1 00:00:00,730 --> 00:00:04,180 Βρείτε όλους τους παράγοντες του 120. 2 00:00:04,180 --> 00:00:06,160 Ή αλλιώς, βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς... 3 00:00:06,160 --> 00:00:09,650 με τους οποίους διαιρείται το 120. 4 00:00:09,650 --> 00:00:12,040 Ο πρώτος απ' αυτούς είναι ίσως προφανής. 5 00:00:12,040 --> 00:00:14,560 Όλοι οι ακέραιοι διαιρούνται με το 1. 6 00:00:14,560 --> 00:00:21,090 Άρα μπορούμε να γράψουμε ότι το 120 ισούται με 1 x 120. 7 00:00:21,090 --> 00:00:22,990 Ας γράψω μια λίστα με τους παράγοντες εδώ πέρα. 8 00:00:26,530 --> 00:00:28,390 Άρα αυτή θα είναι η λίστα με τους παράγοντές μας. 9 00:00:28,390 --> 00:00:29,900 Βρήκαμε έτσι δύο παράγοντες. 10 00:00:29,900 --> 00:00:31,910 Είπαμε: "διαιρείται με το 1;" 11 00:00:31,910 --> 00:00:33,940 Κάθε ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 1. 12 00:00:33,940 --> 00:00:37,630 Αυτός εδώ είναι ένας ακέραιος, άρα το 1 είναι ένας από τους παράγοντές του, ο μικρότερος. 13 00:00:37,630 --> 00:00:38,490 Το 1 λοιπόν, είναι παράγοντας. 14 00:00:38,490 --> 00:00:40,580 Είναι ο μικρότερος από τους παράγοντες... 15 00:00:40,580 --> 00:00:42,330 και ο μεγαλύτερος είναι το 120. 16 00:00:42,330 --> 00:00:46,580 Δεν μπορούμε να έχουμε κάτι μεγαλύτερο από το 120... 17 00:00:46,580 --> 00:00:49,500 που να διαιρείται ακριβώς με το 120. 18 00:00:49,500 --> 00:00:52,400 το 121 δεν χωρά στο 120. 19 00:00:52,400 --> 00:00:54,710 Άρα, ο μεγαλύτερος παράγοντας στη λίστα μας... 20 00:00:54,710 --> 00:00:57,080 θα είναι το 120. 21 00:00:57,080 --> 00:00:58,470 Ας σκεφτούμε τώρα κι άλλους. 22 00:00:58,470 --> 00:01:02,200 Ας δούμε αν το 2 διαιρείται με το 120... 23 00:01:02,200 --> 00:01:06,910 Μπορούμε να γράψουμε το 120 ως "2 επί κάτι"; 24 00:01:06,910 --> 00:01:09,680 Αν το δείτε,ίσως αμέσως θα αναγνωρίσετε ότι... 25 00:01:09,680 --> 00:01:12,760 το 120 είναι ένας ζυγός αριθμός. 26 00:01:12,760 --> 00:01:15,000 Στη θέση των μονάδων έχει το 0. 27 00:01:15,000 --> 00:01:18,430 Και εφόσον στη θέση των μονάδων βρίσκεται το 0, το 2, το 4, το 6, ή το 8... 28 00:01:18,430 --> 00:01:21,110 εφόσον στη θέση των μονάδων βρίσκεται ένας ζυγός αριθμός, τότε ολόκληρος ο αριθμός είναι ζυγός... 29 00:01:21,110 --> 00:01:23,540 και ολόκληρος ο αριθμός διαιρείται με το 2. 30 00:01:23,540 --> 00:01:26,440 Και για να βρούμε τι θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με το 2 ... 31 00:01:26,440 --> 00:01:33,690 για να βρούμε το 120, μπορούμε να σκεφτούμε το 120 ως "12 x 10"... 32 00:01:33,690 --> 00:01:36,480 ή αλλιώς, ως 2 x 6 x 10... 33 00:01:36,480 --> 00:01:38,890 ή ως 2 x 60. 34 00:01:38,890 --> 00:01:40,340 Θα μπορούσαμε να το διαιρέσουμε όπως θέλουμε. 35 00:01:40,340 --> 00:01:43,690 Θα λέγαμε "ωραία, το 2 χωρά στο 120"... 36 00:01:43,690 --> 00:01:45,420 το 2 δεν χωρά στο 1... 37 00:01:45,420 --> 00:01:47,240 το 2 χωρά στο 12 έξι φορές.... 38 00:01:47,240 --> 00:01:49,270 6 x 2 = 12. 39 00:01:49,270 --> 00:01:50,410 Αφαιρούμε. 40 00:01:50,410 --> 00:01:51,100 Βρίσκουμε 0 41 00:01:51,100 --> 00:01:52,090 Κατεβάζουμε το 0. 42 00:01:52,090 --> 00:01:53,910 Το 2 χωρά στο 0 μηδέν φορές. 43 00:01:53,910 --> 00:01:58,010 0 x 2 = 0 και δεν υπάρχει υπόλοιπο, άρα χωρά... 44 00:01:58,010 --> 00:01:59,430 60 φορές. 45 00:01:59,430 --> 00:02:02,050 Έτσι, βρήκαμε άλλους δύο παράγοντες εδώ. 46 00:02:02,050 --> 00:02:04,420 Άρα έχουμε τους παράγοντες. 47 00:02:04,420 --> 00:02:08,070 Βρήκαμε ότι ο αμέσως μεγαλύτερος από το 1 είναι το 2... 48 00:02:08,070 --> 00:02:10,110 και ο αμέσως μικρότερος από το 120... 49 00:02:10,110 --> 00:02:13,310 θα είναι το 60. 50 00:02:13,310 --> 00:02:14,880 Ας δούμε τώρα το 3. 51 00:02:14,880 --> 00:02:19,780 Ισούται το 120 με "3 επί κάτι"; 52 00:02:19,780 --> 00:02:22,060 Θα μπορούσαμε βέβαια να δοκιμάσουμε να το διαιρέσουμε... 53 00:02:22,060 --> 00:02:24,410 αλλά λογικά ήδη ξέρετε... 54 00:02:24,410 --> 00:02:25,630 τον κανόνα της διαιρεσιμότητας. 55 00:02:25,630 --> 00:02:29,220 Για να βρούμε αν κάποιος αριθμός διαιρείται με το 3... 56 00:02:29,220 --> 00:02:30,910 προσθέτουμε τα ψηφία του και αν το άθροισμα διαιρείται με το 3... 57 00:02:30,910 --> 00:02:32,600 τότε ο αριθμός αυτός μας κάνει. 58 00:02:32,600 --> 00:02:38,540 Έτσι, αν πάρετε το 120... ας το κάνω εδώ πέρα... 59 00:02:38,540 --> 00:02:44,180 1 + 2 + 0 ισούται με 1 +2 που μας κάνει 3 + 0... 60 00:02:44,180 --> 00:02:48,700 δηλαδή 3. Το 3 προφανώς διαιρείται με το 3... 61 00:02:48,700 --> 00:02:52,610 άρα και το 120 θα διαιρείται με το 3. 62 00:02:52,610 --> 00:02:56,050 Για να βρούμε με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 3 για να πάρουμε το 120... 63 00:02:56,050 --> 00:02:57,840 θα μπορούσαμε να το κάνουμε στο μυαλό μας... 64 00:02:57,840 --> 00:03:01,140 θα μπορούσαμε να πούμε ότι το 3 χωρά στο 12 τέσσερις φορές... 65 00:03:01,140 --> 00:03:04,440 και μετά... ας το γράψω, ούτως ή άλλως... 66 00:03:04,440 --> 00:03:06,030 για όσους από εσάς θέλετε να το δείτε γραμμένο. 67 00:03:06,030 --> 00:03:08,090 Το 3 χωρά στο 12 τέσσερις φορές. 68 00:03:08,090 --> 00:03:10,570 4 x 3 = 12 69 00:03:10,570 --> 00:03:11,460 Αφαιρούμε. 70 00:03:11,460 --> 00:03:12,690 Δεν μας μένει τίποτα εδώ. 71 00:03:12,690 --> 00:03:14,680 Κατεβάζουμε αυτό το 0. 72 00:03:14,680 --> 00:03:16,730 το 3 χωρά στο 0 μηδέν φορές. 73 00:03:16,730 --> 00:03:18,940 0 x 3 = 0. 74 00:03:18,940 --> 00:03:20,510 Δεν μας μένει τίποτα. 75 00:03:20,510 --> 00:03:22,077 Άρα χωρά 40 φορές. 76 00:03:24,690 --> 00:03:28,110 Και ο τρόπος να το κάνετε στο μυαλό σας είναι ο ίδιος... 77 00:03:28,110 --> 00:03:29,860 με το να πείτε 12 x 10. 78 00:03:29,860 --> 00:03:34,280 το 12 διά 3 μας κάνει 4... αλλά εδώ έχουμε 4 x 10... 79 00:03:34,280 --> 00:03:35,630 γιατί έχουμε αυτό το 10 που μας μένει. 80 00:03:35,630 --> 00:03:36,740 Όποιος τρόπος σας βολεύει. 81 00:03:36,740 --> 00:03:40,070 Ή αλλιώς μπορείτε να αγνοήσετε το 0, να διαιρέσετε με το 3, να βρείτε το 4 και μετά... 82 00:03:40,070 --> 00:03:41,290 να βάλετε το 0 ξανά εκεί. 83 00:03:41,290 --> 00:03:42,370 Ό,τι σας βολεύει. 84 00:03:42,370 --> 00:03:43,650 Άρα έχουμε δύο ακόμα παράγοντες. 85 00:03:43,650 --> 00:03:50,780 Από χαμηλά έχουμε το 3 και από ψηλά έχουμε το 40. 86 00:03:50,780 --> 00:03:53,600 Ας δούμε τώρα αν το 4 διαιρείται με το 120. 87 00:03:53,600 --> 00:03:57,030 Είδαμε ότι ο κανόνας της διαιρεσιμότητας με το 4 είναι ότι... 88 00:03:57,030 --> 00:03:59,300 αγνοούμε ο,τιδήποτε υπάρχει πέρα από τη θέση των δεκάδων και κοιτάμε μόνο... 89 00:03:59,300 --> 00:04:01,040 τα τελευταία δύο ψηφία. 90 00:04:01,040 --> 00:04:05,700 Άρα, αν θέλουμε να δούμε αν το 4 διαιρείται... 91 00:04:05,700 --> 00:04:07,130 κοιτάμε τα τελευταία 2 ψηφία. 92 00:04:07,130 --> 00:04:09,130 Τα τελευταία δύο ψηφία είναι 20. 93 00:04:09,130 --> 00:04:13,430 Το 20 ξέρουμε ότι διαιρείται με το 4, άρα και το 120... 94 00:04:13,430 --> 00:04:14,220 θα διαιρείται με το 4. 95 00:04:14,220 --> 00:04:16,180 Το 4 λοιπόν θα είναι ένας από τους παράγοντες. 96 00:04:16,180 --> 00:04:19,250 Και για να βρούμε τι θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με το 4 για να πάρουμε το 120... 97 00:04:19,250 --> 00:04:20,100 μπορούμε να το κάνουμε στο κεφάλι μας. 98 00:04:20,100 --> 00:04:23,430 Μπορούμε να πούμε ότι το 12 διά 4 μας κάνει 3, άρα... 99 00:04:23,430 --> 00:04:27,210 120 διά 4 μας κάνει 30. 100 00:04:27,210 --> 00:04:29,890 Άρα έχουμε άλλους δύο παράγοντες: το 4 και το 30. 101 00:04:29,890 --> 00:04:32,670 Και μπορούμε να το διαιρέσουμε κανονικά... 102 00:04:32,670 --> 00:04:35,940 αν θέλουμε να βεβαιωθούμε ότι μας κάνει. Ας προχωρήσουμε όμως. 103 00:04:35,940 --> 00:04:40,750 Είναι το 5 παράγοντας; 104 00:04:40,750 --> 00:04:44,630 "5 επί κάτι" μας κάνει 120; 105 00:04:44,630 --> 00:04:46,750 Πρώτα απ' όλα... 106 00:04:46,750 --> 00:04:48,550 πρέπει να δούμε αν διαιρείται. 107 00:04:48,550 --> 00:04:50,650 Το 120 τελειώνει σε 0. 108 00:04:50,650 --> 00:04:53,400 Αν ένας αριθμός τελειώνει σε 0 ή 5, τότε διαιρείται με το 5. 109 00:04:53,400 --> 00:04:55,340 Άρα το 5 σίγουρα χωρά ακριβώς. 110 00:04:55,340 --> 00:04:56,690 Ας βρούμε λοιπόν πόσες φορές χωρά στο 120. 111 00:04:56,690 --> 00:04:59,575 Το 5 στο 120 λοιπόν. 112 00:04:59,575 --> 00:05:00,830 Το 5 δεν χωρά στο 1. 113 00:05:00,830 --> 00:05:02,750 Χωρά στο 12 δύο φορές. 114 00:05:02,750 --> 00:05:04,780 2 x 5 = 10. 115 00:05:04,780 --> 00:05:05,850 Αφαιρούμε. 116 00:05:05,850 --> 00:05:07,130 Βρίσκουμε 2. 117 00:05:07,130 --> 00:05:08,830 Κατεβάζουμε το 0. 118 00:05:08,830 --> 00:05:11,290 Το 5 χωρά στο 20 τέσσερις φορές. 119 00:05:11,290 --> 00:05:18,620 4 x 5 = 20 και μετά αφαιρούμε... δεν βρίσκουμε υπόλοιπο... 120 00:05:18,620 --> 00:05:21,120 όπως ακριβώς περιμέναμε γιατί χωρά ακριβώς. 121 00:05:21,120 --> 00:05:24,760 Ο αριθμός μας τελειώνει σε 0 ή 5. 122 00:05:24,760 --> 00:05:27,640 Ας τα σβήσω όλα αυτά για να έχουμε χώρο... 123 00:05:27,640 --> 00:05:29,680 για να δουλέψουμε μετά. 124 00:05:29,680 --> 00:05:33,810 Άρα κάτι το 5 x 24 ισούται με το 120, κι έτσι έχουμε άλλους δύο... 125 00:05:33,810 --> 00:05:37,950 παράγοντες: το 5 και το 24. 126 00:05:37,950 --> 00:05:40,400 Ας κάνω λίγο χώρο εδώ... 127 00:05:40,400 --> 00:05:42,510 γιατί νομίζω ότι έχουμε να κάνουμε με πολλούς παράγοντες. 128 00:05:42,510 --> 00:05:45,230 Ας το πάω αυτό εδώ λοιπόν. 129 00:05:45,230 --> 00:05:50,400 Ας το κόψω και μετά ας το βάλω εκεί... 130 00:05:50,400 --> 00:05:53,680 για να έχουμε περισσότερο χώρο για τους παράγοντές μας. 131 00:05:53,680 --> 00:05:55,580 Έτσι, έχουμε το 5 και το 24. 132 00:05:55,580 --> 00:05:58,590 Πάμε λοιπόν στο 6. 133 00:05:58,590 --> 00:06:02,470 Το 120 ισούται με "6 επί κάτι"; 134 00:06:02,470 --> 00:06:05,050 Για να διαιρείται με το 6, πρέπει... 135 00:06:05,050 --> 00:06:07,370 να διαιρείται με το 2 και το 3. 136 00:06:07,370 --> 00:06:09,630 Ξέρουμε ήδη ότι το 120 διαιρείται με το 2 και το 3... 137 00:06:09,630 --> 00:06:12,530 άρα ξέρουμε ότι διαιρείται και με το 6... 138 00:06:12,530 --> 00:06:14,140 και μάλλον μπορούμε να κάνουμε αυτό τον υπολογισμό στο κεφάλι μας. 139 00:06:14,140 --> 00:06:17,300 το 5 ήταν λίγο δυσκολότερο να το κάνουμε στο κεφάλι, αλλά θα μπορούσαμε τώρα να πούμε... 140 00:06:17,300 --> 00:06:21,930 για το 120 ότι το 12 διά 6 μας κάνει 2, και μετά έχουμε... 141 00:06:21,930 --> 00:06:26,140 το 0 εδώ, άρα το 120 διά 6 μας κάνει 20. 142 00:06:26,140 --> 00:06:28,550 Και μετά θα μπορούσαμε να κάνουμε και την κανονική διαίρεση αν θέλαμε. 143 00:06:28,550 --> 00:06:30,925 Άρα το 6 x 20 είναι άλλοι δύο παράγοντες. 144 00:06:33,590 --> 00:06:35,850 Ας δούμε τώρα το 7. 145 00:06:35,850 --> 00:06:37,230 Ας σκεφτούμε αν το 7 μας κάνει. 146 00:06:37,230 --> 00:06:40,490 Το 7 είναι ένας πολύ περίεργος αριθμός και για να δοκιμάσουμε αν μας κάνει... 147 00:06:40,490 --> 00:06:41,900 θα μπορούσαμε να σκεφτούμε άλλους τρόπους να το κάνουμε... 148 00:06:41,900 --> 00:06:45,130 ας δοκιμάσουμε απλώς να διαιρέσουμε το 120 με το 7. 149 00:06:45,130 --> 00:06:46,300 Το 7 δεν χωρά στο 1. 150 00:06:46,300 --> 00:06:48,070 Χωρά στο 12 μία φορά. 151 00:06:48,070 --> 00:06:50,130 1 x 7 = 7. 152 00:06:50,130 --> 00:06:51,020 Αφαιρούμε. 153 00:06:51,020 --> 00:06:53,150 12 - 7 = 5. 154 00:06:53,150 --> 00:06:56,000 Κατεβάζουμε το 0. 155 00:06:56,000 --> 00:06:59,610 7 x 7 = 49, άρα χωρά 7 φορές. 156 00:06:59,610 --> 00:07:01,650 7 x 7 = 49. 157 00:07:01,650 --> 00:07:02,480 Αφαιρούμε. 158 00:07:02,480 --> 00:07:05,820 Έχουμε υπόλοιπο, άρα δεν διαιρείται ακριβώς. 159 00:07:05,820 --> 00:07:07,515 Άρα, το 7 δεν μας κάνει. 160 00:07:10,700 --> 00:07:12,770 Ας δούμε τώρα το 8. 161 00:07:12,770 --> 00:07:15,680 Ας δούμε αν το 8 μας κάνει... 162 00:07:15,680 --> 00:07:17,360 Ας σκεφτούμε το 8... 163 00:07:17,360 --> 00:07:18,850 Θα κάνω την ίδια διαδικασία. 164 00:07:18,850 --> 00:07:26,540 Ας διαιρέσουμε το 120 με το 8. 165 00:07:26,540 --> 00:07:27,890 Ας το δοκιμάσουμε έτσι. 166 00:07:27,890 --> 00:07:29,640 Και ως κόλπο...αλλά καλύτερα... 167 00:07:29,640 --> 00:07:30,270 ας το δοκιμάσουμε έτσι. 168 00:07:30,270 --> 00:07:33,390 Το 8 δεν χωρά στο 1. Το 8 χωρά στο 12... 169 00:07:33,390 --> 00:07:35,500 1 φορά. 170 00:07:35,500 --> 00:07:38,250 1 x 8 = 8. 171 00:07:38,250 --> 00:07:39,240 Αφαιρούμε. 172 00:07:39,240 --> 00:07:41,160 12 - 8 = 4. 173 00:07:41,160 --> 00:07:43,150 Κατεβάζουμε το 0. 174 00:07:43,150 --> 00:07:45,280 Το 8 χωρά στο 40 πέντε φορές. 175 00:07:45,280 --> 00:07:49,190 5 x 8 = 40 και δεν μας μένει υπόλοιπο... 176 00:07:49,190 --> 00:07:49,940 άρα χωρά ακριβώς. 177 00:07:49,940 --> 00:07:53,250 Άρα το 120... ας το σβήσω αυτό... 178 00:07:53,250 --> 00:08:02,630 το 120 ισούται με 8 x 15, άρα ας προσθέσουμε κι αυτά στους παράγοντές μας. 179 00:08:02,630 --> 00:08:09,440 Έχουμε το 8 και το 15. 180 00:08:09,440 --> 00:08:11,920 Τώρα, διαιρείται με το 9; 181 00:08:11,920 --> 00:08:13,870 Διαιρείται το 120 με το 9; 182 00:08:13,870 --> 00:08:16,300 Για να το βρούμε, απλώς προσθέτουμε τα ψηφία του 120. 183 00:08:16,300 --> 00:08:20,430 1 + 2 + 0 μας κάνει 3. 184 00:08:20,430 --> 00:08:24,350 Αυτό αρκεί για να διαιρείται ο αριθμός με το 3... 185 00:08:24,350 --> 00:08:27,320 αλλά το 3 δεν διαιρείται από το 9, άρα... 186 00:08:27,320 --> 00:08:28,700 ο αριθμός μας δεν διαιρείται με το 9. 187 00:08:28,700 --> 00:08:31,380 Άρα το 9 δεν μας κάνει. 188 00:08:31,380 --> 00:08:32,950 Το 9 δεν μας κάνει. 189 00:08:32,950 --> 00:08:34,730 Ας πάμε τώρα στο 10. 190 00:08:34,730 --> 00:08:36,450 Αυτό είναι απλό. 191 00:08:36,450 --> 00:08:39,679 Ο αριθμός μας τελειώνει σε 0, άρα θα διαιρείται με το 10. 192 00:08:39,679 --> 00:08:41,559 Ας το γράψω εδώ κάτω. 193 00:08:41,559 --> 00:08:46,610 120 ισούται με 10 φορές... είναι αρκετά απλό... 194 00:08:46,610 --> 00:08:49,780 με 10 x 12. 195 00:08:49,780 --> 00:08:51,560 Αυτό ακριβώς είναι το 120. 196 00:08:51,560 --> 00:08:53,800 Είναι το 10 x 12... ας γράψω λοιπόν κι αυτούς τους παράγοντες. 197 00:08:53,800 --> 00:08:56,500 10 και 12. 198 00:08:56,500 --> 00:08:58,220 Και τώρα μας μένει ένας μόνο αριθμός. 199 00:08:58,220 --> 00:08:58,740 Το 11. 200 00:08:58,740 --> 00:09:00,440 Δεν χρειάζεται να πάμε πάνω από το 11... 201 00:09:00,440 --> 00:09:02,670 γιατί ήδη φτάσαμε στο 12 και ξέρουμε ότι δεν υπάρχουν άλλοι παράγοντες πάνω απ' αυτό... 202 00:09:02,670 --> 00:09:07,270 γιατί, καθώς πήγαμε από πάνω προς τα κάτω... 203 00:09:07,270 --> 00:09:08,610 συμπληρώσαμε όλα τα κενά. 204 00:09:08,610 --> 00:09:09,830 Θα μπορούσαμε να δοκιμάσουμε το 11. 205 00:09:09,830 --> 00:09:12,040 Θα μπορούσαμε να το κάνουμε με το χέρι, αν θέλουμε. 206 00:09:12,040 --> 00:09:15,370 το 11 χωρά στο 120... τώρα ξέρετε, 207 00:09:15,370 --> 00:09:17,880 αν ξέρετε τους πίνακες της προπαίδειας και του 11 ότι δεν μας κάνει... 208 00:09:17,880 --> 00:09:18,900 αλλά θα σας το δείξω κι εγώ. 209 00:09:18,900 --> 00:09:21,250 Το 11 χωρά στο 12 μία φορά. 210 00:09:21,250 --> 00:09:23,250 1 x 11 = 11. 211 00:09:23,250 --> 00:09:24,630 Αφαιρούμε. 212 00:09:24,630 --> 00:09:26,460 1, κατεβάζουμε το 0. 213 00:09:26,460 --> 00:09:29,010 Το 11 χωρά στο 10 μηδέν φορές. 214 00:09:29,010 --> 00:09:30,960 0 x 11 = 0. 215 00:09:30,960 --> 00:09:33,500 Μας μένει ένα υπόλοιπο 10. 216 00:09:33,500 --> 00:09:36,150 Άρα το 11 χωρά στο 120 δέκα φορές και μένει υπόλοιπο 10. 217 00:09:36,150 --> 00:09:37,900 Άρα σίγουρα δεν χωρά ακριβώς. 218 00:09:37,900 --> 00:09:45,220 Έτσι, έχουμε όλους τους παράγοντες εδώ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8,10... 219 00:09:45,220 --> 00:09:51,260 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, και 120. 220 00:09:51,260 --> 00:09:52,750 Και τελειώσαμε!