к одному треугольнику.

Давайте я запишу это.

х+х+2Ѳ - всё должно равняться 180°.

Или получаем, что 2х+2Ѳ=180.

Или 2х=180-2Ѳ.

Делим всё на 2 и получаем: х=90-Ѳ.

Т.е. х=90-Ѳ.

Что ещё мы можем здесь сделать?

Посмотрите на этот треугольник.

В этом треугольнике стороны тоже имеют такие же длины.

Это тоже радиус треугольника.

Эту сторону мы уже обозначили, что это радиус.

Т.е. снова: это тоже равнобедренный треугольник.

Эти две стороны равны,

значит, углы у основания тоже равны.

Здесь Ѳ, значит здесь тоже будет Ѳ.

Мы использовали эти данные,

когда показывали отношение вписанного угла к центральному,

если они опираются на одну дугу.

Итак, тут и тут Ѳ, т.к. это углы равнобедренного треугольника.

Чему равен весь большой угол?

Он будет равен: Ѳ+90-Ѳ.

Ѳ сокращается.

Если одна из сторон моего треугольника является диаметром,

и вершина противолежащего угла лежит на окружности,

тогда угол при ней будет прямым.

И треугольник, соответственно, будет прямоугольным.

Я нарисовал просто пример из головы.

Если бы я, например, взял точку здесь.

Нарисовал бы вот так и вот так.

Этот угол был бы прямым.

Если я нарисую вот так, то прямым будет этот угол.

Для каждого примера я могу применить то же доказательство.

Сейчас я показал очень общий пример,

но правило будет применимо

для любого подобного треугольника.