0:00:01.060,0:00:03.366 Καλώς ήρθατε στην παρουσίαση 0:00:03.366,0:00:05.066 για την πρόσθεση και την αφαίρεση αρνητικών αριθμών. 0:00:05.066,0:00:06.380 Ας ξεκινήσουμε λοιπόν! 0:00:06.380,0:00:08.510 Πρώτα απ' όλα, τι είναι ένας αρνητικός αριθμός; 0:00:08.520,0:00:12.080 Ας σχεδιάσω μια γραμμή των αριθμών. 0:00:12.080,0:00:13.295 Δεν είναι πολύ ωραία γραμμή, 0:00:13.295,0:00:15.190 αλλά νομίζω ότι μας κάνει. 0:00:15.190,0:00:18.797 Λοιπόν, έχουμε συνηθίσει να βλέπουμε θετικούς αριθμούς. Αν αυτό είναι το μηδέν... 0:00:18.797,0:00:24.670 έχουμε το 1, το 2, το 3, το 4... 0:00:24.670,0:00:25.686 και πάει λέγοντας. 0:00:25.686,0:00:28.548 Και αν ήθελα να βρω πόσο κάνει το "2+2" 0:00:28.548,0:00:30.780 θα ξεκινούσα από το 2, μετά θα πρόσθετα 2... 0:00:30.780,0:00:31.460 και θα έφτανα στο 4. 0:00:31.460,0:00:32.140 Για τους περισσότερους αυτό είναι πανεύκολο. 0:00:32.150,0:00:33.930 Αλλά αν πας να το σχεδιάσεις στη γραμμή των αριθμών... 0:00:33.930,0:00:36.130 θα έλεγες "2+2=4"/ 0:00:36.140,0:00:38.490 Και αν σε ρωτούσα πόσο κάνει "2-1" 0:00:38.490,0:00:39.840 ή, ας πούμε, πόσο κάνει "3-2" 0:00:39.840,0:00:44.111 Θα ξεκινούσες από το 3 και θα αφαιρούσες 2... 0:00:44.111,0:00:45.658 κι έτσι θα έφτανες στο 1. 0:00:45.658,0:00:51.248 Έτσι έχουμε 2+2=4 και 3-2=1. 0:00:51.248,0:00:52.980 Και αυτά φαντάζομαι είναι εύκολα για σας. 0:00:52.990,0:00:56.990 Τώρα, τι θα γινόταν αν σας ρώταγα πόσο κάνει "1-3"; 0:00:56.990,0:00:58.150 Ε; 0:00:58.150,0:01:00.100 Λοιπόν, είναι το ίδιο πράγμα. 0:01:00.100,0:01:03.847 Ξεκινάς από το 1 και πάμε 1... 0:01:03.847,0:01:06.960 θα πάμε κάτω από το 0. 0:01:06.960,0:01:07.730 Τι συμβαίνει κάτω από το μηδέν; 0:01:07.730,0:01:08.500 Αν πας κάτω από το μηδέν αρχίζεις να είσαι στους αρνητικούς αριθμούς. 0:01:08.510,0:01:14.930 -1,-2,-3 και ούτω καθεξής. 0:01:14.930,0:01:20.909 Έτσι, ας ξεκινήσω από το 1 εδώ. Έχουμε λοιπόν 1-3... 0:01:20.909,0:01:25.610 άρα θα πάω 1,2,3 και θα καταλήξω στο -2. 0:01:25.620,0:01:30.680 Άρα, 1-3=-2. 0:01:30.680,0:01:33.080 Αυτό είναι κάτι που μάλλον το έχετε ήδη δει να γίνεται... 0:01:33.090,0:01:34.729 στην καθημερινή σας ζωή. 0:01:34.729,0:01:37.137 Αν σας έλεγα ότι 0:01:37.137,0:01:39.225 "πω πω, κάνει ψοφόκρυο σήμερα, έχει ένα βαθμό... 0:01:39.225,0:01:40.728 αλλά αύριο η θερμοκρασία θα πέσει άλλους τρεις βαθμούς"... 0:01:40.728,0:01:42.038 ήδη θα ξέρετε μάλλον από μόνοι σας 0:01:42.038,0:01:44.502 ότι θα έχουμε... 0:01:44.502,0:01:46.925 μια θερμοκρασία μείον δύο βαθμών. 0:01:46.925,0:01:48.040 Αυτό σημαίνει λοιπόν ο αρνητικός αριθμός. 0:01:48.040,0:01:51.132 Απλώς να θυμάστε ότι αν ένας αρνητικός αριθμός είναι μεγάλος... 0:01:51.132,0:01:58.090 όπως ας πούμε το -50, αυτό είναι πιο κρύο από το -20, ε; 0:01:58.090,0:02:01.710 Έτσι, το -50 είναι στην πραγματικότητα ακόμα μικρότερος αριθμός από το -20. 0:02:01.710,0:02:04.926 Κι αυτό γιατί είναι πιο μακρυά στα αριστερά από το -20. 0:02:04.926,0:02:07.160 Αυτό είναι κάτι που θα το συνηθίσετε γρήγορα. 0:02:07.170,0:02:08.708 Μερικές φορές μπορεί να αρχίσετε να σκέφτεστε 0:02:08.708,0:02:10.185 "α, το 50 είναι μεγαλύτερος αριθμός από το 20"... 0:02:10.185,0:02:13.860 αλλά εδώ έχουμε το -50 και όχι το 50. 0:02:13.860,0:02:15.306 Ας κάνουμε λοιπόν κάποια προβλήματα. 0:02:15.306,0:02:19.270 Θα συνεχίσω να χρησιμοποιώ τη γραμμή των αριθμών 0:02:19.280,0:02:22.415 γιατί νομίζω ότι μας είναι χρήσιμη. 0:02:22.415,0:02:26.872 Ας λύσουμε το πρόβλημα "5-12". 0:02:26.872,0:02:29.785 Νομίζω ότι ήδη μπορεί να σκέφτεστε... 0:02:29.785,0:02:34.195 με τι ισούται αυτό. 0:02:34.195,0:02:45.144 Αλλά, ας σχεδιάσω μια γραμμή. 0:02:45.144,0:02:53.068 Ας ξεκινήσω με το -10, -9, -8... 0:02:53.068,0:02:58.780 μου φαίνεται δεν θα μου φτάσει ο χώρος... -7,-6,-5... 0:02:58.780,0:03:05.155 θα έπρεπε να το είχα σχεδιάσει από πριν... -4,-3,-2,-1... 0:03:05.155,0:03:12.537 0,1,2,3,4 και θα βάλω εδώ το 5. 0:03:12.537,0:03:14.494 Θα σπρώξω το βέλος προς τα έξω λιγάκι. Ωραία. 0:03:14.494,0:03:15.548 Λοιπόν, 5-12. 0:03:15.560,0:03:18.430 Αν ξεκινήσουμε από το 5 -- ας χρησιμοποιήσω κάποιο άλλο χρώμα -- 0:03:18.430,0:03:20.945 θα ξεκινήσουμε λοιπόν από το 5 εδώ πέρα και θα πάμε 12 θέσεις στα αριστερά.... 0:03:20.945,0:03:22.805 αφού αφαιρούμε 12. 0:03:22.805,0:03:33.870 Πάμε λοιπόν, 1,2,3... 0:03:33.870,0:03:38.262 -7. 0:03:38.262,0:03:39.993 Ενδιαφέρον... 0:03:40.000,0:03:42.789 Γιατί τυχαίνει 0:03:42.789,0:03:45.580 το 12 - 5 να μας κάνει +7. 0:03:45.590,0:03:48.900 Θέλω λοιπόν να σκεφτείτε για λίγο γιατί συμβαίνει αυτό. 0:03:48.900,0:03:52.939 Γιατί η διαφορά μεταξύ του 12 και του 5 είναι 7, 0:03:52.939,0:03:58.918 και η διαφορά μεταξύ... 0:03:58.918,0:04:00.038 εν πάση περιπτώσει συμβαίνει και το ανάποδο. 0:04:00.038,0:04:01.097 Σ' αυτή την κατάσταση λέμε επίσης 0:04:01.097,0:04:03.812 ότι η διαφορά ανάμεσα στο 5 και το 12 είναι -7, 0:04:03.812,0:04:05.162 αλλά οι αριθμοί απέχουν τόσο... 0:04:05.162,0:04:07.496 αλλά τώρα ξεκινάμε με τον μικρότερο αριθμό. 0:04:07.496,0:04:09.538 Νομίζω ότι αυτή η τελευταία πρόταση σας μπέρδεψε εντελώς 0:04:09.538,0:04:11.789 αλλά θα προχωρήσουμε. 0:04:11.789,0:04:18.060 Είπαμε πριν ότι 5-12= -7. 0:04:18.060,0:04:19.434 Ας δούμε άλλο ένα πρόβλημα. 0:04:19.434,0:04:25.843 Πόσο μας κάνει -3+5; 0:04:25.843,0:04:28.050 Ας χρησιμοποιήσουμε την ίδια γραμμή των αριθμών. 0:04:28.060,0:04:31.490 Ας πάμε στο -3 και θα προσθέσουμε πέντε 0:04:31.490,0:04:33.580 Άρα, θα μετακινηθούμε 5 θέσεις προς τα δεξιά. 0:04:33.580,0:04:38.425 Μία, δύο, τρεις, τέσσερις, πέντε. 0:04:38.425,0:04:42.602 Φτάνουμε στο 2. 0:04:42.602,0:04:44.363 Άρα το αποτέλεσμα είναι 2. 0:04:44.363,0:04:48.790 Άρα, -3+5=2. 0:04:48.790,0:04:53.843 Αυτό είναι ενδιαφέρον γιατί και το 5-3 μας κάνει κι αυτό 2. 0:04:53.843,0:04:57.007 Αυτό που συμβαίνει είναι ότι το "5-3" είναι το ίδιο πράγμα, 0:04:57.007,0:05:00.252 είναι απλώς ένας άλλος τρόπος για να γράφουμε το "5 συν -3". 0:05:00.252,0:05:04.050 ή το -3 συν 5. 0:05:04.050,0:05:07.052 Ένας γενικός και εύκολος τρόπος για να αντιμετωπίζετε τους αρνητικούς αριθμούς... 0:05:07.052,0:05:11.640 είναι σαν να είχατε να κάνετε κανονικές προσθέσεις και αφαιρέσεις. 0:05:11.640,0:05:15.456 Αλλά τώρα, όταν αφαιρούμε 0:05:15.456,0:05:18.634 μπορούμε να πάμε και στα αριστερά, κάτω από το 0. 0:05:18.634,0:05:19.826 Ας κάνουμε άλλο ένα πρόβλημα. 0:05:19.826,0:05:21.587 Τι συμβαίνει όταν έχουμε... 0:05:21.587,0:05:27.111 για παράδειγμα, 2 μείον -3; 2-(-3); 0:05:27.111,0:05:30.747 Αν σκεφτείτε πώς θα το λύσουμε, 0:05:30.747,0:05:32.079 νομίζω ότι θα βγάλετε άκρη. 0:05:32.079,0:05:34.135 Αυτό που γίνεται εδώ είναι ότι ο αρνητικός αριθμός... 0:05:34.135,0:05:36.140 τα δύο μείον ακυρώνουν το ένα το άλλο. 0:05:36.140,0:05:40.425 Έτσι, αυτό είναι το ίδιο με το 2 συν +3. 0:05:40.425,0:05:43.050 δηλαδή, 5. 0:05:43.060,0:05:46.305 Ας κάνουμε άλλο ένα. 0:05:46.305,0:05:52.866 Πόσο κάνει -7 μείον -2; 0:05:52.866,0:05:58.010 Αυτό ισοδυναμεί με -7+2. 0:05:58.020,0:06:00.144 Άρα, θυμηθείτε, θα ξεκινήσουμε από το -7... 0:06:00.144,0:06:03.560 και θα μετακινηθούμε 2 θέσεις στα δεξιά. 0:06:03.560,0:06:06.224 Έτσι, αν μετακινηθούμε 1 θέση στα δεξιά θα πάμε στο -6... 0:06:06.224,0:06:11.392 και αν μετακινηθούμε και δεύτερη, θα πάμε στο -5. 0:06:11.392,0:06:13.755 Αυτό βγάζει νόημα γιατί το -7+2... 0:06:13.755,0:06:16.540 είναι το ίδιο με το 2-7. 0:06:16.550,0:06:19.351 Αν έχουμε δύο βαθμούς Κελσίου, και... 0:06:19.351,0:06:22.475 η θερμοκρασία πέσει επτά βαθμούς, θα φτάσει στο -5. 0:06:22.475,0:06:23.230 Ας κάνουμε λίγα ακόμη προβλήματα. 0:06:23.240,0:06:25.253 Όσα περισσότερα προβλήματα λύσετε, τόσο περισσότερο θα εξασκηθείτε... 0:06:25.253,0:06:26.847 και τα σχήματα εδώ το εξηγούν καλά. 0:06:26.847,0:06:29.056 Ίσως καλύτερα απ' ό,τι το εξηγώ εγώ. 0:06:29.056,0:06:31.104 Ας κάνουμε λοιπόν πολλά προβλήματα. 0:06:31.104,0:06:36.473 Αν σας ρώτα λοιπόν πόσο κάνει το -7-3... 0:06:36.473,0:06:39.396 Αυτό που θα κάνουμε είναι να μετακινηθούμε 3 θέσεις στα αριστερά του -7 0:06:39.410,0:06:41.386 Θα έχουμε 3 λιγότερα από -7. 0:06:41.386,0:06:45.420 Άρα θα έχουμε -10, σωστά; 0:06:45.430,0:06:49.055 Αυτό βγάζει νόημα γιατί αν είχαμε να βρούμε το 7+3 0:06:49.055,0:06:50.762 Θα ήμασταν στο 7 στα δεξιά του 0... 0:06:50.762,0:06:52.504 και θα πηγαίναμε 3 ακόμα θέσεις στα δεξιά του μηδέν... 0:06:52.504,0:06:54.538 και θα φτάναμε στο +10. 0:06:54.538,0:06:57.385 Άρα αν είμαστε στο 7 στα αριστερά του 0, και μετακινηθούμε άλλες 3 θέσεις στα αριστερά... 0:06:57.385,0:06:58.680 θα φτάσουμε στο -10. 0:06:58.680,0:06:59.460 Ας κάνουμε κι άλλα προβλήματα. 0:06:59.470,0:07:01.048 Ξέρω ότι μάλλον σας μπερδεύω... 0:07:01.048,0:07:04.218 αλλά η εξάσκηση θα μας βοηθήσει πολύ. 0:07:04.218,0:07:09.118 Ας πούμε ότι έχουμε το 3 μείον -3. 0:07:09.118,0:07:12.360 Τα δύο μείον ακυρώνουν το ένα το άλλο. 0:07:12.360,0:07:14.570 Έτσι το αποτέλεσμα είναι 6. 0:07:14.570,0:07:17.088 Πόσο μας κάνει 3-3; 0:07:17.088,0:07:18.687 Αυτό είναι εύκολο. 0:07:18.687,0:07:20.687 Μας κάνει 0. 0:07:20.687,0:07:23.980 Πόσο μας κάνει -3-3; 0:07:23.990,0:07:26.420 Θα έχουμε 3 λιγότερα από το -3... 0:07:26.420,0:07:28.880 δηλαδή -6. 0:07:28.880,0:07:34.030 Πόσο μας κάνει -3 μείον -3. 0:07:34.040,0:07:35.500 Ενδιαφέρον... 0:07:35.500,0:07:40.790 Τα δύο μείον ακυρώνονται, αλλά έχουμε -3+3. 0:07:40.800,0:07:44.028 Αν ξεκινήσουμε λοιπόν στο 3 στα αριστερά του 0, και μετακινηθούμε 3 θέσεις στα δεξιά... 0:07:44.028,0:07:46.060 θα φτάσουμε ξανά στο 0. 0:07:46.060,0:07:48.240 Βγάζει νόημα έτσι; 0:07:48.250,0:07:49.360 Ας το ξανακάνουμε αυτό το τελευταίο. 0:07:49.370,0:07:53.290 -3 μείον -3. 0:07:53.290,0:07:56.390 Κάθε αριθμός μείον τον εαυτό του μας κάνει μηδέν, έτσι; 0:07:56.390,0:07:57.950 Γι' αυτό και εδώ το αποτέλεσμα είναι 0. 0:07:57.950,0:08:00.868 Και γι' αυτό βγάζει νόημα το ότι 0:08:00.868,0:08:03.183 τα δύο μείον ακυρώνουν το ένα το άλλο. 0:08:03.183,0:08:05.498 Οι δύο αυτοί τρόποι είναι ουσιαστικά το ίδιο. 0:08:05.498,0:08:07.429 Ας κάνουμε λοιπόν κι άλλα προβλήματα. 0:08:07.429,0:08:12.140 Ας κάνουμε το 12 - 13. 0:08:12.140,0:08:13.610 Αυτό είναι σχετικά εύκολο. 0:08:13.620,0:08:17.940 12 - 12 = 0, άρα 12 - 13 = -1. 0:08:17.940,0:08:20.920 Κι αυτό γιατί θα πάμε 1 θέση στα αριστερά του 0. 0:08:20.930,0:08:24.670 Ας κάνουμε το 8 - 5. 0:08:24.670,0:08:27.270 Αυτό είναι ένα απλό πρόβλημα, μας κάνει 3. 0:08:27.270,0:08:29.640 Πόσο μας κάνει 5-8; 0:08:29.640,0:08:31.988 Θα φτάσουμε μέχρι το 0... 0:08:31.988,0:08:35.420 και μετά θα μετακινηθούμε 3 ακόμα θέσεις στα αριστερά του μηδέν. Άρα το αποτέλεσμα είναι -3. 0:08:35.420,0:08:38.500 Θα μπορούσα να σχεδιάσω μια γραμμή των αριθμών εδώ. 0:08:38.500,0:08:43.468 Αν αυτό είναι το 0, αυτό είναι το 5... 0:08:43.468,0:08:47.233 και τώρα θα πάμε 8 θέσεις στα αριστερά... 0:08:47.233,0:08:48.290 κι έτσι θα φτάσουμε στο -3. 0:08:48.300,0:08:49.400 Θα μπορούσατε να το κάνετε αυτό για όλα αυτά τα προβλήματα. 0:08:49.400,0:08:51.770 Θα ήταν μάλιστα μια ωραία άσκηση. 0:08:51.770,0:08:54.113 Νομίζω ότι κάναμε μια ωραία εισαγωγή 0:08:54.113,0:08:56.220 και σας συνιστώ να κάνετε τις πράξεις στο σάιτ... 0:08:56.220,0:08:58.281 γιατί οι πράξεις 0:08:58.281,0:08:58.977 ιδιαίτερα αν δείτε τα κόλπα 0:08:58.977,0:08:59.673 έχουν και ωραία γραφικά. 0:08:59.673,0:09:01.578 Τα γραφικά στο σάιτ είναι πολύ πιο ωραία 0:09:01.578,0:09:03.990 από αυτά που σχεδιάζω σ' αυτόν τον πίνακα. 0:09:03.990,0:09:05.463 Δοκιμάστε το λοιπόν... 0:09:05.463,0:09:07.494 και θα ετοιμάσω και περισσότερες ασκήσεις στο σάιτ... 0:09:07.509,0:09:09.140 που ελπίζω ότι δε θα σας μπερδέψουν πολύ. 0:09:09.140,0:09:10.533 Θα μπορούσατε επίσης να παρακολουθήσετε το σεμινάριο 0:09:10.533,0:09:12.700 με θέμα την πρόσθεση και την αφαίρεση των αρνητικών αριθμών. 0:09:12.700,0:09:14.160 Ελπίζω να το διασκεδάσετε! 0:09:14.160,0:09:15.460 Τα λέμε!