Let's see if we can use what we know about springs now to
get a little intuition about how the
spring moves over time.
And hopefully we'll learn a little bit
about harmonic motion.
We'll actually even step into the world of differential
equations a little bit.
And don't get daunted when we get there.
Or just close your eyes when it happens.
Anyway, so I've drawn a spring, like I've done in the
last couple of videos.
And 0, this point in the x-axis, that's where the
spring's natural resting state is.
And in this example I have a mass, mass m,
attached to the spring.
And I've stretched the string.
I've essentially pulled it.
So the mass is now sitting at point A.
So what's going to happen to this?
Well, as we know, the force, the restorative force of the
spring, is equal to minus some
constant, times the x position.
The x position starting at A.
So initially the spring is going to pull
back this way, right?
The spring is going to pull back this way.
It's going to get faster and faster and faster and faster.
And we learned that at this point, it has a lot of
potential energy.
At this point, when it kind of gets back to its resting
state, it'll have a lot of velocity and a lot of kinetic
energy, but very little potential energy.
But then its momentum is going to keep it going, and it's
going to compress the spring all the way, until all of that
kinetic energy is turned back into potential energy.
Then the process will start over again.
So let's see if we can just get an intuition for what x
will look like as a function of time.
So our goal is to figure out x of t, x as a function of time.
That's going to be our goal on this video and
probably the next few.
So let's just get an intuition for what's happening here.
So let me try to graph x as a function of time.
So time is the independent variable.
And I'll start at time is equal to 0.
So this is the time axis.
Let me draw the x-axis.
This might be a little unusual for you, for me to draw the
x-axis in the vertical, but that's because x is the
dependent variable in this situation.
So that's the x-axis, very unusually.
Or we could say x of t, just so you know x is a function of
time, x of t.
And this state, that I've drawn here, this is at time
equals 0, right?
So this is at 0.
Let me switch colors.
So at time equals 0, what is the x position of the mass?
Well the x position is A, right?
So if I draw this, this is A.
Actually, let me draw a line there.
That might come in useful.
This is A.
And then this is going to be-- let me try to make it
relatively-- that is negative A.
That's minus A.
So at time t equals 0, where is it?
Well it's at A.
So this is where the graph is, right?
Actually, let's do something interesting.
Let's define the period.
So the period I'll do with a capital T.
Let's say the period is how long it takes for this mass to
go from this position.
It's going to accelerate, accelerate, accelerate,
accelerate.
Be going really fast at this point, all kinetic energy.
And then start slowing down, slowing down, slowing down,
slowing down.
And then do that whole process all the way back.
Let's say T is the amount of time it takes to do that whole
process, right?
So at time 0 today, and then we also know that at time T--
this is time T-- it'll also be at A, right?
I'm just trying to graph some points that I know of this
function and just see if I can get some intuition of what
this function might be analytically.
So if it takes T seconds to go there and back, it takes T
over 2 seconds to get here, right?
The same amount of time it takes to get here was also the
same amount of time it takes to get back.
So at T over 2 what's going to be the x position?
Well at T over 2, the block is going to be here.
It will have compressed all the way over here.
So at T over 2, it'll have been here.
And then at the points in between, it will be at x
equals 0, right?
It'll be there and there.
Hopefully that makes sense.
So now we know these points.
But let's think about what the actual function looks like.
Will it just be a straight line down, then a straight
line up, and then the straight line down, and then a
straight line up.
That would imply-- think about it-- if you have a straight
line down that whole time, that means that you would have
a constant rate of change of your x value.
Or another way of thinking about that is that you would
have a constant velocity, right?
Well do we have a constant velocity this entire time?
Well, no.
We know that at this point right here you have a very
high velocity, right?
You have a very high velocity.
We know at this point you have a very low velocity.
So you're accelerating this entire time.
And you actually, the more you think about it, you're
actually accelerating at a decreasing rate.
But you're accelerating the entire time.
And then you're accelerating and then you're decelerating
this entire time.
So your actual rate of change of x is not constant, so you
wouldn't have a zigzag pattern, right?
And it'll keep going here and then you'll have a point here.
So what's happening?
When you start off, you're going very slow.
Your change of x is very slow.
And then you start accelerating.
And then, once you get to this point, right here, you start
decelerating.
Until at this point, your velocity is exactly 0.
So your rate of change, or your slope, is going to be 0.
And then you're going to start accelerating back.
Your velocity is going to get faster, faster, faster.
It's going to be really fast at this point.
And then you'll start decelerating at that point.
So at this point, what does this point correspond to?
You're back at A.
So at this point your velocity is now 0 again.
So the rate of change of x is 0.
And now you're going to start accelerating.
Your slope increases, increases, increases.
This is the point of highest kinetic energy right here.
Then your velocity starts slowing down.
And notice here, your slope at these points is 0.
So that means you have no kinetic
energy at those points.
And it just keeps on going.
On and on and on and on and on.
So what does this look like?
Well, I haven't proven it to you, but out of all the
functions that I have in my repertoire, this looks an
awful lot like a trigonometric function.
And if I had to pick one, I would pick cosine.
Well why?
Because when cosine is 0-- I'll write it down here--
cosine of 0 is equal to 1, right?
So when t equals 0, this function is equal to A.
So this function probably looks something like A cosine
of-- and I'll just use the variable omega t-- it probably
looks something like that, this function.
And we'll learn in a second that it looks
exactly like that.
But I want to prove it to you, so don't just
take my word for it.
So let's just figure out how we can figure out what w is.
And it's probably a function of the mass of this object and
also probably a function of the spring
constant, but I'm not sure.
So let's see what we can figure out.
Well now I'm about to embark into a little bit of calculus.
Actually, a decent bit of calculus.
And we'll actually even touch on differential equations.
This might be the first differential equation you see
in your life, so it's a momentous occasion.
But let's just move forward.
Close your eyes if you don't want to be confused, or go
watch the calculus videos at least so you know what a
derivative is.
So let's write this seemingly simple equation, or let's
rewrite it in ways that we know.
So what's the definition of force?
Force is mass times acceleration, right?
So we can rewrite Hooke's law as-- let me switch colors--
mass times acceleration is equal to minus the spring
constant, times the position, right?
And I'll actually write the position as a function of t,
just so you remember.
We're so used to x being the independent variable, that if
I didn't write that function of t, it might get confusing.
You're like, oh I thought x is the independent variable.
No.
Because in this function that we want to figure out, we want
to know what happens as a function of time?
So actually this is also maybe a good review
of parametric equations.
This is where we get into calculus.
What is acceleration?
If I call my position x, my position is equal to x as a
function of t, right?
I put in some time, and it tells me what my x value is.
That's my position.
What's my velocity?
Well my velocity is the derivative of this, right?
My velocity, at any given point, is going to be the
derivative of this function.
The rate of change of this function with respect to t.
So I would take the rate of change with
respect to t, x of t.
And I could write that as dx, dt.
And then what's acceleration?
Well acceleration is just the rate of change
of velocity, right?
So it would be taking the derivative of this.
Or another way of doing it, it's like taking the second
derivative of the position function, right?
So in this situation, acceleration is equal to, we
could write it as-- I'm just showing you all different
notations-- x prime prime of t, second derivative of x with
respect to t.
Or-- these are just notational-- d squared x over
dt squared.
So that's the second derivative.
Oh it looks like I'm running out of time.
So I'll see you in the next video.
Remember what I just wrote. just wrote
Да видим дали можем да използваме това, което досега знаем за пружините,
за да добием представа как една пружина се движи с течение на времето.
Да се надяваме, че ще научим малко повече и за хармоничните движения.
Всъщност дори ще навлезем и в света на диференциалните уравнения.
Не се обезсърчавай, като стигнем дотам.
Просто затвори очи, когато се случи.
И така, начертал съм пружина, подобно на последните няколко видеа.
Нулата – тази точка на абсцисата – се нарича равновесно положение
и представя състоянието на пружината в покой.
В този пример имаме маса m, прикрепена към пружината.
Разтягаме пружината. Издърпали сме я.
Сега масата е в точка А.
И какво ще се случи сега?
Kакто знaем, връщащата сила на пружината
е равна на минус някаква константа (коефициентът на еластичност), по х позицията –
х позицията, започваща от А.
Така първоначално пружината ще се движи назад насам.
Пружината се връща назад така,
става все по-бърза и по-бърза и по-бърза.
А знаем, че в тази точка тя има голяма потенциална енергия.
В тази точка, в която пружината се връща обратно към равновесното си положение,
тя ще има висока скорост и голяма кинетична енергия,
но много малка потенциална енергия.
Но поради инерцията ще продължи да се движи.
Пружината ще продължи да се движи, чак докато
цялата тази кинетична енергия се превърне обратно в потенциална енергия.
След това процесът ще започне отначало.
Така че нека видим дали можем добием представа
за това как ще изглежда х като функция на времето.
Нашата цел е да намерим x(t) – x като функция на времето.
Това ще е нашата цел сега и може би в следващите няколко видеа.
Нека разберем какво се случва.
Нека се опитам да представя графично х като функция на времето.
Времето е независимата променлива.
Ще започнем при t = 0.
По тази ос е времето.
Необичайното тук е, че оста x е вертикалната,
но това е защото x в случая е зависимата променлива.
Това е х оста, доста необичайно.
Така е, защото представяме х като функция на времето.
И това състояние, което съм представил тук –
това е, когато времето е равно на 0, нали така?
Това е при t = 0.
При t = 0 колко е х?
Ами х е при точка А.
Това е А.
Всъщност нека начертая права там,
това може да е полезно.
Това е A,
а тук ще бъде -А.
Това е -А.
При t = 0 къде ще бъде х позицията?
Ще бъде при А.
Всъщност нека направим нещо интересно,
нека дефинираме периода – с главно T.
Да кажем, че периодът е колко време отнема на тази маса
да тръгне от тази позиция –
тя ще ускорява, и ускорява, ще стане много бърза в тази точка.
Всичко това е кинетична енергия,
после ще започне да намалява
и целият процес ще се повтори обратно.
Да кажем, че Т е времето, необходимо за целия този процес.
Така при t = 0, а също и при t = Т,
Тук е Т.
Опитвам се да отбележа точките, които знам от тази функция,
и да предположа как тази функция би изглеждала аналитично.
Ако са необходими T секунди масата да достигне от точка А до -А и да се върне обратно,
ще отнеме T/2 секунди, за да стигне до -А, нали така.
Същият интервал от време, който изминава, за да стигнем дотук,
е необходим и за да се върнем обратно в точка А.
Така при Т/2
каква ще бъде x позицията ?
При T/2 блокчето ще e в -А.
Пружината ще се е свила чак дотук.
Така, при T/2, ще бъде тук.
А в точките помежду им ще бъде при х = 0, нали така?
Ще бъде ето тук и тук.
Дано е станало ясно.
Сега знаем кои са тези точки.
Но нека помислим как би изглеждала функцията.
Ще бъде ли права надолу, последвана от права нагоре,
и отново права надолу, следвана от права нагоре.
Това ще важи – ако имаме права надолу,
това означава, че ще имаме постоянна промяна
в стойността на х.
Или казано по друг начин, това означава,
че имаме постоянна скорост.
Имахме ли постоянна скорост през това цялото време?
Не.
Знаем, че в тази точка точно тук имаме
много висока скорост, нали?
Имаме много висока скорост.
Знаем, че в тази точка имаме много ниска скорост.
Тоест ускоряваме през цялото това време.
Всъщност, ако помислим малко,
ускоряваме с намаляващо ускорение.
Но ускоряваме през цялото време.
След това отново увеличаваме скоростта
и намаляваме скоростта тук през цялото време.
Тоест промяната в х не е постоянна
и няма да имаме зигзагообразен модел.
Ще продължи дотук, после ще мине през тази точка.
Какво се случва?
В началото скоростта е много ниска.
Промяната в x е много бавна.
След което започваме да ускоряваме.
И когато стигнем до тази точка,
започваме да намаляваме скоростта.
Докато в тази точка скоростта е точно 0.
Наклонът на кривата ще е 0.
След което започваме да ускоряваме отново.
Скоростта ни става все по-висока.
Ще е много висока в тази точка.
След което започва да намалява.
На какво отгаваря тази точка?
Обратно сме при А.
В тази точка скоростта ни отново ще бъде 0.
Тоест степента на промяна в x също ще бъде 0.
Сега отново ще започнем да ускоряваме.
Наклонът се увеличава, увеличава...
Това е точката с най-висока кинетична енергия.
След което скоростта започва да спада.
И забележи, в тези точки наклонът е 0.
Което означава, че няма кинетична енергия в тези точки.
И просто продължава
отново и отново.
Как изглежда това?
Не съм ти го доказал, но от всички функции, които аз знам,
тази графика прилича ужасно много на тригонометрична функция.
И ако трябваше да избера една, щеше да е косинус.
Но защо?
Защото при косинус от 0 – ще го запиша тук отдолу.
cos0 = 1, нали?
Тоест когато t = 0, тази функция приема стойност A.
Тоест тази функция е нещо като
А по косинус, и просто ще използвам
променливата омега t.
Вероятно е нещо такова.
И след секунди ще научим, че изглежда точно така.
Но искам да ти го докажа, така че не ми вярвай на сляпо.
Да видим как можем да намерим какво е омега.
Вероятно е функция на масата на този обект,
както и вероятно на пружинната константа,
но не съм сигурен.
Да видим какво можем да открием.
Сега ще се впусна малко в анализ на функции.
Всъщност доста анализ ще има.
Дори ще стигнем до диференциални уравнения.
Това може би е първото диференциално уравнение,
което виждаш в живота си, така че е важен момент.
Но нека преминем напред.
Затвори очи, ако не искаш да се объркаш,
или гледай видеото за математически анализ,
поне за да разбереш какво е производна.
Нека запишем това, на пръв поглед лесно, уравнение
или да го преобразуваме по начин, който ни е известен.
Какво е определението за сила?
Силата е масата по ускорението, нали?
Можем да преобразуваме закона на Хук като – нека сменя цветовете.
Масата по ускорението е равно на
минус пружинната константа по x позицията(-kx), нали?
Всъщност ще запиша позицията като фуннкция на t, просто за да го запомниш.
Толкова сме свикнали x да е независимата променлива,
че ако не бях записал това x(t), щеше да стане объркващо.
Ще си помислиш, че x е независима променлива.
Не.
Защото в тази функция, която искаме да намерим,
искаме да знаем какво се случва като функция на времето.
Така че това всъщност може би е и добър преглед
на параметричните уравнения.
Това е мястото, където стигаме до анализа.
Какво е ускорение?
Ако нарека моята позиция x,
тя ще е x като функция на t, нали?
Въвеждам някакво време и това ми казва какво е моето х.
Това е моята позиция.
Каква е скоростта ми?
Скоростта ми е производната на това, нали?
Скоростта ми в която и да е точка
ще е производната на тази функция.
Промяната в тази функция по отношение на t.
Взимаме промяната по отношение на t.
Мога да запиша това като dx върху dt.
И тогава какво е ускорението?
Ускорението е просто промяната в скоростта.
Тоест ще е производната на това.
Или друг начин да го кажем е, че
все едно взимаме втората производна от функцията за позицията.
В този случай ускорението се равнява на,
можем да го запишем като – просто ти показвам различните записи –
x'' от t, втората производна на x, по отношение на t,
или просто d^2x върху dt^2.
Това е втората производна.
Изглежда, че излизам извън времето.
Ще се видим в следващото видео.
Запомни какво написах току-що.
Pojďme se podívat, jak využít naše znalosti o pružinách,
abychom pochopili, jak se pružina pohybuje v čase.
A naučíme se něco o harmonickém pohybu.
Vlastně i vstoupíme do světa diferenciálních rovnic.
A nenechte se zastrašit, až se tam dostaneme.
Nebo jen zavřete oči, až se to stane.
Nakreslil jsem pružinu, stejně jako v několika posledních videích.
A 0, tento bod na ose x, je rovnovážný stav pružiny.
A v tomto příkladu mám závaží o hmotnosti ‚m‛, připevněné na pružinu.
A pružinu jsem napnul.
V podstatě jsem ji natáhl, takže závaží se teď nachází v bodě A.
Co se teď stane?
Jak víme síla pružnosti se rovná minus koeficient tuhosti (tuhost) krát poloha x.
Poloha ‚x‛ začíná v bodě A.
Takže nejprve se pružina pohne zpět tímto směrem.
Pružina se pohne zpět tímto směrem.
A bude se pohybovat rychleji a rychleji a rychleji.
Zjistili jsme, že v tomto bodě má mnoho potenciální energie.
V tomto bodě, kdy se pružina vrací do své rovnovážné polohy,
bude mít velkou rychlost a hodně kinetické energie,
ale velmi málo potenciální energie.
Ale hybnost jí udrží v pohybu a ona se úplně stlačí,
než se všechna kinetická energie promění zpět v potenciální energii.
A pak se děj bude opakovat.
Podívejme se, zda můžeme pochopit, jak se ‚x‛ mění v závislosti na čase.
Náš cíl je vyjádřit x(t) ...‚x‛ jako funkci času.
To bude náš cíl v tomto videu a asi i v dalších několika.
Pojďmě se nejdříve podívat, co se tady děje.
Nejdříve se pokusím nakreslit ‚x‛, jako funkci času.
Čas je nezávislá proměnná.
A začnu v čase rovném 0.
Toto je časová osa.
Namaluji osu x.
Toto je pro vás asi trochu nezvyklé, abych maloval osu x na vertikále,
ale to kvůli tomu, že ‚x‛ je v této situaci závislá proměnná.
Toto je osa x, velmi nezvykle.
Nebo bychom mohli říci x(t), jen abyste věděli, že ‚x‛ je funkce času.
A tento stav, co jsem namaloval tady, toto je v čase rovno 0.
Takže toto je v 0. ...Vyměním si barvy...
V čase rovném 0, jaká je pozice ‚x‛ závaží?
Pozice ‚x‛ je A.
Když to namaluji, tak toto je A.
Ještě namaluji čáru tady. Mohla by se hodit.
Toto je A.
A toto bude...pokusím se... ...toto je záporné A.
To je -A.
Takže v čase ‚t‛ rovno 0, kde je? V bodě A.
Tady v grafu.
Raději se pojďme podívat na něco zajímavějšího.
Definujme periodu.
Periodu označím velkým ‚T‛.
Řekněme, že perioda je čas, za který se závaží pohne z tohoto místa.
Bude zrychlovat, zrychlovat, zrychlovat, zrychlovat.
Bude opravdu rychlé v tomto bodě, jen s kinetickou energií.
A potom bude zpomalovat, zpomalovat, zpomalovat.
A potom se tento děj bude opakovat cestou zpět.
Řekněme, že ‚T‛ je množství času, za který se uskuteční celý tento děj.
V čase 0 je to v bodě A a potom také víme, že v čase ‚T‛...
...Toto je čas ‚T‛... to bude také v bodě A.
Snažím se nakreslit pár bodů této funkce, které znám a pak se podívat,
jestli budu umět vyjádřit tuto funkci analyticky.
Jestliže trvá cesta tam a zpět ‚T‛ sekund,
trvá to ‚T lomeno 2‛ sekundy, než se to dostane sem.
Množství času potřebného k tomu dostat se sem, je stejné,
jako jeho množství na cestu zpět.
‚T lomeno 2‛...jaká je pozice ‚x‛?
V ‚T lomeno 2‛, závaží bude tady. Bude stlačené až sem.
Takže v ‚T lomeno 2‛ bude závaží zde.
A potom mezi body, to bude v ‚x‛ rovno 0.
Bude to tady a tady.
Doufám, že to dává smysl.
Teď známe tyto body.
Ale pojďme se zamyslet, jak vypadá vlastní funkce.
Bude to jen přímá čára dolů, potom přímá čára nahoru
a potom přímá čára dolů a potom přímá čára nahoru.
To by znamenalo...zamyslete se nad tím...
...když máte přímou čáru dolů celou dobu, znamenalo by to,
že máte stálou rychlost změny hodnoty ‚x‛.
Nebo také můžeme říci, že máme konstantní rychlost.
Máme konstantní rychlost po celou dobu?
Ne.
Víme, že přesně v tomto bodě máte velmi vysokou rychlost.
Máte velmi vysokou rychlost.
Víme, že v tomto bodě máte velmi nízkou rychlost, takže zrychlujete celou dobu.
A čím více se nad tím zamyslíte, vlastně zrychlujete s klesající rychlostí.
Ale zrychlujete celou dobu.
A potom zrychlujete a pak zpomalujete celou tuto dobu.
Vaše skutečná rychlost změny ‚x‛ není konstantní,
tudíž nebudete mít cikcak vzor.
A budu pokračovat sem a potom budete mít bod tady.
Co se děje?
Když začnete, pohybujete se velmi pomalu.
Změna ‚x‛ je velmi pomalá.
A potom začnete zrychlovat.
A potom, až se dostanete k tomuto bodu, začnete zpomalovat.
Až do tohoto bodu. Vaše rychlost je zde přesně 0.
Takže vaše rychlost změny, neboli sklon, bude 0.
A potom začnete zrychlovat zpět.
Vaše rychlost bude vyšší a vyšší.
Bude opravdu vysoká v tomto bodě. A potom začnete zpomalovat do tohoto bodu.
V tomto bodě, čemu odpovídá? Jste zpět v A.
Takže v tomto bodě bude rychlost znovu 0.
Takže rychlost změny ‚x‛ je 0.
A teď začnete zrychlovat.
Sklon roste, roste, roste.
Toto je bod s největší kinetickou energií, přesně tady.
Potom vaše rychlost začne zpomalovat.
A všimněte si tady, sklon v těchto bodech je 0.
V těchto bodech nemáte žádnou kinetickou energie.
A to se pořád opakuje.
Dokola a dokola a dokola.
Jak to vypadá?
Ještě jsem vám to nedokázal, ale ze všech funkcí, které znám,
mi toto hodně připomíná trigonometrické funkce.
A kdybych si měl jednu vybrat, vyberu kosinus.
Proč?
Protože, když je kosinus 0... ...napíši to zde...kosinus 0 se rovná 1.
Když ‚t‛ je rovno 0, tato funkce se rovná A.
Takže tato funkce vypadá, jako A kosinus...
...a použiji zde proměnnou omega t...
tato funkce vypadá, jako něco takového.
A za chvilku se naučíme, že tohle vypadá přesně takto.
Ale chci vám to dokázat, takže mi zatím nevěřte.
Pojďme se podívat, jak vyřešit, co je omega.
A je to pravděpodobně funkce hmotnosti tohoto předmětu
a asi i funkce koeficientu tuhosti, ale nejsem si jistý.
Tak se pojďme podívat, co můžeme vyřešit.
A teď zamířím do diferenciálních počtů. Trochu decentních diferenciálních počtů.
A vlastně potkáme i diferenciální rovnice.
Možná první diferenciální rovnice, kterou uvidíte ve svém životě,
což je důležitá událost.
Ale pojďme se pohnout vpřed.
Zavřete oči, jestli nechcete být zmateni
nebo se podívejte na videa diferenciálních počtů, abyste věděli, co je derivace.
Pojďme napsat tuto zdánlivě jednoduchou rovnici
nebo ji pojďme přepsat tak, abychom jí pochopili.
Jak je definována síla?
Síla je hmotnost krát zrychlení.
Můžeme přepsat Hookeův zákon, jako... ...vyměním si barvy...
...hmotnost krát zrychlení je rovno minus koeficient tuhosti krát poloha.
Napíši polohu, jako funkci ‚t‛, jen abyste si to zapamatovali.
Jsme tak zvyklí, že ‚x‛ je nezávislá proměnná,
že by bylo zmatečné, nenapsat to jako funkci ‚t‛.
Řekli byste...„Oh myslel jsem, že ‚x‛ je nezávislá proměnná." NE.
Protože v této funkci, kterou si chceme vyjádřit,
chceme vědět, co se stane v závislosti na čase.
Toto je vlastně i dobré opakování parametrických rovnic.
A teď se dostáváme do diferenciálních počtů.
Co je zrychlení?
Jestliže nazvu svou polohu ‚x‛... moje poloha se rovná (x)t.
Dosadím nějaký čas, což mi řekne, jaká je hodnota ‚x‛.
To je moje poloha.
Co je moje rychlost? Moje rychlost je derivace tohoto.
Moje rychlost, v jakémkoli bodě, bude derivací této funkce.
Změna rychlosti této funkce v závislosti na ‚t‛.
Takže se podívám na změnu rychosti v závislosti na ‚t‛...x(t).
A mohu to napsat jako dx/dt.
A co je zrychlení?
Zrychlení je jen rychlost změny rychlosti.
Takže je to, jako derivace tohoto.
Nebo jinak, je to jako počítat druhou derivaci funkce polohy.
V této situaci je zrychlení rovno...
...mohli bychom to napsat jako... ...jen vám ukazuji různé způsoby zápisu...
...x čárka čárka t, druhá derivace ‚x‛ v závislosti na ‚t‛.
Nebo...toto jsou jen zápisy... ...d na druhou x děleno dt na druhou.
Toto je druhá derivace. Vypadá to, že mi dochází čas.
Na viděnou v dalším videu.
A zapamatujte si, co jsem právě napsal.
Vaatame kas me saame kasutada oma teadmisi vedrudest,
et paremini mõista kuidas
vedru aja jooksul liigub.
Loodetavasti õpime midagi
harmoonilisest võnkumisest.
Tegelikult puudutame veidi
diferentsiaalvõrrandeid ka.
Ära ehmu, kui me sinna jõuame.
Või lihtsalt sule silmad, kui see juhtub.
Ma olen joonistanud vedru, nii nagu
eelmistes videotes.
ja 0, selles punktis, mis asub x-teljel,
on vedru puhkeasend.
Selles näites on mul mass
kinnitatud vedru külge.
Ma olen vedrut venitanud.
Mass on nüüd punktis A.
Mis juhtub sellega?
Verdu taastav jõud
on võrdne miinus
konstant korrutada x koordinadiga
X koordinaat on punktis A.
Seega vedru tõmbub
tagasi selles suunas.
Vedru tõmbub tagasi selles suunas.
See hakkab liikuma kiiremini ja kiiremini.
Oleme juba õppinud, et sellel on suur
potensiaalne energia.
Kui see jõuab tagasi puhkeasendisse,
siis on sellel suur kiirus ja suur
kineetiline energia, aga väga väiks potensiaalne energia.
aga selle impulss paneb keha edasi liikuma ja
see surub vedrut, kuni kõik
kineetiline energia muundub potensiaalseks energiaks.
Siis algab see protsess uuesti.
Vaatame kas me saame aru milline on x
aja funktsioonina.
Meie eesmärk on välja selgitada x-i aja funktsioon.
See on selle video eesmärk,
arvatavasti ka järgmiste videote eesmärk.
Proovime mõista seda, mis juhtub siin.
Ma proovin teha graafiku.
Aeg on sõltumatu muutuja.
Alustan siis kui aeg on 0.
See on ajatelg.
Ma joonistan x-telje.
See võib olla ebatavaline, et ma joonistan
x-telje vertikaalselt, aga see on selle pärast, et x on
sõltuv muutuja selles olukorras.
See on ebatavaliselt x-telg.
Või võiksime öelda x(t). sest x
on ajafunktsioon
Selles olukorrras, mille ma olen siia joonistanud, on
aeg võrdne nulliga
See on 0.
Las ma vahetan värve.
Kui aeg on võrdne nulliga, siis, mis on massi x-positsioon?
X-i asukoht on A.
See on A.
Ma teen joone siia.
Sellest võib kasu olla.
See on A.
Ja sellest saab
miinus A.
See on -A.
Kus on mass, kui aeg on võrdne 0.
See on punktis A.
Graafikul on see siin.
Tegelikut teeme midagi huvitavat.
Määrame perioodi.
Perioodi ma märgin suure T-ga.
Periood on aeg, mille jooksul mass
liigub sellest positsioonist...
see hakkab kiirendama, kiirendama, kiirendama
ja kiirendama.
See liigub selles punktis väga kiiresti.
Ja siis hakkab see aeglustama, aeglustama, aeglustama.
Ja, siis teeb see terve protsessi uuesti algpunkti.
Ütleme, et T on ajahulk, mille jooksul
see läbib terve protsessi.
Ajahetkel 0, ja samuti teame, et ajal T,
on see puntis A.
Ma lihtsalt lisan funktsioonist punkte graafikule,
et paremini mõista, mis
funktsioon analüütiliselt on.
Kui edasi ja tagasi liikumiseks kulub T sekundit, siis
siia jõudmiseks kulub sellel T/2 sekundit.
See aeg, mis kulus siia jõudmiseks
on sama aeg, mis kulub tagasi jõudmiseks.
Mis on x asukoht ajal T/2?
Ajal T/2 on see siin.
Siin on see täielikult kokku surutud.
Ajal T/2 on see siin
Nende punktide vahel on x
võrdne nulliga.
See oleks siin ja siin.
Loodetavasti on see loogiline.
Nii, et meil on need punktid teada.
Mõtleme, milline näeb tegelik funktsioon välja.
kas see oleks lihtsalt sirge joon alla ja, siis sirge
joon ülesse ning sirge joon alla
ja sirge joon ülesse.
See tähendaks, et, kui sul on kogu aeg
sirge joon alla, siis see tähendab, et sul muutuks
x-i väärtus konstantselt.
või teisiti mõeldes oleks see, et sellel
oleks konstantne kiirus.
Kas mel on kogu aeg konstantne kiirus?
Ei.
Me teame et selles punktis on sellel
väga suur kiirus.
Sellel on väga suur kiirus.
Me teame et selles punktis on sellel väga väike kiirus.
Sellel on kogu aeg kiirendus.
Tegelikult, mida rohkem mõelda selle peale,
siis see tegelikult aeglustub
Aga sellel on kiirendus
See kiirendab ja seejärel aeglustub
kogu selle aja jooksul.
X tegelikult ei muutu konstantselt ja seega
ei ole sellel graafikul sik-sak muster.
Mis juhtub?
Kui see stardib, siis see liigub väga aeglaselt.
X-i väärtuse muutumine on väga aeglane.
ja siis see hakkab kiirendama.
Ja kui see jõuab sellesse punkti,
siis see hakkab aeglustuma
Selles punktis on kiirus täpselt 0.
X-i muutumise kiirus on 0.
Siis hakkab mass uuesti kiirendama.
selle kiirus suureneb ja suureneb.
Selles punktis on massi kiirus väga suur.
Ja selles punktis hakkab mass aeglustuma.
Millele vastab see punkt?
See on tagasi puntis A.
selles punktis on massi kiirus jälle 0.
X-i muutumise kiirus on 0.
Nüüd hakkab see jälle kiirendama.
Selles punktis on kineetiline energia kõige suurem.
Siis selle kiirus hakkab vähenema.
Nendes punktides on X-i kõrgus 0.
See tähendab, et nendes punktides
pole sellel kineetilist energiat.
Ja see liigub edasi.
Milline see välja näeb?
Ma ei ole seda veel tõestanud, aga
minu arvates näeb see välja
nagu mingi trigonomeetriline funktsioon.
Kui ma peaksin valima, siis see oleks koosiinusfunktsioon.
Miks?
Sest kui koosiinus on 0,
siis see on võrdne ühega.
Kui t on 0, siis see funktsioon on võrdne A-ga.
See funktsioon on tõenäoliselt midagi sellist:
Acos(ωt)
see näeb välja nagu see funktsioon.
kohe saame teada et see näeb välja
täpselt nagu see.
Aga ma tahan seda teile tõestada.
Vaatame kuidas me välja mõtleme, mis on ω.
See on tõenäoliselt keha massi
ja vedrukonstandiga funktsioon,
aga ma pole kindel.
Vaatame mis me välja mõtleme.
Nüüd ma alustan natuke kõrgema matematikaga.
Tegelikult päris palju kõrgemat matematikat.
ja me isegi vaatame diferentsiaalvõttandeid.
See võib olla esimene diferentsiaalvõrrand, mis sa näed
enda elus.
Liigume edasi.
pane silmad kinni, kui sa ei taha segaduses olla.
vaata kõrgema matemaatika videosid, siis tead vähemalt,
mis on derivaat.
Kirjutame selle näiliselt lihtsa valemi,
või kirjutame selle nii nagu me aru saame.
mis on jõu definitsioon?:
F=ma.
Nii saame kirjutada hooke'i seaduse nii,
et mass korda kiirendus on võrdne miinus vedrukonstant
korda asukoht.
Kirjutame asukoha t funktsioonina,
lihtsalt et sa mäletaks.
Oleme nii harjunud et x on sõltumatu muutuja ja,
kui ma poleks kirjutanud t funktsiooni, siis oleks see segane.
Muidu sa oleks arvanud, et x oleks sõltumatu muutuja,
Ei.
Sest selles funktsioonis tahame teada,
mis juhtub ajaga.
See on tegelikult hea eelvaade
parameetriliste võrrandite kohta.
Siin me vaatama kõrgemat matemaatikat.
Mis on kiirendus?
Kui mu asukoht on x
ajafunktsioonina.
Kui ma tegelen sellega, siis see ütleb mulle, mis mu x väärtus on.
See on mu asukoht.
Mis on mu kiirus?
Mu kiirus on selle tuletis.
Mu kiirus mis tahes ajahetkel on
selle funktsiooni tuletis.
Selle funktsiooni muutumise kiirus t suhtes.
Võtan muutumise kiiruse
t suhtes x(t).
Ja saaks kirjutada selle dx jagatud dt.
Mis on kiirendus?
Kiirendus on kiiruse muutumise
kiirus.
Võtan sellest tuletise.
Teine viis selle tegemiseks oleks võtta
teine tuletis funktsiooni asukohast.
Selles olukorras on kiirendus võrdne...
me saaks ka kirjutada - ma lihtsalt näitan teile erinevaid märkimise viise-
x''(t), x-i teine tuletis
t suhtes.
või d ruut x jagatud d ruut t.
See on teine tuletis.
Mul hakkab aeg otsa saama.
Näeme järgmises videos.
Jäta meelde mis ma just kirjutasin.
בואו נראה אם נוכל להשתמש בידע שלנו בקשר
לקפיצים, כדי להבין איך קפיץ
נע כפונקציה של הזמן.
כך נוכל ללמוד קצת על
תנועה הרמונית.
נעשה גם קפיצה קצרה לעולמן של המשוואות
הדיפרנציאליות.
אל תפחדו כשנגיע לשם.
או שפשוט תעצמו עיניים כשזה קורה.
בכל מקרה, ציירתי קפיץ כפי שעשיתי
בסירטונים האחרונים.
הנקודה 0, היא הנקודה בציר ה- x שבה הקפיץ
נמצא במצבו הטבעי, הרפוי.
בדוגמה הזאת יש לנו מסה m
הקשורה לקפיץ.
אני מתחתי את הקפיץ.
אני בעצם משכתי אותו,
כך שהמסה נמצאת בנקודה A.
מה יקרה עכשיו?
אנו יודעים שהכוח המחזיר של הקפיץ
שווה למינוס איזשהו קבוע
כפול המיקום x.
ההעתק x מתחיל ב- A.
בהתחלה, הקפיץ ימשוך חזרה
לכוון הזה, נכון?
הקפיץ ימשוך חזרה לכוון הזה.
הוא ינוע מהר יותר ויותר.
למדנו שבנקודה הזאת אגורה בו הרבה
אנרגיה פוטנצילית.
בנקודה הזאת, כשהוא חוזר חזרה למצבו
הרפוי, תהיה למסה מהירות גדולה והרבה אנרגיה
קינטית, אך לא אנרגיה פוטנציאלית.
היא תמשיך לנוע לאותו כוון, והיא
תכווץ את הקפיץ כל הדרך, עד שהאנרגיה
הקינטית תהפוך חזרה לאנרגיה פוטנצילית.
והתהליך הזה יחזור על עצמו.
בואו נראה אם נוכל לקבל איזשהו מושג איך x
ייראה כפונקציה של הזמן.
המטרה שלנו היא לקבל את x כפונקציה של הזמן t.
זאת המטרה שלנו בסירטון הזה
ובבאים אחריו.
בואו נראה מה קורה כאן.
אני אנסה לשרטט גרף של x כפונקציה של הזמן.
הזמן הוא המשתנה הבלתי תלוי.
ונתחיל מזמן שווה ל- 0.
זהו ציר הזמן.
אצייר את ציר ה- x.
זה עלול להיות קצת מבלבל, לצייר את ציר x
בציר המאונך, אך הסיבה היא ש- x הוא
המשתנה התלוי, במקרה הזה.
זה בלתי רגיל, אך זה ציר x.
נקרא לו ( x (t, כי אנו יודעים ש- x הוא פונקציה
של הזמן.
במצב שציירתי כאן, זה בזמן
השווה ל- 0, נכון?
זה בזמן 0.
אחליף צבעים.
מהו ההעתק של המסה בזמן השווה ל- 0?
ההעתק x הוא A, נכון?
אצייר זאת, זה A.
בעצם, אצייר כאן קו.
זה יועיל לנו.
זה A.
וזה יהיה - אשתדל לדייק כמה שאפשר -
זה מינוס A.
איפה המסה נמצאת בזמן 0?
היא ב- A.
זה המקום הזה, נכון?
עכשיו נעשה משהו מעניין.
בוא נגדיר זמן מחזור.
אקרא לזמן המחזור T.
זמן המחזור הוא הזמן שלוקח למסה,
שמתחילה מההעתק הזה,
מאיצה, מאיצה, מאיצה
ומאיצה,
בנקודה הזאת תהיה לו אנרגיה קינטית מרבית,
ואז יתחיל להאט, להאט, להאט
ולהאט,
ואז, חוזרת על התהליך הזה כל הדרך חזרה.
זמן המחזור T הוא הזמן שלוקח לעבור את כל
התהליך הזה, בסדר?
אז, בזמן 0 ההעתק שווה ל- A, וגם בזמן T - זה
זמן T - ההעתק יהיה שווה ל- A, נכון?
אני מנסה לצייר בגרף מספר נקודות של הפונקציה
הזאת, כדי לקבל מושג מהי
צורת הפונקציה.
אם זה לוקח T שניות כדי לנוע הלוך וחזור, אז זה
לוקח 2/T שניות להגיע לכאן, נכון?
אותו זמן שלקח להגיע לכאן, יהיה גם
הזמן שייקח לחזור.
אז, מה יהיה ההעתק x בזמן 2/T?
בזמן 2/T המסה תהיה כאן.
הקפיץ יהיה מכווץ כל הדרך הזאת.
אז, בזמן 2/T המסה תהיה כאן.
ובנקודות שביניהם המסה תהיה בהעתק x
שווה ל- 0, נכון?
היא תהיה שם ושם.
זה נשמע הגיוני.
אז אנו מכירים את הנקודות האלה.
בואו נחשוב איך תיראה הפונקציה כולה.
האם היא תהיה קו ישר כלפי מטה, ואז קו
ישר כלפי מעלה, ואז קו ישר כלפי מטה, ואז
קו ישר כלפי מעלה.
מה פירושו של קו ישר? אם יש לנו קו ישר
כלפי מטה כל הזמן, פירושו של דבר שקצב
השינוי של x הוא קבוע.
זאת אומרת שהמהירות
קבועה, נכון?
האם המהירות קבועה כל הזמן?
וודאי שלא.
אנו יודעים שבנקודה הזאת, כאן, המהירות
גבוהה מאד, נכון?
יש לנו מהירות מאד גבוהה.
אנו יודעים שבנקודה הזאת המהירות שווה לאפס.
כלומר, יש לנו כל הזמן תאוצה.
אם מעמיקים לחשוב,
המסה בעצם מאיצה בקצב הולך ופוחת.
אך ישנה תאוצה כל הזמן.
בהתחלה מאיצים, ואז מאיטים,
וכך כל הזמן.
אם כן, קצב השינוי של x אינו קבוע, לא יהיה
לנו גרף בצורת "זיגזג", נכון?
וזה ימשיך כאן, ותהיה לנו נקודה נוספת כאן.
מה קורה?
בהתחלה, המהירות היא נמוכה.
קצב השינוי של x הוא מתון.
ואז מתחילים להאיץ.
וכשמגיעים לנקודה הזאת, מתחילים
להאט.
עד שבנקודה הזאת, המהירות שווה בדיוק ל- 0.
קצב השינוי, או השיפוע, יהיה 0.
ואז מתחילים להאיץ בכוון הפוך.
המהירות גדלה יותר, ויותר, ויותר.
המהירות תהיה מאד גדולה בנקודה הזאת.
ואז, מתחילים להאט בנקודה הזאת.
למה שייכת הנקודה הזאת?
אנו חזרה ב- A.
בנקודה הזאת המהירות היא 0, פעם נוספת.
קצב השינוי של x הוא 0.
ואז מתחילים שוב להאיץ.
השיפוע גדל, וגדל, וגדל.
זאת הנקודה, בה האנרגיה הקינטית היא מרבית.
ואז המהירות מתחילה לקטון.
שימו לב, בנקודות האלה השיפוע הוא 0.
פירוש הדבר הוא שאין אנרגיה
קינטית בנקודות האלה.
והתנועה ממשיכה.
הלאה, והלאה, ועוד הלאה.
איך זה נראה?
אמנם, עוד לא הוכחתי את זה, אך מכל הפונקציות
שברפרטואר, זה נראה
כמו פונקציה טריגונומטרית.
אם עלי לבחור אחת, הייתי בוחר בקוסינוס.
למה?
כי כאשר אנו באפס - אכתוב את זה כאן -
קוסינוס של 0 שווה 1, נכון?
כאשר t שווה 0, הפונקציה הזאת שווה ל- A.
כנראה שהפונקציה הזאת נראית משהו כמו A קוסינוס
- אשתמש במשתנה אומגה כפול t - כנראה
שהפונקציה נראית משהו כזה.
בהמשך, נלמד שהיא נראית
בדיוק ככה.
אך, ברצוני להוכיח לכם את זה, אז אל
תאמינו לי בינתיים.
בוא נבדוק אם נוכל לראות למה שווה אומגה.
הוא בוודאי פונקציה של המסה של הגוף הזה,
וכנראה גם פונקציה של קבוע
הקפיץ, אך איני בטוח.
בואו נראה מה אפשר לעשות.
אני עומד לצאת לדרך שיש בה קצת חשבון דיפרנציאלי.
בעצם, מנה גדושה של חשבון דיפרנציאלי.
ניגע אפילו במשוואות דיפרנציאליות.
אולי זאת תהיה המשוואה הדיפרנציאלית
הראשונה בחיים שלכם, אז זהו רגע מכונן.
בואו נתקדם.
אם אינכם רוצים להתבלבל, עיצמו את עיניכם,
או שתצפו בסירטונים על חשבון דיפרנציאלי, כדי שתדעו לפחות
מהי נגזרת.
בואו נכתוב את המשוואה הפשוטה הזאת, לכאורה,
או בעצם נשכתב אותה בדרכים מוכרות.
מהי ההגדרה של כוח?
כוח הוא מסה כפול תאוצה, נכון?
אנו יכולים לכתוב את חוק הוק - אחליף צבעים -
מסה כפול תאוצה שווה למינוס קבוע הקפיץ,
כפול ההעתק, נכון?
אי אכתוב העתק כפונקציה של t,
כדי שתזכרו את זה.
אנו כל כך רגילים לזה ש- x הוא המשתנה הבלתי תלוי,
שאם אני לא אכתוב שזה כפונקציה של t, זה עלול לבלבל אותנו.
אולי תחשבו ש- x הוא המשתנה הבלתי תלוי,
הוא לא!
כי בפונקציה, אותה אנו מחפשים, אנו רוצים
לדעת מה קורה כפונקציה של הזמן.
זאת יכולה להיות חזרה טובה על
פונקציות פרמטריות.
כאן, אנחנו מתחילים בחשבון הדיפרנציאלי.
מהי תאוצה?
ההעתק שלנו x, ההעתק שווה ל- x
כפונקציה של t, נכון?
אני קובע מהו הזמן t, וזה אומר לנו מהו הערך של x.
זה ההעתק שלנו.
מהי המהירות?
המהירות היא הנגזרת של ההעתק, נכון?
המהירות, בנקודה כלשהי, היא
הנגזרת של הפונקציה הזאת.
קצב השינוי של הפונקציה הזאת, ביחס ל- t.
אז נחשב את קצב השינוי ביחס
ל- t.
אני יכול לכתוב את זה כ- dx ל- dt.
מהי התאוצה?
התאוצה היא קצב השינוי של
המהירות, נכון?
כלומר צריך לקחת את הנגזרת של זה.
דרך אחרת היא, לקחת את הנגזרת
השנייה של פונקצית ההעתק, נכון?
התאוצה שווה - אני רוצה להראות
לכם צורות כתיבה שונות - x תגיים
של t, הנגזרת השנייה של x
ביחס ל- t.
אפשר גם לכתוב, d בריבוע x,
חלקי dt בריבוע.
זאת הנגזרת השנייה.
נראה שהזמן הולך ואוזל.
נתראה בסירטון הבא.
תזכרו את מה שכתבתי כרגע.
일단 우리가 용수철에 대해 알고 있는 사실을 조금
떠올려보면서 시간에 대한 용수철의 움직임을 분석할
아이디어를 조금 얻어 봅시다
그리고 다행히 우리는
조화진동자에 대해 조금 배울 것입니다
그리고 실제로 우리는 이번에 미분방정식의 세계에 조금이지만
입문할 것입니다
미분방정식과 마주했을때 도망치지 마십시오
아니면 방정식을 풀때 눈을 감고 계십시오
어쨋든 저는 저번 강의처럼 스프링을
그렸습니다
그리고 이 지점을 x축의 기준점인 0으로 잡습니다
바로 용수철의 자연길이일때의 위치입니다
이 예제에서는 용수철에 달린 물체의 질량을 m이라
하겠습니다
그리고 제가 이 용수철을 늘리기 시작합니다
저는 이 용수철을 당깁니다
그렇게 당겨서 물체의 위치가 A까지 오도록 합니다
그럼 어떤일이 벌어질까요?
여러분이 모두 알다시피 힘 즉 용수철의
복원력은 마이너스 변위 곱하기
어떤 상수와 같습니다
x좌표는 A입니다
용수철을 당기면 용수철은 물체를 이쪽 방향으로
당길 것 입니다
용수철은 물체를 이쪽으로 당깁니다
그리고 물체는 당겨지는 과정에서 점점 빨라질 것입니다
그리고 우리가 배웠들이 이 지점에서 용수철은
큰 퍼텐셜에너지를 가지고 있습니다
이 지점에서 용수철로부터 온동과 반대방향의 복원력을 받기 시작하면
매우 큰 속력과 운동에너지를 가지겠지만
퍼텐셜에너지의 양은 매우 작을 것입니다
하지만 물체의 관성은 물체가 계속 같은 방향으로 운동하게 할 것입니다
용수철이 물체의 모든 운동에너지를 퍼텐셜에너지로
바꿀때까지는 그렇습니다
그리고 이후에는 같은 과정이 반복됩니다
그럼 x좌표를 시간에 대한 함수로 나타내면 어떤 형태일지
직관적으로 이해하기 위해 조금 생각해봅시다
우리의 최종목표는 t에 대한 x 즉 x의 시간에 대한 함수를 알아내는 것입니다
그리고 이 함수를 알아내는 것이 이 강의의 최종목표이기도
하고 다음 몇 강의도 그럴 가능성이 높습니다
그럼 이 지점에서 어떤일이 일어나는지에 대한 그림을 한번 그려 봅시다
일단 x를 시간에 대해 한번 그래프에 나타내 보겠습니다
시간이 독립변수이고
시간은 0 에서부터 시작하겠습니다
이것이 시간축입니다
x축을 한번 그려보겠습니다
이 형태의 그래프는 여러분에게 익숙하지 않을 수 있는데요 왜냐하면
제가 이 그래프에서 x축이 세로축이기 때문입니다
하지만 이 상황에서는 x가 종속변수이므로 어쩔 수 없습니다
그럼 이것이 x축입니다 조금 익숙하지 않으실 수도 있지만요
또는 우리는 t 에 대한 x 라 할 수도 있습니다 그리고 여러분이 알듯이 x는
시간의 함수입니다 t에 대한 x
그리고 이 상태에서 저는 이곳에 그렸습니다 그리고 이 시간에서
x좌표는 0입니다
그러면 여기는 0 입니다
색을 조금 바꾸도록 하겠습니다
그럼 시간이 0일떄 이 물체의 x좌표는 얼마일까요?
x좌표는 A입니다 그렇죠?
이것을 그린다면 이것의 위치는 A입니다
일단 여기 선을 하나 그리도록 하겠습니다
상당히 유용할 것 같거든요
여기가 A입니다
그리고 이것은 한번 이것을
상대적으로 만들어보도록 하죠 이것은 음의 A이고
이것은 마이너스 A입니다
시간이 0 일때 물체는 어디있습니까?
이것은 A에 있습니다
그럼 이것이 그래프가 있는 위치입니다 그렇죠?
사실 조금 더 흥미로운 것을 해보죠
이 시점의 상황에 대해 알아봅시다
그럼 주기를 T라고 하겠습니다
그리고 주기를 질량 m의 물체가 자신의 위치에서 출발한뒤 다시 한번 자신의 위치로
돌아올때까지의 시간으로 정의하겠습니다
물체는 점점 가속될 것입니다
계속요
그리고 이점에서는 아주 빨라질 것이고 모든 에너지는 운동에너지로 전환될 것입니다
그리고 물체는 서서히
느려집니다
그리고 이 과정 전체가 다시 반복됩니다
이 모든 과정이 진행되는 시간을 T
라고 합시다
그럼 시간이 0일때 그리고 우리는 시간이 T일때
이것이 T입니다 이것은 또한 A입니다 그렇죠?
저는 이 물체의 위치를 일부 그래프에 찍어보고자 합니다
그리고 이 물체의 위치를 나타내는 함수를 조금
직관적으로 이해해서 구체적으로 어떤 함수인지 알아보고자 합니다
그럼 이 물체가 여기서 여기까지 이동하는데 T/2 초가
걸립니다 그렇죠?
이곳에서 이곳까지 가는데 걸리는 시간도 동일하고
다시 돌아오는데 걸리는 시간도 동일합니다
즉 T/2 초에서 x좌표는 얼마일까요?
T/2 초에서 블럭은 바로 여기 있을 것입니다
용수철은 이때 여기까지 압축됬을 것입니다
T/2 에서 물체는 여기 있었을 것입니다
그리고 이 사이의 점에 위치한다면 x좌표는
0일 것입니다
이것은 여기와 여기에 있을 것입니다
다행히도 이것은 이치에 맞습니다
이제 우리는 이 물체가 지나는 지점들을 압니다
그럼 함수가 실제로 어떤 형태를 띄는지 알아봅시다
함수가 단지 아래쪽을 향하는 직선 다음에 위쪽을 향하는
직선이 이어지고 다시 위쪽을
향하는 직선을 이어붙인 형태일까요?
그것은 이치에 맞지 않을 것입니다 생각해봅시다 만약 아래쪽을 향하는 직선이라면
그것은 x좌표의 변화가 그래프가 아래쪽을 향하는 동안 계속
일정하다는 의미입니다
조금 다른 방법으로 생각해보면
물체는 일정한 속도을 가질 것입니다 그렇죠?
그럼 과연 물체는 계속 일정한 속도를 가질까요?
그렇지 않습니다
우리는 이 점에서 물체의 속력이 아주 크다는 사실을
알고 있습니다 그렇죠?
물체는 매우 큰 속력을 가집니다
그리고 우리는 이점에서 물체의 속력이 매우 작다는 사실을 압니다
그럼 이 물체는 주기 내내 가속하고 있습니다
그리고 사실 조금 더 생각해보면 물체는
속력이 감소하게 가속합니다
하지만 어쨋든 물체는 주기 내내 가속합니다
구체적으로는 가속한다음 감속하는
과정이 계속 이어집니다
그러므로 x좌표의 변화량은 일정하지 않습니다
즉 지그재그 형태의 각진 그래프는 나오지 않습니다
그리고 물체는 계속 여기를 향하고 결국 여기에 도달할 것입니다
그럼 무엇이 일어나고 있을까요?
물체가 처음 가속하면 아주 느립니다
x의 변화량은 아주 작습니다
그리고 서서히 가속합니다
그리고 이 지점에 도달한 뒤부터는 서서히
감속합니다
이 지점에 도달할때 속력은 정확하게 0이 됩니다
즉 x좌표의 변화량 또는 기울기가 0이 됩니다
그리고 물체는 다시 뒤쪽으로 가속합니다
그리고 속력은 다시 점차적으로 빨라집니다
이 지점에서는 매우 빠를 것입니다
그리고 이 지점에서부터 느려집니다
이 지점은 그래프의 어떤 점과 대응할까요?
물체는 다시 A에 돌아왔습니다
이 지점에서 물체의 속력은 다시 0입니다
그러므로 x톼표의 변화량은 0입니다
그리고 물체는 다시 가속하기 시작합니다
그래프의 기울기는 계속 증가합니다
이 지점에서 물체는 가장 큰 운동에너지를 가집니다
그리고 물체의 속력은 감소하기 시작합니다
그리고 아셔야 할 것은 이곳에서 그래프의 기울기는 0이라는 것입니다
이것은 이 지점에서 물체는 운동에너지를
가지지 않는다는 것입니다
그리고 물체는 다시 이동합니다
계속 이동합니다
그럼 그래프는 결국 어떤 형태일까요?
사실 아직 정확한 증명은 하지 않았습니다만
형태를 보면 이 함수는 삼각함수와
대단히 비슷하게 생겼다는 것을 알 수 있습니다
그리고 삼각함수중에 한가지를 고른다면 Cos함수를 고르겠습니다
어째서일까요?
왜냐하면 Cos함수는 x가 0일때 여기 적도록 하죠
Cos(0) = 1입니다 그렇죠?
t가 0일떄 이 함수의 값은 A입니다
그러면 이 함수는 마치 A Cos 과 같은 형태이고
그냥 변수 오메가와 t를 쓰겠습니다
그리고 아마도 함수는 이런 형태일 것입니다
그리고 이 함수가 실제로 그렇다는 것을
증명할 것입니다
이제 증명을 시작할 것이니 겁먹지
마십시오
그럼 한번 어떻게 오메가를 구할 수 있을지 생각해봅시다
오메가는 아마도 물체의 질량과
용수철의 탄성계수의
함수일 것입니다 하지만 확실하지는 않습니다
그럼 무엇을 알 수 있는지 보도록 하겠습니다
이제부터 저는 약간의 미분적분학을 사용하도록 하겠습니다
사실은 상당한 미적분학입니다
그리고 미분방정식도 조금 쓸 것입니다
아마도 이것은 여러분이 보는 첫 번째 미분방정식일 것입니다
즉 이것은 여러분의 인생에 있어 중대한 기회입니다
하지만 일단은 그냥 풀어보죠
혼란되기 싫으시다면 눈을 감으십시오 아니면
미분이 무엇인지 알때까지 미분적분학에 대한 강의를
듣고 오시는 것이 좋습니다
자 그럼 일단 이 간단한 식을 적어봅시다 또는 우리가 아는
방식으로 식을 재구성해 봅시다
힘의 정의는 무엇일까요?
힘은 질량 곱하기 가속도입니다 그렇죠?
그럼 우리는 훅의 법칙을 일단 색을 조금 바꾸겠습니다
질량 곱하기 가속도는 마이너스 용수철 상수
곱하기 변위입니다 그렇죠?
그리고 저는 변위를 시간의 함수로 나타내겠습니다
여러분이 기억하기 쉽도록요
우리는 x 즉 변위가 독립변수라는 것에 너무나도 익숙해서 제가
x를 t의 함수로 쓰지 않으면 굉장히 혼란스러울 것입니다
여러분은 x가 독립변수라고 생각하셨을 것입니다
아닙니다
우리가 알려고 하는 이 함수에 대해서 알고자 하는 것은
시간에 대해서 어떤일이 일어나는가를 알고 싶은 것입니다
그러니 사실 매게변수 방정식에 대한 좋은
복습이 될 것입니다
이제부터 미분적분학에 본격적으로 들어갑니다
가속도란 무얼일까요?
만약 물체의 현 위치를 x라고 한다면 물체의 위치는
x의 t에 대한 함수입니다 그렇죠?
약간의 시간을 흘리고, 그 이후 x좌표가 어떻게 변하는지 알아봅시다
이것이 물체의 위치입니다
물체의 속력은 어떨까요?
물체의 속력은 이것의 미분값입니다 그렇죠?
임의의 위치에서 물체의 속력은 이 함수의
미분값이 될 것입니다
바로 이 함수의 t에 대한 변화율입니다
그러므로 저는 t에 대한 x의
계산합니다
그리고 저는 이것을 dx, dt로 적을 것입니다
그럼 가속도는 어떻게 될까요?
가속도는 속도의 변화율입니다
그렇죠?
그러므로 이 값의 미분값이 될 것입니다
또 다른 식으로 말하자면
위치함수의 이계도함수를 취하는 것과 같다고 할 수 있습니다
즉 이 상황에서 가속도는 이렇게도 쓸 수 있는데
저는 그냥 여러분에게 여러가지 표기를 보여드리는 것입니다
t에 대한 x 프라임 프라임
t에 대한 x의 이계도함수
이것들은 그냥 표기법일 뿐입니다 dt제곱 분의
d제곱 x
이것이 이계미분입니다
이런 시간이 다되었군요
다음 비디오에서 뵙겠습니다
Vamos ver se conseguimos usar aquilo que sabemos à respeito de molas para
ter uma pequena intuição de como
a mola se move com o tempo.
Com sorte aprenderemos um pouco
sobre o Movimento Harmônico.
Nós iremos até entrar um pouco no mundo
das equações diferenciais.
E não fique assustado quando chegarmos lá.
Ou então apenas feche os olhos quando chegarmos lá.
Enfim, eu desenhei uma mola, como eu tenho feito
nos meus outros vídeos.
O "0", esse ponto na abscissa x, é onde a mola
se encontra em seu estado natural.
E nesse exemplo nós temos o bloco de massa "m"
conectado à mola.
Eu estiquei a mola.
Eu essencialmente a puxei.
Para que o bloco esteja agora no ponto "A".
Então, o que irá acontecer nesse modelo?
Como sabemos, a força elástica da
mola é igual a menos alguma
constante vezes a posição x.
Com a posição x começando em A.
Então, inicialmente a mola irá
para trás, certo?
A mola irá voltar para a esquerda.
Irá ganhar mais e mais e mais e mais velocidade.
E nós sabemos que neste ponto, o bloco possui
muita energia potencial
Neste ponto, quando o bloco estiver no seu estado
natural, ele terá muita velocidade e muita energia
cinética, e muito pouca energia potencial.
Mas o bloco continuará se movendo e irá
comprimir a mola ao máximo até que toda
a energia cinética se torne energia potencial de novo.
Então o processo irá recomeçar de novo.
Veremos se conseguimos uma intuição de como o "x"
ficará em função do tempo.
Nossa meta é descobrir x(t), x em função do tempo.
Essa será nossa meta neste vídeo e
provavelmente no próximos
Vamos tentar ter uma intuição do que está acontecendo aqui.
Deixe-me transformar o x em função do tempo em um gráfico.
Para que o tempo seja a variável independente.
Começarei igualando o tempo a 0.
Essa será a abscissa do tempo.
Deixe-me desenhar a abscissa x.
Isso deve ser um pouco estranho para você, eu estar desenhando a
abscissa x na vertical, mas é por que x é a
variável dependente nessa situação
Essa é a abscissa x, muito diferente.
Ou nós poderíamos apenas dizer x de t, para que você saiba que x está em função
do tempo, x de t.
E nesse modelo que eu desenhei aqui, este é o local onde
o tempo se iguala a 0, certo?
Então aqui é o 0.
Deixe-me trocar a cor.
Quando o tempo for igual a 0, qual é a posição x do bloco?
Vejamos, a posição x é A, certo?
Então se eu desenhar isto, isto será A.
Bom, vou desenhar a linha aqui.
Pode acabar se tornando útil.
Isto é A
E isso será... vou tentar faze-las relativamente
parecidas... isso é A negativo.
Isso é menos A.
Quando t se iguala a 0, onde é isso?
Bom, é em A
Então é aqui onde fica, certo?
Vamos fazer algo interessante.
Vamos definir o Período
Escrevemos o período com um T maiúsculo.
Dizemos que o período é quanto tempo o bloco leva para ir
desta posição.
O bloco vai acelerar, acelerar, acelerar,
acelerar.
Estará muito rápido neste ponto, com toda sua energia cinética.
Então começa a brecar, brecar, brecar,
brecar.
Então realiza isso tudo de novo para o outro lado.
Vamos dizer que T é o tempo que o bloco leva para realizar
esse processo, ok?
No tempo 0, nós sabemos que no tempo T--
esse é o tempo T-- também estará em A, correto?
Só estou colocando no gráfico alguns pontos que eu sei dessa
função e vendo se consigo ter alguma intuição de como
essa função será.
Se leva T segundos para o bloco ir e voltar, levará
T sobre 2 segundos para chegar aqui, ok?
O mesmo tempo que levou para chegar aqui é também
o mesmo tempo que levará para voltar.
Em T sobre 2 qual será a posição x?
Bom, em T sobre 2, o bloco estará aqui.
Ele terá comprimido ao máximo a mola.
Então em T sobre 2 estará aqui.
E no meio de T/2 e T, estará o ponto onde x
se iguala a 0, ok?
Será aqui e aqui.
Espero que isso faça sentido.
Agora que sabemos esses pontos.
Vanos pensar em como a função deve ser.
Será apenas uma linha reta para baixo e então
uma linha reta para cima, e para baixo e
para cima
Isso implicaria-- pense sobre isso-- se tivermos uma linha
para baixo toda hora, isso significa que teríamos um
troca constante do valor de x.
Pensando de outra maneira, nós teríamos
uma velocidade constante, certo?
Nós temos uma velocidade constante durante esse processo?
... Não.
Nós sabemos que neste ponto o bloco está a uma
alta velocidade certo?
Temos uma velocidade muito alta.
Sabemos também que neste ponto o bloco tem uma velocidade baixa
O bloco está acelerando constantemente.
E se pensarmos melhor, o bloco está
desacelerando.
Mas está acelerando constantemente.
Então está acelerando e desacelerando o
tempo todo.
Isso nos diz que o valor de x não é constante então não teremos
um padrão em zig-zag, certo?
Esse padrão continua, então teremos pontos aqui e aqui.
Então o que temos?
Quando começa o bloco está bem devagar.
A mudança do valor de x é lenta.
Então ele começa a acelerar.
Então, quando chega neste ponto, bem aqui, começa a
desacelerar.
Neste ponto a velocidade será exatamente 0.
A mudança de valor então será 0.
Então começa a acelerar de novo.
A velocidade mais e mais alta.
Estará realmente rápido nesse ponto.
Então começa a desacelerar a partir daqui.
Então neste ponto, a que este ponto corresponde?
O bloco voltou para A.
Neste ponto a velocidade é 0 novamente.
Então a mudança de x é 0.
Então começa a acelerar de novo.
Sua velocidade aumenta, aumenta e aumenta
Esse é o ponto onde a energia cinética atinge seu ápice.
Então a velocidade começa a cair de novo.
Perceba que aqui sua velocidade é 0.
Isso significa que não há energia cinética
nesses pontos.
E o ciclo continua.
E vai e vai e vai e vai e vai e vai.
Com o que se aprece agora?
Eu não provei a você isso, mas de todas as
funções que tenho em meu repertório, essa parece muito
com uma terrível função trigonométrica.
E se eu escolhesse uma, escolheria a cosseno.
Por que?
Porque quando o cosseno é 0-- Vou escrever aqui--
cosseno de 0 é igual a 1, certo?
então quando t se iguala a 0, essa função é igual a A.
Então essa função irá parecer com algo como A vezes cosseno
de-- eu vou usar a variável omega t-- irá parecer
com alguma coisa assim.
E aprenderemos que parece exatamente
com isso.
Mas eu quero provar para você, então não
acredite apenas na minha palavra.
Vamos descobrir como podemos descobrir o que é w.
É provavelmente em função da massa do bloco e
provavelmente em função da constante k
da mola, mas não tenho certeza.
Veremos o que conseguimos descobrir.
Agora vou usar um pouco de cálculo.
Na realidade, uma boa quantidade de cálculo
Nós vamos até ver equações diferenciais.
Essa é provavelmente a 1ª equação diferencial que
você vê na sua vida, é uma ocasião especial.
Mas… vamos em frente.
Feche os olhos se não quer ficar confuso, ou vá
assistir os vídeos de cálculo para saber o que é uma
derivada.
Vamos escrever essa, aparentemente simples, equação ou vamos
reescrevê-la da maneira que sabemos.
Qual a definição de força?
Força é igual a massa vezes a aceleração, certo?
Podemos reescrever a lei de Hooke como-- deixe me trocar a cor--
massa vezes a aceleração é igual a menos a constante da mola
vezes a posição, correto?
Eu vou escrever a posição em função de t,
para você lembrar.
Nós estamos tão acostumados com x sendo uma variável independente
que se eu não colocar em função de t, pode se tornar confuso.
Você diria, nossa, eu pensava que x era uma variável independente.
Não.
Porque nessa função que queremos descobrir, nós queremos
saber como é o x em função do tempo.
Essa é também uma boa revisão de
equações paramétricas.
É aqui que começamos com o cálculo
O que é aceleração?
Se eu tenho...
Se eu uso a posição x, a posição é igual a x em
função de t, certo?
Eu defino um tempo, e a função me dá o valor de x.
Essa é a posição.
Qual é a minha velocidade?
Bom, minha velocidade é uma derivada disso, certo?
A velocidade, em qualquer ponto, será a
derivada dessa função.
A variabilidade da função em respeito a t.
Então vou usar a variabilidade
em função de t, x em função de t.
Vou escrever isso como dx sobre dt.
E qual é minha aceleração?
Bom, aceleração é a variabilidade
da velocidade, certo?
Então seria a derivada disso.
Ou de uma outra forma, pegando a segunda
derivada da posição, certo?
Nessa situação, a aceleração é igual a, nós
podemos escrever como-- só estou mostrando a você as diferentes
anotações possíveis-- x''em função de t, segunda derivada de x em
função de t.
Ou-- isso são apenas anotações-- d ao quadrado vezes x sobre
dt ao quadrado.
Então essa é a segunda derivada.
Parece que meu tempo está acabando.
Nos vemos em meu próximo vídeo.
Se lembre de tudo o que eu anotei.
Tchau!
Hajde da vidimo, možemo li da iskoristimo ono što znamo o oprugama
da bi izveli intuitivno kako se
opruga kreće vremenom
I valjda ćemo naučiti nešto o harmonijskom oscilovanju.
Čak ćemo zapravo zakoračiti
u svet diferencijalnih jednačina pomalo.
I nemojte se obeshrabriti kad stignemo dotle
ili samo zatvorite oči kad se to desi
U svakom slučaju, nacrtao sam oprugu, kao
što sam to uradio zadnjih par snimaka
I 0, ova tačka ovde na x osi, to je mesto gde
je opruga sama u ravnoteži.
I u ovom primeru, imam masu, masu m,
zakačenu za oprugu.
I istegao sam oprugu.
U suštini povukao sam je.
Tako da se sada masa nalazi na tački A.
Pa, šta će se sada desiti ?
Kao što znamo, sila, povratna sila
opruge, jednaka je minus neka
konstanta, puta položaj x
Položaj x počinje u tački A
Pa, inicijalno, opruga će vući
nazad u ovom pravcu, jel tako ?
Opruga će vući nazad u ovom pravcu.
I biće sve brže i brže i brže
I naučili smo da u ovom trenutku, ona ima
puno potencijalne energije
U ovoj tački, kada se na neki način vrati u ravnotežni
položaj, imaće veliku brzinu i puno kinetičke
energije, ali veoma malo potencijalne energije
Ali tada će inertnost mase nastaviti da se kreće i
sabijaće oprugu sve dok,
kinetička energija nije ponovo prevedena u potencijalnu
Tada će se proces ponoviti.
Pa, hajde da vidimo, možemo li intuivivno zaključiti
kako će izgledati x kao funkcija vremena
Dakle, naš cilj je da odredimo x(t), x kao funkciju vremena.
To će biti naš cilj u ovom snimku i
verovatno nekoliko narednih.
Pa hajde da steknemo intuiciju o tome šta se ovde dešava
Dozvoli mi da pokušam da nacrtam x kao funkciju vremena
Dakle, vreme je nezavisna promenljiva
I počeće u trenutku t = 0.
Dakle, ovo je vremenska osa
Saću da nacrtam x osu
Ovo će možda biti malo neobično, da crtam
x osu vertikalno, ali to je zato jer je x
zavisna promenljiva u ovom slučaju.
Dakle, to je x osa, veoma neobično
Ili možemo da kažemo x(t), samo da bi znali da je x
funkcija vremena
I ovo stanje, koje sam nacrtao ovde, ovo je u trenutku
t=0, jel tako ?
Dakle, ovo je 0.
Dozvoli da promenim boju.
Dakle, u trenutku t=0, koji je položaj x mase m?
Pa x položaj je A.
Pa, nacrtaću ovo, ovo je A.
Zapravo, dozvoli da nacrtam liniju ovde.
To može biti korisno
Ovo je A.
I sada će ovo biti... Pokušavam da ga učinim
relativno.... ovo je negativno A.
To je -A.
Dakle u trenutku t=0, gde je ?
Pa, u A.
Dakle, tu je grafik, jel tako?
Zapravo, hajde da uradimo nešto zanimljivo.
Ajde da definišemo period.
Period ćemo označiti sa velikim T.
Definišimo period kao vreme, koje ke potrebno masi
da ode iz ovog položaja
i onda ubrzava, ubrzava, ubrzava...
ubrzava.
Ide zaista brzo u ovoj tački, sva kinetička energija.
I onda počne da usporava, usporava, usporava...
usporava.
I onda učini taj proces ponovo do početka.
Recimo da je T vreme koji je potrebno
da se desi ceo taj proces.
Dakle, u trenutku 0 danas, i takođe u trenutku T..
ovo je trenutakT.. Takođe će biti u A, jel tako ?
Samo pokušavam da nacrtam neke tačke koje su mi poznate
sa ove funkcije i samo da vidim da li mogu da steknem neku intuciju
o tome kakva bi ova funckija bila analitički.
Dakle, potrebno je T sekundi da ode do tamo i nazad, onda je
potrebno T/2 sekundi da ode tamo, jel tako ?
Isto vreme je potrebno da ode do tamo kao
i da se vrati nazad.
Dakle u trenutku T/2, koji će biti x položaj
Pa u trenutku T/2, telo će biti ovde.
Sabiće oprugu potpuno.
Pa u trenutku T/2, biće ovde.
I onda u tačkama između će biti na
x = 0, jel tako ?
Biće tu, i tu.
Nadam se da to ima smisla.
Tako da sada znamo ove tačke.
Hajde da razmislimo malo o tome kako funkcija zapravo izgleda
Da li će ti biti prava linija na dole, pa prava
linija na gore, pa onda na dole, pa onda
prava linija na gore.
To bi značilo... Razmisli o tome... Ako imamo pravu
liniju na dole, da to celo vreme, je konstantna
brzina promene x vrednosti.
ili drugačiji način posmatranja toga, je
da bi onda imali konstantnu brzinu, jel tako?
Pa, imamo li konstantnu brzinu svo vreme?
Pa, ne.
Znamo da u ovoj tački ovde
brzina veoma velika, jel tako ?
Imamo veoma veliku brzinu.
Znamo da u ovoj tački imamo jako malu brzinu
Dakle, ubrzavamo svo ovo vreme
I zapravo, što više razmišljaš o tome, usporavaš
sve manje i manje.
Ali ubrzavaš svo vreme.
I onda ubrzavaš i usporavaš
svo vreme.
Dakle brzina promene x nije konstantna, dakle
nećeš imati cik-cak oblik, jel tako ?
-
Şimdi bir yayın zaman içinde nasıl hareket ettiğini anlamak için bildiklerimizi kullanabilecek miyiz görelim.
-
Ve harmonik hareket hakkında biraz bilgi edineceğimizi umuyorum.
-
Bunu yaparken diferansiyel denklemleri dahi biraz kullanacağız.
-
Bunu yaparken diferansiyel denklemleri dahi biraz kullanacağız.
-
Her neyse, son birkaç videoda çizdiğim gibi bir yay çizdim.
-
X eksenindeki 0 noktası yayın denge noktasıdır.
-
Bu örnekte, yayın ucuna bağlanmış bir m kütlesi var.
-
Yayı çekip uzattım
-
ve şu an m kütleli cisim A noktasında.
Sizce bu cisme ne olacak?
-
Bildiğiniz gibi geri çağırıcı kuvvet, -K çarpı x e eşittir
ve buradaki K sabit bir sayıdır.
Cisim A noktasından harekete başlıyor.
Başlangıçta yay bu şekilde geri çekilecek, değil mi?
-
Ve daha da hız kazanacak.
Bu noktada, yayda oldukça fazla potansiyel enerji depolandığını biliyorduk.
-
0 noktasında, yani yay denge noktasına geri geldiğinde, oldukça fazla kinetik enerjiye ve hıza sahip olacak
fakat potansiyel enerjisi azalacak.
-
Fakat cismin momentumu, yayın bütün kinetik enerjisi potansiyel enerjiye dönüşene kadar yayı sıkıştıracak.
-
Ve sonrasında aynı süreç baştan başlayacak.
Şimdi x’i zamana bağlı bir fonksiyon olarak yazabilecek miyiz görelim.
-
Yani amacımız, x’i t cinsinden yazmak.
Bu videoda ve muhtemelen bir sonraki videoda bizim amacımız bu olacak.
-
Şimdi burada tam olarak ne olduğuna bir bakalım.
Zamana bağlı bir x grafiği çizeceğim.
Zaman bağımsız bir değişkendir.
Ve zamanın 0 olduğu noktadan başlayacağım.
Bu eksene zaman ekseni diyelim.
Şimdi x eksenini çizelim.
X eksenini dikey çizmem sizin için olağandışı olabilir
fakat bu durumda x ekseni bağımlı bir değişken olduğu için dikey çiziyorum.
-
X eksenimiz bu.
Ya da t ye bağlı x fonksiyonu da diyebiliriz.
-
Zaman 0 iken yay ve cisim çizdiğim durumda oluyor.
-
0 noktası burası.
-- rengi değiştireceğim.--
Zaman 0 iken kütle az önce söylediğim gibi A noktasındadır.
-
Burası A noktası olsun.
X eksenine paralel bir doğru çizeceğim
ve sanırım bu faydalı olacaktır.
-
Ve bu doğru da x eşittir –A doğrusudur.
Bu noktaya da –A noktası diyelim.
-
Zaman 0 iken cisim bildiğiniz gibi A noktasındadır.
-
A noktasını işaretliyorum.
Şimdi ilginç bir şey yapalım
ve periyodu tanımlayalım.
Periyodu büyük T ile göstereceğim.
Periyod, bu cismin A noktasından hızlanarak 0 noktasına gelmesi
-
ve yavaşlamaya başlayarak –A noktasına gelip bütün süreci tekrar ederek A noktasına gelene kadar geçen zamandır.
-
Yani T, bütün sürecin gerçekleşmesi için gereken zamandır.
-
0 zamanında cisim A noktasındadır
ve ayrıca biliyoruz ki zaman T iken cisim yine A noktasında olacaktır.
Ben sadece bildiğim bazı noktaları işaretliyorum
ve böylece bu grafiğin analitik olarak nasıl bir şey olacağını anlamaya çalışıyorum.
-
-A noktasına gidip A noktasına geri dönmek T saniye alıyorsa, -A noktasına gitmek T bölü 2 saniye alır.
-
-A noktasına gitmekle buradan tekrar A noktasına dönmek aynı zamanı alır.
-
Yani T bölü 2 zamanında cisim nerededir?
-
Yay bu noktaya kadar sıkışmış olur
ve T bölü 2 zamanında cisim –A noktasında olacaktır.
-
Ve bu noktaların ortasında da cisim 0 noktasında olacaktır.
-
Umuyorum ki bu size mantıklı gelmiştir.
Şimdi bu noktaları biliyoruz
fakat gerçek fonksiyonun nasıl bir şey olacağı hakkında biraz düşünelim.
-
Grafiği, aşağı doğru düz çizgi ve sonra yukarı doğru düz bir çizgi olarak çizebilir miyiz?
-
Eğer grafiğimiz aşağı doğru düz bir çizgi ise bu demek oluyor ki x değeriniz sabit bir oranla değişir.
-
Ya da diğer bir şekilde düşünürsek sabit bir hıza sahipsiniz demektir.
-
Biz bu zaman içinde sabit bir hıza mı sahibiz?
Hayır!
Biliyoruz ki 0 noktasında hızımız oldukça fazladır.
-
Ve biliyoruz ki A noktasında hızımız çok azdır.
Yani 0 ile A noktası arasında cisim zaman içinde hızlanıyor.
-
Aslında bu konu hakkında biraz daha düşündüğümüzde azalan bir ivmeye sahip olduğumuzu anlarız.
Fakat zaman içinde hızlanıyoruz.
Sonrasında da zaman içinde hız kesip yavaşlıyoruz.
-
Yani x sabit bir oranla değişmiyor
ve bu durumda zikzaklı bir yol izleyemezsiniz, değil mi?
Cisim bir süre sonra tekrar 0 noktasına gelecek ve bu noktayı da işaretliyorum.
-
Harekete başladığınızda çok yavaş gideceksiniz.
Bu durumda X’deki değişim çok yavaştır.
Ve sonrasında hızlanmaya başlarsınız.
Ve bu noktaya geldiğinizde hız kesip yavaşlamaya başlayacaksınız.
-
Bu noktada hızınız tam olarak 0’dır.
Yani değişim oranı ya da eğim 0’dır.
Ve sonrasında geriye doğru hızlanmaya başlayacaksınız.
Hızınız daha da artacak.
Ve bu notada geçekten fazla bir hıza sahip olacaksınız.
Bu noktadan sonra hız kesmeye başlayacaksınız.
Bu nokta A noktasıdır
yani bu durumda başladığınız noktaya geri dönmüşsünüz demektir.
Bu noktada hızınız yeniden 0 olur.
Yani x’ deki değişim oranı 0’dır.
Ve bu noktadan sonra hızlanmaya başlarsınız.
Eğiminiz artar.
Ve bu nokta en yüksek kinetik enerjiye sahip olduğunuz noktadır.
Ve sonra hızınız azalmaya başlar.
Bu noktalarda eğimin 0 olduğuna dikkat edin.
Bu demek oluyor ki bu noktalarda kinetik enerjiye sahip değilsinizdir.
-
Ve bu şekilde harekete devam edersiniz.
-
Sizce bu grafik neye benziyor?
Bunu henüz size ispatlamadım
ama bu grafik bildiğim bütün fonksiyonların arasından trigonometrik fonksiyona benziyor.
-
Ve eğer seçmek zorunda olsaydım, kosinüs fonksiyonunu seçerdim.
Neden?
Çünkü cos(0) 1’ e eşittir
-
ve t, 0 iken bu fonksiyonda A noktasındadır.
Ve bu fonksiyon muhtemelen Acos(wt) fonksiyonuna benziyor. (w: omega)
-
Ve birkaç saniye içinde, çizdiğim grafiğin tam olarak bu fonksiyonun grafiğine benzediğini göreceğiz.
-
Fakat sadece benim söylediklerime bakmayın.
Bunu size kanıtlamak istiyorum.
Şimdi (w) omegayı nasıl hesaplayacağımızı görelim.
Muhtemelen omega, cismin kütlesine ve yay sabitine bağlı bir fonksiyondur
-
fakat bundan tam olarak emin değilim.
-
Şimdi biraz kalkülüs kullanacağım.
-
Ve aslında biraz da diferansiyel denklem kullanacağım.
Bu muhtemelen hayatınızda gördüğünüz ilk diferansiyel denklemdir.
-
Ama biz yine de devam edelim.
-
Eğer kafanızın karışmasını istemiyorsanız türevin ne olduğunu anlayan kadar kalkülüs videosu izleyebilirsiniz.
-
Şimdi bu basit görünen denklemi yazalım ya da bildiğimiz şekilde yeniden yazalım.
-
Kuvvetin tanımı nedir?
Kuvvet, kütle çarpı ivmedir, değil mi?
-
Hooke yasasını, kütle çarpı ivme eşittir – K(yay sabiti) çarpı x şeklinde yeniden yazabiliriz, değil mi?
-
Ve aslında x’i t’ye bağlı bir fonksiyon olarak yazabiliriz.
-
X’in bağımsız bir değişken olmasına alışkınız
ve bu yüzden eğer x’i t’ye bağlı bir fonksiyon olarak yazmasaydım, bu karışıklığa neden olabilirdi.
X’i bağımsız bir değişken olarak düşünmüş olabilirsiniz.
Fakat hayır!
Biz bu fonksiyonun zamana bağlı olarak değerlerini hesaplamak istiyoruz.
-
Bu aslında parametrik denklemlerin güzel bir tekrarı olabilir.
-
İvme nedir?
-
Pozisyonum t’ye bağlı x fonksiyondur, değil mi?
-
Parantez içinde t yazıyorum ve bu fonksiyon benim pozisyonumu veriyor.
-
Sahip olduğum hız ise bu fonksiyonun türevidir.
Herhangi bir noktadaki hızım bu fonksiyonunu türevine eşittir yani t’ye bağlı değişim oranıdır.
-
Yani x fonksiyonunun t’ye göre türevini alacağım.
-
Ve bunu dx, dt şeklinde yazabilirim.
Bu durumda ivme nedir?
İvme, hızdaki değişim oranıdır, değil mi?
-
Yani hızın türevine eşittir diyebilirim
-
ya da başka bir şekilde ifade edersek x fonksiyonunun ikinci türevidir de diyebilirim, değil mi?
-
Bu durumda ivmeyi x’in t’ye göre ikinci türevi şeklinde gösterebiliriz
-
ya da d kare x bölü dt kare şeklinde de yazabiliriz.
-
Zamanım tükeniyor gibi gözüküyor.
Bir sonraki videoda görüşmek üzere.
Yazdıklarımı hatırlayın!
-
我们来看看能否用我们已知的关于弹簧的知识
来对弹簧是如何随时间移动有个直观的了解
希望我们会学习一点关于简谐运动的内容
我们将略微迈入
微分方程的领域
当我们讲到那时不要害怕
或是遇到那样的问题时闭上眼睛吧
那么我已经画了一个弹簧
就像上几集视频中我做过的那样
0 x轴的这一点
那是弹簧自然静止状态的位置
在这个例题中我有一个物块 物块m
附在弹簧上 我要拉伸弹簧
我要拉它
所以物块现在在点A处
那么这个会发生什么呢？
据我们所知 力 弹簧的恢复力
等于负的某个常数 乘以x位置
x位置从A开始
所以最初弹簧要往这个方向拉回 是吧？
弹簧要往这个方向拉回
它变得更快更快更快更快
我们学过在这一点
它有很多势能
在这一点 当它回到它的静止状态时
它会有很大速度和很多的动能
但是势能很少
但它的动量让它继续运动
它要一直压缩弹簧
直到所有动能
都转换回势能
然后这个过程又会开始
我们看看x作为时间的函数会是怎样
能否有个直观了解
我们的目标是画出x和t的关系 x(t)
那会是这集视频中我们的目标
可能下面几集也会讲
我们来直观了解一下这里会发生什么
我试着画出x作为时间的函数
那么时间是自变量
我从时间等于0开始
这是时间轴 我来画时间轴
我要在垂直方向画x轴
这对你来说可能有点不寻常
但那是因为在这种情况中x是因变量
那是x轴 很不寻常
或者我们可以说x(t)
这样你知道x是时间的函数 x(t)
这种情况 这里我已经画好的
这是时间等于0 对吧？
所以这是在0处 我换个颜色
那么在时间等于0处 物块的x位置是什么？
x位置是A 对吧？如果我画这个 这是A
我在那里画条线
那也许会有用的 这是A
然后这会是
我试着让它相对- 这是负A
那是负A
那么当时间t等于0时 它在哪？它在A处
所以这是图线的位置 对吧？
我们来做些有趣的事
我们来定义周期
我用大写T表示周期
假设周期是这么一段时间
这个物块从这个位置出发
它要加速 加速 加速 加速
在这一点会很快 全部变成动能
然后开始慢下来
变慢 变慢 变慢
然后往回一路也是那整个过程
假设T是那整个过程
花费的时间 对吧？
现在在时间0处 我们也知道在时间T时
这是时间T 它也会在A处 对吧？
我要试着画出这个函数中我知道的一些点
看看能不能直观了解一下
这个函数是怎样的
如果到那再回来需要T秒
到这需要T除以2秒 对吧？
到这里花费的时间
也是回来花费的时间
那么在T除以2时 x位置会是什么？
在T除以2时 物块是在这
它一直被压缩到这里
所以在T除以2时 它已经到这
然后在之间的点
它是在x等于0处 对吧？它在那里
希望那讲得通 那么现在我们知道这些点
我们来考虑一下实际函数是什么样的
它会不会就是一条直线下来 然后一条直线上去
然后直线下来 然后一条直线上去
那意味着 想一想 如果
那整个时间都是一条直线下来 那意味着
你的x值的变化率是一个常数
或者另一种考虑方法是
你会有一个恒定的速度 对吧？
这整个时间中我们会有一个恒定的速度吗？
不是
我们知道在这里这个点处
你有一个很高的速度 对吧？
你有一个很高的速度
我们知道在这一点你有一个很低的速度
所以这整个时间中你在加速
实际上 你再考虑多一点
你实际上是以一个减小的加速度加速
但整个时间你是在加速的
然后你在加速
然后这整个时间你在减速
所以实际x的变化率不是常数
所以你不会有一个折线图 对吧？
它会一直到这 然后你会在这有一个点
那么会发生什么呢？
当你出发时 你会很慢
x的变化很慢
然后你开始加速
然后 一旦你到达这一点
就在这 你开始减速
直到这一点 你的速度是0
所以你的变化率 或你的斜率 是0
然后你要开始加速往回
你的速度会变得更快 更快 更快
在这一点它会真的很快
然后在那一点你会开始减速
那么在这一点 这一点对应什么？
你回到了A
所以在这一点你的速度又是0
所以x的变化率是0
现在你要开始加速
你的斜率在增加 增加 增加
这里这是动能最高的点
然后你的速度开始慢下来
这里要注意 这些点处的斜率是0
那意味着在这些点处你没有动能
它继续下去 继续 继续 继续
这个看起来是什么样呢？
我还没有向你证明
但是在我讲过的内容的所有函数中
这个看起来很像一个三角函数
如果我要选一个 我会选余弦 为什么？
因为在这里余弦是0 我要在这把它写下来
0的余弦等于1 对吧？
当t等于0时 这个函数等于A
所以这个函数看上去可能像Acos
我要用变量ω t
它可能看上去像那个 这个函数
我们马上要学习它看上去的确像那个
但是我想证明给你
所以不要只相信我的话
那么我们来想想如何计算ω
它可能是这个物体质量的函数
也可能是弹簧常数的函数
但我不确定 我们来看看能算出什么
现在我要开始涉及一点微积分
实际上 一点微积分
实际我们甚至要接触微分方程
这可能是你一生中见到的第一个微分方程
所以这是一个重大场合
我们继续
如果你不想糊涂就闭上眼睛
或者去看微积分视频
至少那样你会知道导数是什么
我们来写这个看上去很简单的方程
或者用我们知道的方法重写它
力的定义是什么？
力是质量乘以加速度 对吧？
我们可以重新把胡克法则写成 我换个颜色
质量乘以加速度等于负的弹簧常数
乘以位移 对吧？
实际我要把位移写成t的函数
这样你能记住
如果我们太熟悉用x作为自变量
这里我们没有把x作为独立变量 用的是t
可能会糊涂
你可能 我认为x是独立变量 不
因为在这个我们要计算的函数中
我们想知道作为时间的函数发生了什么？
实际上这也许也是对参数方程的
一个很好的复习
这是我们进行微分的地方 加速度是什么？
如果我称位移是x
我的位移等于x 作为t的函数 是吧？
我代入某个时间 它会告诉我x值是多少
那是我的位移 我的速度是多少？
我的速度是这个的导数 对吧？
在任一给定点处 我的速度
是这个函数的导数
这个函数关于t的变化率
所以我要求关于t的变化率 x（t）
我要把那个写成dx dt 然后加速度是什么呢？
加速度就是速度的变化率
对吧？它是这个的求导
或者用另一种方法做 就是
求位移函数的二阶导数 对吧？
在这种情况中 加速度等于
我们可以把它写成 我只是向你展示
所有不同的记法 t(x)的二阶导数
x对t的二阶导数
或者 这些只是符号 d的平方x除以dt的平方
那是二阶导数
好像时间要到了
那么下集视频再见
记住我刚刚写过的