Привет!
Допустим, у нас с вами есть круг.
И ещё мы знаем диаметр этого круга.
Я сейчас постараюсь его получше нарисовать.
Довольно неплохо получилось, да?
Это диаметр нашего круга.
Диаметр.
Допустим, у нас есть треугольник,
у которого одна из сторон – диаметр.
Угол, противолежащий этой стороне,
находится у вершины,
которая лежит где-то на окружности.
Допустим, что вершина
лежит где-то здесь на окружности.
Тогда треугольник будет выглядеть примерно так.
Вот так выглядит наш треугольник.
Я докажу вам в этом видео,
что этот треугольник будет прямоугольным.
А прямой угол будет находиться у вершины,
противолежащей диаметру.
Я пока не буду отмечать его на рисунке,
потому что мы это еще не доказали.
Давайте посмотрим, что мы сможем сделать,
чтобы показать это.
Мы уже знаем определение вписанного угла
и его отношение к центральному углу,
если они оба опираются на одну и ту же дугу.
Давайте посмотрим. Мы видим здесь вписанный угол.
Давайте обозначим его Ѳ.
Допустим, что здесь у нас центр нашего круга.
Тогда этот угол – центральный угол.
Давайте я нарисую ещё один треугольник,
нарисую еще одну линию.
Это у нас центральный угол. Это – радиус.
Здесь у нас тоже радиус.
Расстояния от центра одинаковы.
Мы выучили несколько видео тому назад, что этот угол,
вписанный угол, он относится к этой дуге.
Центральный угол, который стягивает ту же дугу,
будет в 2 раза больше.
Мы доказали это пару видео тому назад.
Значит этот угол будет равен 2Ѳ.
Это центральный угол,
который опирается на ту же самую дугу.
Теперь, этот треугольник у нас равнобедренный.
Я могу повернуть его и зарисовать вот так.
Я немного поверну, и он будет выглядеть так,
а зелёная сторона будет выглядеть вот так.
И обе эти стороны по длине равны r.
Верхний угол равен 2Ѳ.
Всё, что я сделал – просто повернул его,
чтобы нарисовать его таким образом.
Эта сторона – это данная сторона.
Т.к. две стороны равны,
это равнобедренный треугольник.
Значит, два угла у основания должны быть одинаковыми.
Этот и этот угол у основания равны.
Подумаем, я уже использовал Ѳ,
тогда сейчас давайте использовать х.
Здесь будет х, и здесь будет х.
Чему будет равен х?
х+х+2Ѳ=180°.
Они все относятся к одному треугольнику.
Давайте я запишу это.
х+х+2Ѳ - всё должно равняться 180°.
Или получаем, что 2х+2Ѳ=180.
Или 2х=180-2Ѳ.
Делим всё на 2 и получаем: х=90-Ѳ.
Т.е. х=90-Ѳ.
Что ещё мы можем здесь сделать?
Посмотрите на этот треугольник.
В этом треугольнике стороны тоже имеют такие же длины.
Это тоже радиус треугольника.
Эту сторону мы уже обозначили, что это радиус.
Т.е. снова: это тоже равнобедренный треугольник.
Эти две стороны равны,
значит, углы у основания тоже равны.
Здесь Ѳ, значит здесь тоже будет Ѳ.
Мы использовали эти данные,
когда показывали отношение вписанного угла к центральному,
если они опираются на одну дугу.
Итак, тут и тут Ѳ, т.к. это углы равнобедренного треугольника.
Чему равен весь большой угол?
Он будет равен: Ѳ+90-Ѳ.
Ѳ сокращается.
Если одна из сторон моего треугольника является диаметром,
и вершина противолежащего угла лежит на окружности,
тогда угол при ней будет прямым.
И треугольник, соответственно, будет прямоугольным.
Я нарисовал просто пример из головы.
Если бы я, например, взял точку здесь.
Нарисовал бы вот так и вот так.
Этот угол был бы прямым.
Если я нарисую вот так, то прямым будет этот угол.
Для каждого примера я могу применить то же доказательство.
Сейчас я показал очень общий пример,
но правило будет применимо
для любого подобного треугольника.