So what I've drawn here in yellow is a line.
And let's say we know two things about this line.
We know that it has a slope of m,
and we know that the point a, b is on this line.
And so the question that we're going to try to answer is,
can we easily come up with an equation
for this line using this information?
Well, let's try it out.
So any point on this line, or any x, y on this line,
would have to satisfy the condition
that the slope between that point--
so let's say that this is some point x, y.
It's an arbitrary point on the line--
the fact that it's on the line tells us
that the slope between a, b and x, y must be equal to m.
So let's use that knowledge to actually construct an equation.
So what is the slope between a, b and x, y?
Well, our change in y-- remember slope is just
change in y over change in x.
Let me write that.
Slope is equal to change in y over change in x.
This little triangle character, that's the Greek letter Delta,
shorthand for change in.
Our change in y-- well let's see.
If we start at y is equal to b, and if we end up
at y equals this arbitrary y right over here,
this change in y right over here is going to be y minus b.
Let me write it in those same colors.
So this is going to be y minus my little orange b.
And that's going to be over our change in x.
And the exact same logic-- we start at x equals a.
We finish at x equals this arbitrary
x, whatever x we happen to be at.
So that change in x is going to be that ending
point minus our starting point-- minus a.
And we know this is the slope between these two points.
That's the slope between any two points on this line.
And that's going to be equal to m.
So this is going to be equal to m.
And so what we've already done here
is actually create an equation that describes this line.
It might not be in any form that you're used to seeing,
but this is an equation that describes
any x, y that satisfies this equation right over here
will be on the line because any x, y that satisfies this,
the slope between that x, y and this point right over here,
between the point a, b, is going to be equal to m.
So let's actually now convert this into forms
that we might recognize more easily.
So let me paste that.
So to simplify this expression a little bit, or at least
to get rid of the x minus a in the denominator, let's
multiply both sides by x minus a.
So if we multiply both sides by x minus a-- so x minus a
on the left-hand side and x minus a on the right.
Let me put some parentheses around it.
So we're going to multiply both sides by x minus a.
The whole point of that is you have x minus a divided by x
minus a, which is just going to be equal to 1.
And then on the right-hand side, you just
have m times x minus a.
So this whole thing has simplified
to y minus b is equal to m times x minus a.
And right here, this is a form that people, that
mathematicians, have categorized as point-slope form.
So this right over here is the point-slope form
of the equation that describes this line.
Now, why is it called point-slope form?
Well, it's very easy to inspect this and say, OK.
Well look, this is the slope of the line in green.
That's the slope of the line.
And I can put the two points in.
If the point a, b is on this line,
I'll have the slope times x minus a is equal to y minus b.
Now, let's see why this is useful
or why people like to use this type of thing.
Let's not use just a, b and a slope of m anymore.
Let's make this a little bit more concrete.
Let's say that someone tells you that I'm dealing with some line
where the slope is equal to 2, and let's say
it goes through the point negative 7, 5.
So very quickly, you could use this information
and your knowledge of point-slope form
to write this in this form.
You would just say, well, an equation that
contains this point and has this slope would be y minus b, which
is 5-- y minus the y-coordinate of the point
that this line contains-- is equal to my slope times x
minus the x-coordinate that this line contains.
So x minus negative 7.
And just like that, we have written an equation that
has a slope of 2 and that contains
this point right over here.
And if we don't like the x minus negative 7 right over here,
we could obviously rewrite that as x plus 7.
But this is kind of the purest point-slope form.
If you want to simplify it a little bit,
you could write it as y minus 5 is equal to 2 times x plus 7.
And if you want to see that this is just one way of expressing
the equation of this line-- there are many others,
and the one that we're most familiar with
is y-intercept form-- this can easily
be converted to y-intercept form.
To do that, we just have to distribute this 2.
So we get y minus 5 is equal to 2 times x plus 2 times 7, so
that's equal to 14.
And then we can get rid of this negative 5 on the left
by adding 5 to both sides of this equation.
And then we are left with, on the left-hand side, y
and, on the right-hand side, 2x plus 19.
So this right over here is slope-intercept form.
You have your slope and your y-intercept.
So this is slope-intercept form.
And this right up here is point-slope form.
Начертал съм една жълта права.
Да кажем, че знаем две неща за тази права.
Знаем, че има ъглов коефициент (наклон) m
и че точката (a; b) лежи на правата.
Въпросът, на който ще опитаме да си отговорим,
е можем ли лесно да намерим уравнение
за тази права, като използваме дадената информация.
Нека опитаме.
Всяка точка от тази права, или всяко (x; y) от правата,
трябва да отговори на условието,
че наклонът между тази точка...
да кажем, че това е точка (x; y) –
произволна точка от правата.
Това, че точката лежи на правата, ни казва, че
наклонът между (a; b) и (x; y) трябва да е равен на m.
Нека използваме този информация, за да съставим уравнение.
Какъв е наклонът между (a; b) и (x; y)?
Припомни си, че ъгловият коефициент (наклонът) е просто
промяната на у върху промяната на х.
Нека запиша това.
Ъгловият коефициент е равен на промяната на у върху промяната на х.
Този малък триъгълник е гръцката буква делта,
с която обозначаваме накратко "промяна в".
Да видим нашата промяна на у.
Ако тръгнем от у = b и стигнем до
това произволно у тук,
тази промяна в у ще е (у – b).
Нека запиша това със същите цветове.
Така, това ще е у минус малкото ми оранжево b.
И това върху промяната на х.
По същата логика, започваме при х = а
и завършваме при х равно на
това случайно х, което сме си избрали.
Значи, промяната в х ще бъде тази крайна тачка
минус началната ни точка, минус а.
И знаем, че това е наклонът между тези две точки.
Това е наклонът между всеки две точки от тази права.
И това ще е равно на m.
Ето какво току-що направихме – съставихме
уравнение, което описва тази права.
Може да не е във вид, с който сте свикнали,
но това е уравнение, което показва,
че всяка точка (x; y), която изпълнява това уравнение,
ще бъде на правата, защото за всяка точка (x; y)
и тази точка тук, (a; b),
ъгловият коефициент ще бъде m.
Нека сега обърнем това във вид,
който ще разпознаем по-лесно.
Ще поставя това.
За да опростя израза малко,
или поне за да се отърва от това (х – а) в знаменателя,
ще умножа двете страни по (х – а).
Тогава имаме (х – а) от лявата
и (х – а) от дясната страна.
Нека сложа скоби тук.
Умножаваме двете страни по (х – а).
Целта е да получим (х – а), делено на
(х – а), което е равно на 1.
И от дясната страна
ще имаме просто m по (х – а).
Всичко това е опростено до
у – b = m(х – а).
Това тук е видът на уравнението, който математиците
наричат уравнение по дадени ъглов коефициент и точка от правата.
Значи това тук е уравнение по дадени ъглов коефициент и точка от правата,
което описва тази права.
А защо се нарича така?
Много е лесно да изследваме това име.
Ето това е ъгловият коефициент (наклонът) m
на правата (в зелено).
Мога да сложа двете точки върху нея.
Ако точка (a; b) лежи върху тази права,
имам ъгловия коефициент по (х – а) е равно на (y – b).
Сега да видим защо това е полезно и
защо хората го използват.
Нека вече не използваме просто (a; b) и ъглов коефициент m.
Нека бъдем малко по-специфични.
Да кажем, че ни е дадено, че имаме права,
чийто ъглов коефициент е 2 и да кажем,
че тя минава през точката (–7; 5).
Много бързо можем да използваме тази информация
и знанието си за уравнение по дадени ъглов коефициент и точка от правата,
за да запишем това в този вид.
Ще кажеш: уравнение, което съдържа тази точка
и има такъв ъглов коефициент е (у – b), което е 5,
у минус координата на точката,
която лежи на правата,
е равно на ъгловия коефициент по х минус координата х на точката, лежаща на правата.
Значи, минус –7.
По този начин сме записали уравнение,
което има ъглов коефициент 2 и което съдържа
ето тази точка.
И ако не ни харесва това х минус –7 тук,
можем да го препишем като х + 7.
Това е най-чистата форма уравнение по дадени ъглов коефициент и точка от правата.
Ако искаме да опростим малко,
можем да запишем като у – 5 = 2(х + 7).
И това е само един начин да изразим
уравнението на тази права – има и много други.
Този, с който сме най-запознати, е
уравнение по дадени ъглов коефициент и точка на пресичане с Оу.
Можем лесно да превърнем това в този вид.
За да го направим, трябва просто да разкрием скобите и да умножим по това 2.
Получаваме у – 5 = 2х + 2 по 7,
което е равно на 14.
И сега можем да се освободим от това –5 отляво,
като добавим 5 към двете страни на уравнението.
И тогава от лявата страна ни остава у,
а от дясната 2х + 19.
Това тук е уравнение по дадени ъглов коефициент и пресечна точка с Оу.
Имаме ъгловия коефициент и пресечната точка с Оу.
Значи това е уравнение по дадени ъглов коефициент и пресечна точка с Оу.
А това горе е уравнение по дадени ъглов коефициент и точка от правата.
To co jsem zde nakreslil žlutě je přímka.
Řekněme, že známe dvě věci o této přímce.
Víme, že má směrnici 'm'
a víme, že bod [a,b] leží na této přímce.
Otázka, na kterou se budeme snažit odpovědět, zní,
zda můžeme snadno přijít na rovnici této přímky pomocí těchto informací.
Zkusme to udělat.
Jakýkoliv bod na této přímce, jakékoliv [x,y] na této přímce
musí splnit tuto podmínku, že směrnice…
Řekněme, že tohle je nějaký bod [x,y].
Je to libovolný bod na přímce.
Fakt, že je na přímce, nám říká, že směrnice mezi [a,b] a [x,y] musí být 'm'.
Využijme znalosti tohoto k sestrojení rovnice.
Jaká je směrnice mezi [a,b] a [x,y]?
No, naše změna v 'y'…
Pamatujte, směrnice je změna v 'y' ku změně v 'x'.
Napišme to.
Směrnice je rovna změně v 'y' ku změně v 'x'.
Tento malý symbol trojúhelníku, to je řecké písmeno delta,
zkratka pro změnu.
Naše změna v 'y'… Podívejme se.
Pokud bychom začali na 'y' je rovno 'b'
a skončili na 'y' je rovno tomuto libovolnému 'y' zde,
tato změna v 'y' zde bude rovna 'y' minus 'b'.
Napíšu to v těch stejných barvách.
Tohle bude 'y' minus mé malé oranžové 'b'.
A tohle bude naše změna v 'x'.
A ten stejný postup - začínáme na 'x' je rovno 'a'.
Končíme na 'x' je rovno tomuto libovolnému 'x',
ať už je to 'x' jakékoliv.
Změna v 'x' bude koncový bod minus počáteční bod…
…minus 'a'.
A víme, že tohle je směrnice mezi těmi dvěma body.
To je směrnice mezi dvěma libovolnými body na přímce.
To se rovná 'm'.
Tohle se bude rovnat 'm'.
A co jsme právě udělali je, že jsme vlastně sestrojili rovnici,
která popisuje tuto přímku.
Nemusí být ve tvaru, na který jste zvyklí,
ale je to rovnice, která popisuje,
že každé [x,y], které splňuje tuto rovnici zde,
bude na této přímce,
protože každé [x,y], které splňuje tohle, že směrnice mezi [x,y] a tímto bodem zde,
mezi bodem [a,b], bude rovno 'm'.
Pojďme to tedy převést do tvarů, které bychom snadněji rozpoznali.
Zkopíruji to.
Abychom to trochu zjednodušili nebo se aspoň zbavili (x minus a) ve jmenovateli,
pojďme vynásobit obě strany (x minus a).
Pokud bychom obě strany vynásobili (x minus a),
tedy (x minus a) na levé straně i na pravé straně rovnice.
Vložím sem kolem toho nějaké závorky.
Vynásobíme obě strany (x minus a).
Celý smysl je, že tady budeme mít (x minus a) děleno (x minus a),
což bude jen 1.
A na pravé straně budeme mít jen m krát (x minus a).
Tohle celé se zjednodušilo na (y minus b) je rovno m krát (x minus a).
A tohle, to je tvar, který lidé, matematici, označují jako
rovnici přímky zadanou bodem a směrnicí.
Tato rovnice je tedy zadána bodem a směrnicí.
Proč se tomu tak říká?
Je velmi snadné to prozkoumat a říct:
„Tohle zeleně je směrnice přímky.
To je směrnice přímky.
A můžu do ní vložit dva body.
Pokud je bod [a,b] na přímce,
mám směrnici krát (x minus a) je rovno (y minus b).“
Teď se podívejme, proč je to užitečné, proč lidé rádi používají tento zápis.
Nepoužívejme už bod [a,b] a směrnici 'm'.
Udělejme to trochu konkrétnější.
Řekněme, že nám někdo řekne, že pracujeme s přímkou,
kde směrnice je rovna 2,
a řekněme, že prochází bodem [-7,5].
Velmi rychle byste mohli využít této informace
a znalosti tvaru rovnice zadané bodem a směrnicí,
abyste to zapsali v tomto tvaru.
Řekli byste:
„Rovnice obsahující tento bod a tuto směrnici
by byla (y minus b), což je 5…
y minus 'y' souřadnice bodu, který leží na přímce.
…je rovno směrnici krát (x minus 'x' souřadnice bodu na přímce),
tedy (x minus -7).“
Takto byste napsali rovnici přímky, která má směrnici 2 a obsahuje tento bod.
Pokud by se nám nelíbilo (x minus -7) zde,
mohli bychom to přepsat na (x plus 7).
Ale tohle je čistý tvar bod-směrnicové rovnice.
Pokud to chcete zjednodušit,
můžete napsat (y minus 5) je rovno 2 krát (x plus 7).
Pokud byste chtěli vidět, že je to jen jiný způsob zápisu rovnice této přímky…
Je mnoho dalších,
ale ten, který známe nejlépe, je tvar s průsečíkem s osou 'y'.
Tohle můžeme snadno převést do takového tvaru.
K tomu musíme roznásobit tuto 2.
Dostaneme (y minus 5) je rovno 2 krát x plus 2 krát 7, takže 14.
A pak se zbavíme -5 nalevo přičtením 5 k oběma stranám rovnice.
Na levé straně nám zůstane 'y'
a na pravé straně 2x plus 19.
Tohle zde je směrnice-průsečíkový tvar rovnice.
Máme směrnici a průsečík s osou 'y'.
Tohle je směrnice-průsečíkový tvar.
A tohle zde je bod-směrnicový tvar.
რაც აქ ყვითლად დავხატე არის წრფე.
ვთქვათ ვიცით ორი რამ ამ წრფეზე.
ვიცით რომ აქვს დახრის კოეფიციენტი m
და ვიცით, რომ a და b წერტილები ამ წრფეზეა.
და კითხვას, რომელსაც უნდა ვუპასუხოთ არის
შეგვიძლია თუ არა შევადგინოთ განტოლება
ამ წრფისთვის მოცემული ინფორმაციის გამოყენებით?
ვცადოთ.
ნებისმიერი წერტილი ამ წრფეზე ან ნებისმიერი x,y წერტილი ამ წრფეზე
უნდა აკმაყოფილებდეს იმ პირობას,
რომ დახრა ამ წერტილებს შორის--
ვთქვათ, ეს რაღაც წერტილია კოორდინატებით x,y
ეს ნებისმიერი წერტილია ამ წრფეზე--
ფაქტი, რომ ის ამ წრფეზეა გვეუბნება, რომ
დახრის სიდიდე a,b და x,y წერტილებს შორის უდრის m-ს.
გამოვიყენოთ ეს ინფორმაცია და შევადგინოთ განტოლება.
ანუ რა არის დახრა a,b და x,y წერტილებს შორის?
y-ის ცვლილება-- გახსოვდეთ, დახრის კოეფიცინეტი
არის y-ის ცვლილება შეფარდებული x-ის ცვლიელბასთან.
მოდით, დავწერ.
დახრის კოეფიციენტი ტოლია y-ის ცვლილება შეფარდებული x-ის ცვლიელბასთან.
ეს პატარა სამკუთხედის სიმბოლო, ბერძნული ასო "დელტა",
ცვლილების შემოკლებაა.
y-ის ცვლიელბა-- ვნახოთ.
დავიწყეთ y უდრის b-დან და ვამთავრებთ
y უდრის ამ რაღაც y-ს აი აქ,
y-ის ეს ცვლილება იქნება y-ს მინუს b.
იმავე ფერებში დავწერ.
ანუ ეს იქნება y მინუს პატარა სტაფილოსფერი b.
და ეს შეფარდებული x-ის ცვლილებასთან.
აბსოლუტურად იგივე ლოგიკით-- დავიწყეთ x უდრის a-ს.
დავამთავრეთ x უდრის ამ რაღაც x-ს,
რაც არ უნდა იყოს x.
ანუ x-ის ცვლილება იქნება ბოლო წერტილს
მინუს საწყისი წერტილი-- მინუს a.
და ვიცით, რომ ეს ამ ორ წერტილს შორის დახრაა.
ეს დახრის სიდიდეა ნებისმიერ ორ წერტილს შორის ამ წრფეზე
და უდრის m-ს.
რაც აქ უკვე გავაკეთეთ
არის ამ წრფის ამსახველი განტოლება.
შეიძლება არ იყოს თქვენთვის ნაცნობი ფორმით,
მაგრამ ეს განტოლებაა, რომელიც ასახავს
ნებისმიერ x,y-ს რომელიც აკმაყოფილებს ამ განტოლებას,
იქნება ამ წრფეზე, რადგან ნებსმიერი x,y რომელიც აკმაყოფილებს ამას
დახრა x,y წერტილსა და ამ წეტილს შორის,
წერტილ a,b-ს შორის, იქნება m-ის ტოლი.
ახლა ისეთი ფორმით ჩავწეროთ,
რომ თქვენ მარტივად იცნოთ.
მოდით, ჩავსვამ
გამოსახულების ოდნავ გასამარტივებლად ან
x მინუს a-ს მოსაშორებლად მნიშვნელში,
მოდით ორივე მხარე გავამრავლოთ x მინუს a-ზე.
თუ ორივე მხარეს გავამრავლებთ x მინუს a-ზე--
ანუ x მინუს a მარცხნივ და x მინუს a მარჯვნივ.
მოდით, ამას ფრჩხილებში ჩავსვამ.
ორივე მხარეს ვამრავლებთ x მინუს a-ზე.
მიზანი ის არის, რომ მიიღეთ x მინუს a შეფარდებული
x მინუს a-ზე, რაც იქნება ერთის ტოლი.
მარჯვენა მხარეს გექნებათ
m-ჯერ x მინუს a.
ეს გამარტივდა და უდრის
y-ს მინუს b უდრის m-ჯერ x-ს მინუს a-ს.
და ეს ფორმა ხალხმა,
მათემატიკოსებმა წრფივი წერტილ- -დახრის განტოლების ფორმულად გამოყვეს.
ანუ ეს არის წრფივი განტოლების ფორმულა,
რომელიც ამ წრფეს აღწერს.
რატომ ქვია მას წრფივი წერტილ-დახრის განტოლების ფორმულა?
ძალიან მარტივია დადგენა და იმის თქმა,
რომ შეხედე, მწვანეთი წრფის დახრაა აღნიშნული.
ეს წრფის დახრაა.
და ორი წერტილის ჩასმა შემიძლია.
წერტილი a,b ამ წრფეზეა, მექნება
დახრის კოეფიციენტი გამრავლებული x-ს მინუს a-ზე უდრის y-ს მინუს b-ს.
ახლა ვნახოთ რატომაა ეს გამოსადეგი
ან რატომ მოსწონს ხალხს ამის გამოყენება.
აღარ გამოვიყენოთ a,b და დახრის m კოეფიციენტი.
უფრო კონკრეტული გავხადოთ.
ვთქვათ, ვიღაც გეუბნებათ, რომ მაქვს რაღაც წრფე,
სადაც დახრის კოეფიციენტი ორია და ვთქვათ,
კვეთს წერტილს კოორდინატებით (-7,5).
ძალიან სწრაფად გამოიყენებთ ამ ინფორმაციას
და თქვენს ცოდნას წრფივი ფუნქციის ფორმულაზე
ამ ფორმის მისაცემად.
იტყვით, რომ განტოლება, რომელიც
შეიცავს ამ წერტილს და აქვს დახრა იქნება y მინუს b, რაც
არის ხუთი-- y მინუს წერტილის y-კოორდინატი,
რომელსაც ეს წრფე შეიცავს-- უდრის დახრა გამრავლებული x-ს მინუს
x- კოორდინატი, რომელსაც ეს წრფე შეიცავს.
ანუ x-ს მინუს უარყოფითი შვიდი.
და ამის მსგავსად დავწერეთ განტოლება,
რომელსაც დახრის კოეფიცინეტი აქვს ორი და
შეიცავს აი ამ წერტილს.
თუ არ მოგვწონს ეს x მინუს უარყოფითი შვიდი,
შეგვიძლია ჩავწეროთ, როგორც x პლუს შვიდი.
მაგრამ ეს წმინდა წრფივი (დახრა-კვეთის) ფუნქციის ფორმაა.
თუ გინდათ ეს ოდნავ გაამარტივოთ,
შეგიძლიათ ჩაწეროთ, როგორც y-ს მინუს ხუთი უდრის ორჯერ x პლუს შვიდს.
და თუ გინდათ ეს ნახოთ, ეს ამ წრფის მხოლოდ ერთ-ერთი
განტოლების გამოსახვის-- კიდევ ბევრი გზაა
და ერთ-ერთი ჩვენთვის ნაცნობია,
y ღერძის კვეთის ფორმულა-- ეს მარტივად შეიძლება
გარდაიქმნას y ღერძის კვეთის ფორმად.
ამისთვის უნდა გადავამრავლოთ ამ ორზე.
მივიღეთ y მინუს ხუთი უდრის ორჯერ x პლუს შვიდი,
ანუ ეს უდრის 14-ს.
შემდეგ მოვიშოროთ ეს მინუს ხუთი მარცხენა მხარეს
განტოლების ორივე მხარეზე ხუთის დამატებით.
და მარცხენა მხარეს გვრჩება y
და მარჯვენა მხარეს ორჯერ x-ს პლის 19.
ანუ ეს არის წრფივი (დახრა-კვეთის) ფუნქციის განტოლება.
გაქვთ დახრა და y ღერძის გადაკვეთის წერტილი.
ანუ ეს წრფივი ფუნქციის დახრა-კვეთის განტოლებაა.
და ეს არის წერტილ-დახრის წრფივი განტოლებაა.
여기 노란색으로 그린 것은 직선입니다
이 직선에 대해
두 가지를 알고 있다고 가정해봅시다
이 직선의 기울기가 m이라는 것과
점 a, b가
이 직선 위에 있다는 것을 알고 있습니다
여기서 풀어볼 문제는
주어진 두 정보를 이용하여
이 직선의 방정식을 구하는 것 입니다
한번 해볼까요?
(x,y) 같은 어떤 점이든, 이 선에 있는 점들은
조건을 만족시켜야 합니다
점 사이에 있는 기울기
이 곳을 (x,y)라고 해봅시다
이 좌표는 이 선 위의 임의의 점이에요
그리고 점이 이 직선 위에 있다고 한다면
(a, b) 그리고 (x, y) 사이의 기울기는
반드시 m이 되어야 합니다
위의 내용을 바탕으로 방정식을 세워볼까요?
(a, b)와 (x, y) 사이의 기울기는 무엇일까요?
기울기가 x의 변화량으로
y의 변화량을 나눈 값이라는 것을 떠올려 보세요
써볼게요
기울기는 Δy/Δx 입니다
이 삼각형은 델타라는 그리스 문자에요
변화량을 나타내는 기호죠
y의 변화량을 살펴 볼까요?
만약 y = b가 시작점이고
여기 임의의 y값을 끝점이라고 한다면
y의 변화량은 (y-b)가 되죠
그래프와 같은 색으로 써볼게요
y - b 는
분자인 x의 변화량 위에 쓰여지죠
같은 방식으로 a를 x의 시작점으로 잡을게요
x의 값을 여기 무작위로 정한
x값까지로 합니다
x값은 어디든 상관없어요
그래서 x의 변화량은 이 끝점인 x와
시작점인 a를 뺀 x - a 가 됩니다
이 기울기가 여기 두 점들 사이의
기울기라는 것을 알고있죠?
선 위의 어느 두 점을 잡든
두 점 사이의 기울기는 항상 같죠
그래서 이 기울기의 값은 m과 같습니다
그래서 이것은 m과 같습니다
여기서 이미
이 직선을 나타낸는 방정식을 세웠습니다
익숙한 형태는 아니지만
이 방정식이 직선의 기울기를 나타냅니다
이 방정식을 만족하는 모든 x, y는
선 위에 있을 겁니다
왜냐하면 이 식을 만족하는 임의의 점인
(x, y)와 좌표 (a,b) 사이의 기울기는
m이 되기 때문이죠
그렇다면, 이것을 다른 형식으로 바꿔볼까요?
알기 쉽게 말이죠
식을 복사해서 붙일게요
이 표현을 쉽게 바꿔봅시다
분모인 x - a 를 없애도록 말이죠
우변과 좌변에 x - a 를 곱해봅시다
양변에 모두 x - a 를 곱하는 거에요
이렇게 좌변에 x - a 를 곱하고
오른쪽에도 x - a 를 곱해봅시다
소괄호를 쳐볼게요
(x - a)를 양변에 곱했습니다
좌변을 보면 (x - a)가 (x - a)로 나뉘었죠?
같은 값끼리 나뉘었으니까 좌변은 1이 됩니다
그리고 우변은
m(x - a) 입니다
이렇게 간단하게 바뀐거죠
y - b = m(x - a) 로 말이죠
이 식은 수학자들이
점-기울기 꼴의 식이라고 분류하였습니다
그래서 이 식은 이 직선에 대한
점-기울기 꼴의 방정식이죠
왜 이 식을 점-기울기 꼴이라고 할까요?
쉽게 확인할 수 있습니다
녹색으로 쓴 m은 직선의 기울기에요
이게 직선의 기울기죠
그리고 여기에 두 점을 써볼게요
만약 점 (a, b)가 이 선 위에 있다면
y-b = m(x - a) 라는 식이 나옵니다
왜 이 식이 유용한지
왜 사람들이 이 식을 선호하는지 알아봅시다
이번에는 (a, b) 그리고 기울기 m을
사용하지 않을게요
대신 좀 더 정확하게 써보겠습니다
임의의 직선이 있습니다
기울기가 2이고
점 (-7, 5)를 지난다고 가정합니다
이 정보와 점-기울기 꼴에 대한
정보를 이용해 볼까요?
이와 같은 식으로 나타내기 위해서 말이죠
이렇게 생각할 수 있습니다
점 (-7, 5)를 포함하고 기울기가 2인 방정식이라면
좌변은 y - b = y - 5 가 되겠죠
5가 이 직선 위의 좌표니까요
그래서 y - 5 는
기울기인 2와 (x - a)의 곱이 됩니다
a자리에는 직선 위의 점인 -7이 들어가면 되죠
즉, x - (-7) 이 됩니다
이렇게 기울기가 2이고
이 점을 포함하는
방정식을 완성했습니다
그리고x - (-7) 로 쓰는게 싫다면
x + 7 로 바꿔써도 됩니다
하지만 이것이 점-기울기 꼴의 식의 원리를
가장 잘 알려주는 형태입니다
좀 더 쉽게 바꾸고 싶다면
y - 5 = 2(x + 7) 로 쓸 수 있습니다
또한, 이 식의 형태 뿐만 아니라
이 선에 대한 다른 형태의 방정식들도 있습니다
그 중에서 가장 익숙한 식은
y = ax + b 꼴입니다
이 식도 쉽게 y = ax + b 꼴로 바꿀 수 있어요
2를 분배해줍시다
y - 5 = 2 × 2 + 2 × 7 이 되죠
2 × 7 = 14 입니다
그리고 양변에 5를 더해서
좌변의 -5를 없애봅시다
그러면 좌변에는 y
우변에는 2x + 19 가 남게 되죠?
따라서 이 식은 기울기-절편 꼴의 식이 됩니다
여기 기울기와 y절편이 있죠?
그래서 이것이 기울기-절편 꼴의 식이고
여기 위 식은 점-기울기 꼴의 식이 됩니다
...
Ово жуто што сам нацртао овде је права.
Рецимо да знамо две ствари везане за праву.
Знамо да има коефицијент правца m
и знамо да је тачка (а,b) на правој.
Питање на које ћемо покушати да одговоримо је
да ли можемо лако да нађемо једначину
ове праве користећи ове податке?
Пробаћемо...
Било која тачка на овој правој, било које (х,у) на правој,
мора да задовољи услове
нагиб између те тачке...
рецимо да је ово тачка (х,у).
То је произвољна тачка на правој...
то што је на правој нам говори
да нагиб између тачке (а,b) и (х,у) мора бити једнак m.
Искористићемо то знање да напишемо једначину.
Колики је нагиб (коефицијент правца) између тачака (а,b) и (х,у)?
Наша промена за у... запамтите да је коефицијент правца
промена за у кроз промена за х.
Записаћу то.
Коефицијент правца је једнак промена за у кроз промена за х.
Овај троугао је грчко слово Делта,
ознака за промену.
Наша промена за у... да видимо.
Ако кажемо да је почетно у једнако b и ако је
крајње у једнако овом произвољном у овде,
ова промена за у ће бити у-b.
...
Написаћу то у истој боји.
Ово ће бити у минус, ово моје мало наранџасто b.
То ће бити b кроз промена за х.
По истој логици... почетно х је једнако а.
Крајње х је једнако произвољном
х, које год то х било.
Дакле, та промена за х ће бити крајња
тачка минус почетна тачка... минус а.
Знамо да је то нагиб између те две тачке.
То је нагиб између две тачке на правој.
То ће бити једнако m.
Оно што смо овде урадили је
да смо написали једначину која описује ову праву.
Можда није у облику који сте навикли да виђате,
али ово је једначина која описује
било које (х,у) које задовољава ову једначину јер
ће бити на правој. Било које (х,у) које задовољава
нагиб између (х,у) и ове тачке овде,
(а,b), ће бити једнако m.
Хајде сада да претворимо ово у облик
који ћете лакше препознати.
Налепићу ово овде.
Како бих поједноставио ово или се бар
отарасио х-а у имениоцу, помножићу
обе стране са х-а.
Ако помножимо обе стране са х-а... х-а
на левој страни и х-а на десној страни.
...
Ставићу овде заграде.
Помножићемо обе стране са х-а.
Све то радимо јер добијете х-а подељено са х
минус а, што ће бити једнако 1.
На десној страни, имате
само m пута х-а.
Све ово је поједностављено
да буде у-b=m(х-а).
А ово је облик који људи,
математичари, препознају као тачка-нагиб облик једначине праве.
Дакле, ово је облик тачка-нагиб облик
једначине праве.
Зашто се тако зове?
Врло лако ћу вам то објаснити.
Ово је нагиб праве написан зеленом бојом.
То је коефицијент правца праве.
Могу да изаберем две тачке са ње.
Ако је тачка (а,b) на тој правој,
добијам нагиб пута х-а је једнако са у-b.
Да видимо зашто је ово корисно
или зашто људи воле да користе овај облик.
Хајде више да не користимо тачку (а,b) и нагиб m.
Хајде на направимо да ову буде конкретније.
Рецимо да вам је неко рекао да ја нешто радим са неком правом,
чији је коефицијент правца 2 и на којој
се налази тачка (-7,5).
...
Врло брзо можете искористити овај податак
и експлицитни облик једначине праве
да напишете ово у овом облику.
Само ћу рећи да једначина која
садржи ову тачку и има овај коефицијент правца гласи у-b, што
је 5... у минус, у-координата те тачке
коју та права садржи... је једнако са мојим нагибом
пута х мниус х-координата која је на правој.
То ће бити х-(-7).
И тако смо написали једначину која има коефицијент
правца 2 и садржи
ову овде тачку.
Ако вам се не свиђа х-(-7) овде,
очигледно је да можемо да напишемо х+7.
Ово је најчистији облик тачка-нагиб једначине праве.
Ако желите да поједноставите мало више,
можете да напишете то као у-5=2(х+7).
Ако желите да видите... ово је један од начина за записивање
једначине праве... постоје и други,
а најпознатији је експлицитни облик
једначине праве... у који можемо
лако ово претворити.
Да бисмо то урадили, помножићемо заграду са 2.
Добијамо у-5 је једнако са 2 пута х плус 2 пута 7,
што је једнако 14.
Можемо да се отарасимо ових -5 са леве стране
тако што ћемо додати 5 на обе стране једначине.
Остало нам је, на левој страни, у
и на десној страни, 2х+19.
Ово овде је експлицитни облик јендачине праве.
Имате коефицијент правца и одсечак на у-оси.
Ово је експлицитни облик јендачине праве.
А ово је је тачка-нагиб облик једначине праве.
நண்பர்களே மீண்டும் இங்கே ஒரு சாய்வு வடிவக் கணக்கு ஒன்றைப் பார்க்கப் போறோம்
இங்கே மஞ்சள் நிறத்தில் கோடு ஒன்றை நீட்டலாம்
இந்தக் கோடு குறித்து இரண்டு அம்சங்களைப் பார்க்கலாம்
இது M என்ற கோட்டின் சாய்வுக் கோடு என்பதை நாம் அறிவோம்
அது மட்டுமல்ல... a மற்றும் b ஆகிய புள்ளிகள் இதில் அமைந்துள்ளது என்பதையும் நாம் அறிவோம்
இதை வைத்து.... நாம் இந்த கேள்விக்கு விடைக்காணப் போகிறோம்....
நாம் இந்த நேரத்தில் ஒரு சமன்பாட்டை நினைவுக்கு கொண்டு வருவோம்..
இந்த கோட்டினை அடிப்படையாக கொண்டு செய்திகளை பயன் படுத்துவோம்
ம்.... சரி இப்போது வெளிக்கொண்டு வந்து விட்டோம்..
X ,Y அல்லது எந்த புள்ளியோ அந்த கோட்டின் மீது இருக்கட்டும்
அது இந்த நிபந்தனையினை நிறைவு செய்தால் போதுமானது
புள்ளிகளுக்கு இடையிலானா சாய்வு
இவற்றை X Y -ன் புள்ளிகள் என எடுத்துக் கொள்ளலாம்
இது கோட்டின் மேலேயுள்ள தொடு புள்ளி
இந்த புள்ளியின் மூலம் நாம் தெரிந்து கொள்வது என்னவெனில்...
A மற்றும் B களுக்கு இடையிலான சாய்வு M ற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதுதான்
இந்த சமன்பாட்டை உருவாக்க நமக்குத் தெரிந்த வாய்ப்பாட்டை பயன்படுத்துவோம்
A B க்கும் XY க்கும் இடையிலான சாய்வு எது?
ஆம்... நமக்கு தெரிந்ததுதான். x ன் மாற்றத்திற்கு ஏற்றவாறு
Y ன் சாய்வில் மாற்றம் நிகழும்
அதை இங்கே எழுதிக் கொள்ளலாம்
x ன் மாற்றத்திற்கு தகுந்தவாறு y ல் ஏற்படும் மாற்றம் சாய்வுக்கு சமம்
இங்கே குறு முக்கோணம் ஒன்று வரைந்து கொள்ளலாம்
அது நமக்கு உதவியாக இருக்கும்
ஒய்’யில் என்ன மாற்றம் நிகழும் என்பதைப் பார்ப்போம்
ஒய்யின் துவக்கம் பி’க்குச் சமம் என்று எடுத்துக்கொண்டும்
தொடுபுள்ளி ஒய்யில் இங்கே இருப்பதாகவும் கருதினால்
ஒய்யில் ஏற்படும் மாற்றம் என்பது இங்கே ஒய் கழித்தல் பி ஆக இருக்கும்
எதிர் பியாக இருக்கும்
அதை வேறு நிறத்தில் குறிப்போம்.
ஒய் கழித்தல் பி என்பதை வேறு நிறத்தில் எழுதிக் கொள்வோம்
இதுதான் எக்ஸ் மீது நிகழவிருக்கும் மாற்றமாக இருக்கப்போகிறது
இதே அடிப்படையில் தான் இங்கே எக்ஸ் எ’க்குச் சமமாக இருக்கும்.
எக்ஸை இங்கே அதன் தொடு புள்ளியில் நிறைவு செய்யலாம்.
எக்ஸின் மாற்றம் என்னவாக இருந்தாலும்
இதுதான் அதன் முடிவுப் புள்ளியாக இருக்கும்.
எக்ஸின் முடிவுப் புள்ளியில் இருந்து தொடக்கப் புள்ளியான எ’யை கழித்துக் கொள்வோம்.
அதுதான் எக்ஸில்.
இந்தக் கோட்டின் எந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கும் இடையிலான சாய்வு ஆகும்.
அது எம்’மிற்கு சமமாக இருக்கும்.
சமஅளவில் இருக்கும்
நாம் இந்தக் கோட்டில் விளக்கியிருப்பது போலவே
அதுதான் இங்கே சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறது
அதற்கென்று குறிப்பிட்ட வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தாமல் போயிருக்கலாம்
ஆனால் இந்தச் சமன்பாடு சாய்வு எம்மிற்குச் சமமாக இருப்பதாகத் தான் கூறுகிறது
எக்ஸ், ஒய் என இரண்டு சமன்பாடும் நமக்கு நிறைவைத் தருகிறது
ஆக இரண்டுமே கோட்டின் மீது தான் இருக்கிறது
சாய்வானது இங்கே எக்ஸ் ஒய்க்கு இடையே இந்தப் புள்ளியில் இருக்கிறது
எ - பி புள்ளிக்கு இடையே எம்மிற்குச் சமமாக இருக்கிறது
இப்போது அதை இந்த வாய்ப்பாட்டிற்குள் கொண்டு வந்தால்
நம்மால் எளிதாகப் புரிந்து கொள்ள முடியும்
அங்கிருப்பதை எடுத்து இங்கே வைத்துக் கொள்வோம்
அதை இன்னும் கொஞ்சம் எளிது படுத்தலாம் அல்லது
இந்த வகுப் பகுதியில் எக்ஸ் கழித்தல் எ’யைக் கண்டு பிடிக்கலாம்.
எக்ஸ் கழித்தல் எ யின் இரண்டு பக்கங்களையும் பெருக்கிக் கொள்ளலாம்
எக்ஸ் கழித்தல் எ’ யைக் கழித்தால் நமக்குக் கிடைப்பது
எக்ஸ் கழித்தல் ஏ... இடது பக்கம் அதேபோல் வலது பக்கம்
பெருக்கும்போது..... இந்த இரண்டிற்கும்
அடைப்புக் குறி போட்டுக் கொள்வோம்
எக்ஸ் கழித்தல் எ’ யை பெருக்கப்போகிறோம்
ஒட்டு மொத்தமாக எக்ஸ் கழித்தல் எயை எக்ஸ் கழித்தல் எ’யை வகுக்கும்போது
நமக்குக் கிடைக்கும் தொகை ஒன்றிற்குச் சமமாக இருக்கும்.
அடுத்து வலது புறத்திலும் நமக்குக் கிடைப்பது
எக்ஸ் கழித்தல் எ என்பது எம்மின் மடங்காகவே இருக்கும்
இப்போது அனைத்தும் எளிமையாகி விட்டது
ஒய் கழித்தல் பி என்பது எக்ஸ் கழித்தல் எ என்பது எம்மின் மடங்காக இருக்கும்.
இந்த வாய்ப்பாட்டை தான் கணக்கியலாளர்கள்
புள்ளிச் சாய்வு வாய்ப்பாடு என்று வகைப்படுத்தி வைத்திருக்கிறார்கள்.
இங்கே இருப்பது புள்ளி - சாய்வு வடிவம்
இது இங்கே கோட்டின் சமன்பாடாக விளங்குகிறது
இது ஏன் புள்ளிச் சாய்வு வாய்ப்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது..?
அதை ஒரு முறை மேலோட்டமாகப் பார்த்து விட்டால் சரி சொல்லி விடலாம்
இது பச்சை நிறத்தில் உள்ள கோட்டின் சாய்வு
இது கோட்டின் சாய்வு
அதற்குள் இரண்டு புள்ளிகளை வைக்கிறேன்
இந்தக் கோட்டில் அதை எ,பி என்று வைத்துக் கொண்டால்
எக்ஸ் கழித்தல் எ ‘ யின் மடங்கு ஒய் கழித்தல் பிக்கு சமமாக இருக்கும்
இது ஏன் சுலபாக இருக்கிறது என்பதைப் பார்க்கலாம்
அல்லது ஏன் இந்த முறையே திரும்பத் திரும்பப் பயன்படுத்துகிறார்கள் என்பதைப் பார்க்கலாம்
நாம் இங்கே எ, பியையோ அல்லது எம்மையோ இங்கே பயன்படுத்தப் போவதில்லை.
அதை மீண்டும் ஒருமுறை உறுதிப்படுத்திக் கொள்வோம்
இந்தக் கோட்டின் சாய்வானது
இரண்டிற்குச் சமமாக உள்ளது. ஒரு கோட்டினை கணக்கிடும் போது
அந்தக் கோடு எதிர் 7 மற்றும் ஐந்து புள்ளி
ஊடாகச் செல்லும். அப்படி எடுத்துக் கொண்டால்
புள்ளிச் சாய்வு வாய்ப்பாட்டு முறையை
நம்மால் விரைவாகப் பயன்படுத்திக் கொள்ள முடியும்
இந்த வடிவத்தில் எழுதிக் கொள்ள வசதியாக இருப்பதை
நம்மால் புரிந்து கொள்ள முடியும்
இந்தப் புள்ளியை உள்ளடக்கிய சமன்பாட்டில் சாய்வானது ஒய் கழித்தல் பி
ஒய் கழித்தல் பி. ஒய் இந்தப் புள்ளிகளை ஒருங்கிணைக்கிறது
இந்தக் கோடு உள்ளடக்கி இருப்பது சாய்வின் அடைப்புக் குறிக்குள் எக்ஸ் கழித்தல் என்பது
இந்த எண்களை எக்ஸ் ஒருங்கிணைப்பதால்
எக்ஸ் கழித்தல் எதிர் ஏழு
ஒரு சமன்பாட்டை சாதாரணமாக எழுதிக் கொள்ளலாம்
இந்தச் சமன்பாடு இரண்டின் சாய்வைக் கொண்டுள்ளது
சாய்வு உள்ளடக்கிய புள்ளி இங்கே உள்ளது
இங்கே உள்ள எக்ஸ் கழித்தல் எதிர் ஏழு நமக்குத் தேவையில்லை என்றால்
அதை எக்ஸ் கூட்டல் ஏழு என்று மாற்றி எழுதிக் கொள்ளலாம்.
ஆனால் இது புள்ளிச் சாய்வு வடிவத்தின் தூய வகையாக இருக்கும்
இதை மேலும் எளிதாக்க வேண்டும் என்றால்
ஒய் கழித்தல் ஐந்து என்பது எக்ஸ் கூட்டல் ஏழின் இரண்டு மடங்கிற்குச் சமம் என்பதாக எழுதிக் கொள்ளலாம்.
நாம் விரும்பினால் இது இன்னொரு வெளிப்பாட்டு முறை
இந்தக் கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுவதற்கு வேறுபல முறைகளும் இருக்கின்றன.
ஒய் குறுக்கு வெட்டு வடிவத்திற்கு
இன்னொரு பரவலான முறையைக் கொண்டு
எளிதாக ஒய் குறுக்கு வெட்டு வடிவமாக மாற்றிக் கொள்ளலாம்
அதைச் செய்து பார்ப்போம்.
Burada sarı renkle bir doğru çizdim.
Bu doğruya ilişkin iki şeyi bildiğimizi düşünelim:
Doğrunun eğiminin m olduğunu ve (a,b) noktasının bu doğru üzerinde bulunduğunu biliyoruz.
Cevaplamaya çalışacağımız soru şu:
Bu bilgiyi kullanarak, bu doğruya ilişkin denklemi kolayca oluşturabilir miyiz?
Deneyip görelim.
Bu doğrunun üzerindeki her (x,y) noktası , noktayı da şurada işaretleyelim, bu rastgele seçilmiş bir nokta.
Bu nokta yani (x,y) ile, (a,y) noktası arasındaki eğim, doğrunun eğimi olan m'e eşit olmalı.
Bu bilgiyi, denklemimizi oluşturmakta kullanacağız.
(a,b) ile (x,y) arasındaki eğim nedir?
Hatırlayalım, eğim eşittir y'deki değişiklik bölü x'teki değişiklik.
Bu küçük üçgen, Yunan alfabesindeki delta harfi, değişikliği ifade eden sembol.
Önce Y eksenindeki değişikliğe bakalım. Y ekseninde b noktasından başlıyoruz, ikinci noktamız ise y.
Buradaki, y'deki değişiklik, y-b'ye eşit olacak.
Bölü..
Şimdi x'teki değişikliğe bakalım.
Aynı şekilde fikir yürüteceğiz. X ekseninde a noktasından başlıyor ve x noktasına gidiyoruz. Yani x'teki değişiklik x-a olacak. Bitiş noktası eksi başlangıç noktası.
Bunun, bu doğru üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki eğim olduğunu biliyoruz.
Ve bu da m'e eşit olacak.
Burada, doğrunun eğimini tanımlayan bir denklem oluşturmuş olduk.
Bu denklem, bu eşitliği sağlayan her değerin bu doğrunun üzerinde bulunacağını söylüyor.
Çünkü bu denklemi doğrulayan her (x,y) noktası ile buradaki (a,b) noktası arasındaki eğim, m'e eşit olacak.
Şimdi bu ifadeyi biraz daha sadeleştirelim.
Bunun için, eşitliğin her iki tarafını (x-a) ile çarpalım.
Sol tarafta (x-a)'lar birbirini götürdü, çünkü (x-a) bölü (x-a) 1'e eşit.
Sağ tarafta ise m (x-a) var.
Eşitliği tekrar yazalım,
y-b = m (x-a)
Matematikçiler, bunu 'nokta eğim formu' olarak adlandırıyorlar.
Buraya yazalım, bu doğruyu tanımlayan 'nokta eğim formu'.
Niçin nokta eğim formu olarak adlandırılıyor?
Yeşil renkle yazdığım m, doğrunun eğimi.
Buraya iki nokta koyabilirim.
Eğer (a,b) noktası bu doğrunun üzerinde ise, eğim çarpı (x-a), (y-b)'ye eşittir.
Şimdi bunun nasıl kullanıldığını düşünelim.
Diyelim ki doğrumuzun eğimi, yani M, 2'ye eşit olsun.
Bu doğru, diyelim ki (-7,5) noktasından geçiyor olsun.
Bu bilgiyi, bu denklemde kullanabiliriz.
y-b.
b, 5'e eşitti. Bu noktanın y koordinatı bu.
y-5 eşittir eğimim çarpı
x eksi bu noktanın x eksenindeki koordinatı yani -7.
Eğimi 2 olan ve bu noktayı içeren doğrunun denklemini yazmış olduk.
Buradaki x eksi eksi 7 içinize sinmezse, burasını x artı 7 olarak yazabilirsiniz.
Bu denklemi y-5 eşittir 2 çarpı (x+7) olarak yazabiliriz.
Bu, bu doğrunun denklemini yazmanın sadece bir yolu. Bunun dışında da pek çok yol var.
Bunlardan en çok kullanılanlardan birisi, y-kesme noktası formu.
Bu denklemi kolayca o forma çevirebiliriz.
Bunun için bu 2'yi dağıtmalıyız.
y-5 eşittir 2x artı 14.
Eşitliğin sol tarafındaki -5'ten kurtulmak için, her iki tarafa da 5 ekleyelim.
Bu durumda eşitliğin sol tarafında y kalır. Sağ taraf ise 2x artı 19 olur.
Buradaki, eğim-kesme noktası formundadır.
Eğim-kesme noktası formu.
Buradaki ise nokta-eğim formuydu.