1
00:00:00,690 --> 00:00:02,959
여기 노란색으로 그린 것은 직선입니다

2
00:00:02,959 --> 00:00:04,199
이 직선에 대해

3
00:00:04,199 --> 00:00:05,320
두 가지를 알고 있다고 가정해봅시다

4
00:00:05,320 --> 00:00:08,170
이 직선의 기울기가 m이라는 것과

5
00:00:08,170 --> 00:00:10,170
점 a, b가

6
00:00:10,170 --> 00:00:11,645
이 직선 위에 있다는 것을 알고 있습니다

7
00:00:11,645 --> 00:00:13,900
여기서 풀어볼 문제는

8
00:00:13,900 --> 00:00:16,530
주어진 두 정보를 이용하여

9
00:00:16,530 --> 00:00:20,220
이 직선의 방정식을 구하는 것 입니다

10
00:00:20,220 --> 00:00:21,270
한번 해볼까요?

11
00:00:21,270 --> 00:00:26,050
(x,y) 같은 어떤 점이든, 이 선에 있는 점들은

12
00:00:26,050 --> 00:00:28,110
조건을 만족시켜야 합니다

13
00:00:28,110 --> 00:00:30,170
점 사이에 있는 기울기

14
00:00:30,170 --> 00:00:32,020
이 곳을 (x,y)라고 해봅시다

15
00:00:32,020 --> 00:00:34,120
이 좌표는 이 선 위의 임의의 점이에요

16
00:00:34,120 --> 00:00:36,190
그리고 점이 이 직선 위에 있다고 한다면

17
00:00:36,190 --> 00:00:39,540
(a, b) 그리고 (x, y) 사이의 기울기는

18
00:00:39,540 --> 00:00:42,540
반드시 m이 되어야 합니다

19
00:00:42,540 --> 00:00:45,950
위의 내용을 바탕으로 방정식을 세워볼까요?

20
00:00:45,950 --> 00:00:49,890
(a, b)와 (x, y) 사이의 기울기는 무엇일까요?

21
00:00:49,890 --> 00:00:51,740
기울기가 x의 변화량으로

22
00:00:51,740 --> 00:00:53,400
y의 변화량을 나눈 값이라는 것을
떠올려 보세요

23
00:00:53,400 --> 00:00:54,150
써볼게요

24
00:00:54,150 --> 00:00:58,900
기울기는 Δy/Δx 입니다

25
00:00:58,900 --> 00:01:01,690
이 삼각형은 델타라는 그리스 문자에요

26
00:01:01,690 --> 00:01:03,900
변화량을 나타내는 기호죠

27
00:01:03,900 --> 00:01:05,510
y의 변화량을 살펴 볼까요?

28
00:01:05,510 --> 00:01:11,480
만약 y = b가 시작점이고

29
00:01:11,510 --> 00:01:14,910
여기 임의의 y값을 끝점이라고 한다면

30
00:01:14,910 --> 00:01:20,907
y의 변화량은 (y-b)가 되죠

31
00:01:20,907 --> 00:01:23,130
그래프와 같은 색으로 써볼게요

32
00:01:23,130 --> 00:01:28,170
y - b 는

33
00:01:28,170 --> 00:01:30,860
분자인 x의 변화량 위에 쓰여지죠

34
00:01:30,860 --> 00:01:33,360
같은 방식으로
a를 x의 시작점으로 잡을게요

35
00:01:33,360 --> 00:01:35,150
x의 값을 여기 무작위로 정한

36
00:01:35,150 --> 00:01:36,300
x값까지로 합니다

37
00:01:36,300 --> 00:01:37,460
x값은 어디든 상관없어요

38
00:01:37,460 --> 00:01:41,230
그래서 x의 변화량은 이 끝점인 x와

39
00:01:41,230 --> 00:01:44,000
시작점인 a를 뺀 x - a 가 됩니다

40
00:01:44,000 --> 00:01:45,700
이 기울기가 여기 두 점들 사이의

41
00:01:45,700 --> 00:01:47,320
기울기라는 것을 알고있죠?

42
00:01:47,320 --> 00:01:48,320
선 위의 어느 두 점을 잡든

43
00:01:48,320 --> 00:01:50,310
두 점 사이의 기울기는 항상 같죠

44
00:01:50,310 --> 00:01:52,150
그래서 이 기울기의 값은 m과 같습니다

45
00:01:52,150 --> 00:01:54,950
그래서 이것은 m과 같습니다

46
00:01:54,950 --> 00:01:57,960
여기서 이미

47
00:01:57,960 --> 00:02:00,959
이 직선을 나타낸는 방정식을 세웠습니다

48
00:02:00,959 --> 00:02:03,250
익숙한 형태는 아니지만

49
00:02:03,250 --> 00:02:05,160
이 방정식이 직선의 기울기를 나타냅니다

50
00:02:05,160 --> 00:02:08,130
이 방정식을 만족하는 모든 x, y는

51
00:02:08,130 --> 00:02:09,130
선 위에 있을 겁니다

52
00:02:09,130 --> 00:02:11,670
왜냐하면 이 식을 만족하는 임의의 점인

53
00:02:11,670 --> 00:02:16,460
(x, y)와 좌표 (a,b) 사이의 기울기는

54
00:02:16,460 --> 00:02:21,306
m이 되기 때문이죠

55
00:02:21,306 --> 00:02:24,450
그렇다면, 이것을 다른 형식으로 바꿔볼까요?

56
00:02:24,450 --> 00:02:27,050
알기 쉽게 말이죠

57
00:02:27,050 --> 00:02:29,620
식을 복사해서 붙일게요

58
00:02:29,620 --> 00:02:33,070
이 표현을 쉽게 바꿔봅시다

59
00:02:33,070 --> 00:02:35,660
분모인 x - a 를 없애도록 말이죠

60
00:02:35,660 --> 00:02:39,790
우변과 좌변에 x - a 를 곱해봅시다

61
00:02:39,790 --> 00:02:44,025
양변에 모두 x - a 를 곱하는 거에요

62
00:02:44,025 --> 00:02:47,872
이렇게 좌변에 x - a 를 곱하고

63
00:02:47,872 --> 00:02:53,330
오른쪽에도 x - a 를 곱해봅시다

64
00:02:53,330 --> 00:02:56,460
소괄호를 쳐볼게요

65
00:02:56,460 --> 00:02:58,330
(x - a)를 양변에 곱했습니다

66
00:02:58,330 --> 00:03:02,728
좌변을 보면 (x - a)가 (x - a)로 나뉘었죠?

67
00:03:02,728 --> 00:03:05,026
같은 값끼리 나뉘었으니까
좌변은 1이 됩니다

68
00:03:05,026 --> 00:03:06,270
그리고 우변은

69
00:03:06,270 --> 00:03:07,750
m(x - a) 입니다

70
00:03:07,750 --> 00:03:10,200
이렇게 간단하게 바뀐거죠

71
00:03:10,200 --> 00:03:21,250
y - b = m(x - a) 로 말이죠

72
00:03:21,250 --> 00:03:23,450
이 식은 수학자들이

73
00:03:23,450 --> 00:03:27,850
점-기울기 꼴의 식이라고
분류하였습니다

74
00:03:27,850 --> 00:03:32,150
그래서 이 식은 이 직선에 대한

75
00:03:32,150 --> 00:03:34,970
점-기울기 꼴의 방정식이죠

76
00:03:34,970 --> 00:03:36,230
왜 이 식을 점-기울기 꼴이라고 할까요?

77
00:03:36,230 --> 00:03:38,950
쉽게 확인할 수 있습니다

78
00:03:38,950 --> 00:03:41,950
녹색으로 쓴 m은 직선의 기울기에요

79
00:03:41,950 --> 00:03:44,000
이게 직선의 기울기죠

80
00:03:44,000 --> 00:03:47,310
그리고 여기에 두 점을 써볼게요

81
00:03:47,310 --> 00:03:50,830
만약 점 (a, b)가 이 선 위에 있다면

82
00:03:50,830 --> 00:03:53,070
y-b = m(x - a) 라는 식이 나옵니다

83
00:03:53,070 --> 00:03:55,210
y-b = m(x - a) 라는 식이 나옵니다

84
00:03:55,210 --> 00:03:57,140
왜 이 식이 유용한지

85
00:03:57,140 --> 00:03:58,740
왜 사람들이 이 식을 선호하는지 알아봅시다

86
00:03:58,740 --> 00:04:00,780
이번에는 (a, b) 그리고 기울기 m을

87
00:04:00,780 --> 00:04:01,720
사용하지 않을게요

88
00:04:01,720 --> 00:04:04,260
대신 좀 더 정확하게 써보겠습니다

89
00:04:04,260 --> 00:04:08,904
임의의 직선이 있습니다

90
00:04:08,904 --> 00:04:10,930
기울기가 2이고

91
00:04:10,930 --> 00:04:21,270
점 (-7, 5)를 지난다고 가정합니다

92
00:04:21,275 --> 00:04:26,020
이 정보와 점-기울기 꼴에 대한

93
00:04:26,020 --> 00:04:28,450
정보를 이용해 볼까요?

94
00:04:28,450 --> 00:04:29,930
이와 같은 식으로
나타내기 위해서 말이죠

95
00:04:29,930 --> 00:04:31,060
이렇게 생각할 수 있습니다

96
00:04:31,060 --> 00:04:36,400
점 (-7, 5)를 포함하고
기울기가 2인 방정식이라면

97
00:04:36,400 --> 00:04:39,400
좌변은 y - b = y - 5 가 되겠죠

98
00:04:39,400 --> 00:04:44,500
5가 이 직선 위의 좌표니까요

99
00:04:44,500 --> 00:04:47,730
그래서 y - 5 는

100
00:04:47,730 --> 00:04:55,930
기울기인 2와 (x - a)의 곱이 됩니다

101
00:04:55,930 --> 00:04:58,430
a자리에는 직선 위의 점인
-7이 들어가면 되죠

102
00:04:58,430 --> 00:05:00,240
즉, x - (-7) 이 됩니다

103
00:05:00,250 --> 00:05:03,270
이렇게 기울기가 2이고

104
00:05:03,270 --> 00:05:05,650
이 점을 포함하는

105
00:05:05,650 --> 00:05:07,070
방정식을 완성했습니다

106
00:05:07,080 --> 00:05:09,780
그리고x - (-7) 로 쓰는게 싫다면

107
00:05:09,780 --> 00:05:12,034
x + 7 로 바꿔써도 됩니다

108
00:05:12,034 --> 00:05:13,374
하지만 이것이
점-기울기 꼴의 식의 원리를

109
00:05:13,374 --> 00:05:14,690
가장 잘 알려주는 형태입니다

110
00:05:14,690 --> 00:05:15,730
좀 더 쉽게 바꾸고 싶다면

111
00:05:15,730 --> 00:05:21,730
y - 5 = 2(x + 7) 로 쓸 수 있습니다

112
00:05:21,730 --> 00:05:24,040
또한, 이 식의 형태 뿐만 아니라

113
00:05:24,040 --> 00:05:26,228
이 선에 대한 다른 형태의
방정식들도 있습니다

114
00:05:26,228 --> 00:05:28,770
그 중에서 가장 익숙한 식은

115
00:05:28,770 --> 00:05:30,250
y = ax + b 꼴입니다

116
00:05:30,250 --> 00:05:32,760
이 식도 쉽게
y = ax + b 꼴로 바꿀 수 있어요

117
00:05:32,760 --> 00:05:34,020
2를 분배해줍시다

118
00:05:34,020 --> 00:05:40,240
y - 5 = 2 × 2 + 2 × 7 이 되죠

119
00:05:40,240 --> 00:05:41,510
2 × 7 = 14 입니다

120
00:05:41,510 --> 00:05:44,910
그리고 양변에 5를 더해서

121
00:05:44,910 --> 00:05:47,680
좌변의 -5를 없애봅시다

122
00:05:47,680 --> 00:05:50,740
그러면 좌변에는 y

123
00:05:50,740 --> 00:05:54,250
우변에는 2x + 19 가 남게 되죠?

124
00:05:54,250 --> 00:05:57,360
따라서 이 식은
기울기-절편 꼴의 식이 됩니다

125
00:05:57,360 --> 00:05:58,100
여기 기울기와 y절편이 있죠?

126
00:05:58,100 --> 00:05:59,946
여기 기울기와 y절편이 있죠?

127
00:05:59,946 --> 00:06:02,916
그래서 이것이
기울기-절편 꼴의 식이고

128
00:06:02,916 --> 00:06:05,830
여기 위 식은
점-기울기 꼴의 식이 됩니다