Na ulici k tobě někdo přijde a řekne: "2 943".
Rychle! Je to dělitelné devíti? Je to otázka života a smrti!"
A vy můžete říct "To vám docela rychle zjistím,
jestli je to dělitelné devíti, musím jenom sečíst číslice
a zjistit, zda je součet číslic násobkem devíti
nebo jestli je dělitelný devíti."
Pusťme se do toho. 2 plus 9 plus 4 plus 3.
2 plus 9 je 11. 11 plus 4 je 15. 15 plus 3 je 18. A 18 je určitě dělitelné devíti.
Je to tedy dělitelné devíti.
Pokud si nejste jistí, zda je 18 dělitelné devíti,
můžete znovu použít stejné pravidlo.
1 plus 8 se rovná 9. A to je určitě dělitelné devíti.
Takže ten člověk může zachránit svůj život nebo kohokoli jiného díky této informaci.
Možná si teď říkáte, jak je to hezké a užitečné.
Jak je to ale možné? Platí to pro všechna čísla? Nebo jen pro devítku?
Nemyslím si, že to funguje u 8 nebo 7 nebo 11 nebo 17. Proč to funguje u 9?
Ve skutečnosti to funguje i pro 3, ale o tom až v dalším videu.
Abychom to zjistili, musíme jen přepsat 2 943.
Dvojku v 2943 v řádu tisíců můžeme přepsat jako 2 krát 1000.
Devítku na místě stovek zapíšeme jako 9 krát 100.
Čtyřku na místě desítek zapíšeme jako 4 krát 10.
A na závěr tu máme trojku na místě jednotek, zapíšeme 3 krát 1.
Nebo jen 3.
Máme tu doslova 2 tisíce 9 set čtyřicet 3
Každou z těchto částí můžeme přepsat jako součet jedničky a něčeho,
co je dělitelné devíti.
Tisíc můžu přepsat jako 1 plus 999.
Můžu přepsat i stovku jako 1 plus 99.
Stejně přepíšu i desítku jako 1 plus 9.
Takže 2 krát 1000 je to samé jako 2 krát (1 plus 999).
Stejně 9 krát 100 je to samé jako 9 krát (1 plus 99).
4 krát 10 je to samé jako 4 krát (9 plus 1).
A pak tu máme plus 3.
Teď roznásobíme závorky. Víme, že tohle je to samé jako
2 krát 1 je 2 a přičtu 2 krát 999
Druhý člen se rovná 9 krát 1...
...pro ujasnění, jen roznásobuji obě čísla v závorkách u každého členu,
tady to udělám stejně...
Bude to 9 krát 1 plus 9 krát 99.
A teď třetí člen... ...tady jsem zapomněl znaménko...
...roznásobím závorku čtyřkou, tedy 4 krát 1 plus 4 krát 9.
A na závěr tu mám plus 3.
Teď si výraz maličko přeházíme.
Oranžově označím všechny členy, co obsahují devítky ze závorek.
Takže beru tohle, tohle a tohle.
Napíšu je na začátek, mám tedy 2 krát 999 plus 9 krát 99 plus 4 krát 9.
To jsou ty orámečkované členy.
A zbývá mi tu plus 2 plus 9 plus 4 a plus 3.
Všimněte si, že čísla na konci jsou vlastně číslice v našem čísle.
Je to ten samý součet, jako jsme dělali na začátku.
Už asi tušíte, kam to všechno směřuje.
Je oranžová část dělitelná devíti? Určitě je.
999 je určitě dělitelné devíti a i součin potom musí být dělitelný devíti.
První člen tedy je dělitelný devíti.
Druhý je také nesporně dělitelný devíti.
Cokoli násobené devadesátdevítkou, je to dělitelné devítkou.
Protože samotná 99 je dělitelná devítkou.
Takže to sedí a tady to bude stejné.
Vždy násobíme násobkem devíti.
Celý oranžový součet proto zajisté bude dělitelný devíti.
Jediné, co jsme vlastně udělali, bylo přepsání čísla 2943
pomocí desítkové soustavy a pak upravili.
A poté jsme se jen zamysleli nad dělitelností devítkou.
Tady ta část musí být dělitelná devíti.
Aby tedy dané číslo bylo dělitelné devíti, musí být dělitelný devíti i zbytek.
Tohle tedy musí být také dělitelné devíti.