Let's do some examples dividing fractions
Let's say that I have negative 5/6
divided by 3/4.
We've already talked about, when you divide by something,
it is the exact same thing as multiplying by its reciprocal,
so this is going to be the exact same thing as negative 5/6 times the reciprocal of
3/4, which is 4/3. I'm just swapping the numerator with the denominator, its going to be 4/3.
We've already seen examples multiplying fractions, this is going to be the numerators times each other,
so we are multiplying -5 times 4. And the denominator is 6 times 3
Now the numerator here you see we have a negative number. You might already know that 5 times 4 is 20,
and you just have to remember, look we are multiplying in negative times a positive.
We are going to essentially gonna have a -5, 4 times (-5 + -5 + -5 + -5) = -20.
So the numerator here is -20, and the denominator is 18.
You get -20 over 18, but we can simplify this.
Both the numerator and the denominator are both divisible by 2, so lets divide them by 2.
If we divide the numerator and the denominator by 2 just to simplify this,
and I've picked to because it is the largest number that goes into both of these.
Its the greatest common divisor of 20 and 18. 20 divided by 2 is 10, and 18 divided by 2 is 9.
So negative 5/6 divided by 3/4.. Oh, I have to be very careful here, it is -10
Just how we always learned, if you have a negative divided by a positive,
then you're going to get a negative value.
Let's do another example, let's say that I have -4 divided by -1/2.
So using the exact logic that we just said, we said "Hey, dividing by something is equivalent to multiplying by its reciprocal".
So this is going to be equal to -4. Instead as writing it as -4, let me just write it
as a fraction, so we are clear at what its numerator and its denominator is.
So -4 is the exact same thing as -4/1
And we are going to multiply that times the reciprocal of -1/2.
The reciprocal of -1/2 is -2/1.
You could view it as 2/-1 or -2/1, or you could just have as -2. Either way, these are all the same value.
And now we are ready to multiply. Notice all I did here
I rewrote the -4 just as -4/1. -4 / 1 is -4
And here for the -1/2, since I am multiplying now by its reciprocal,
I've swapped the denominator and the numerator.
And I'm ready to multiply, this is going to be equal to
-4 times -2 in the numerator, then in the denominator,
its going to be 1 times 1. And so this gives us a negative times a negative, so we will get a positive value here
and 4 times 2 is 8, so this is a positive 8 over 1, and 8 / 1 is just 8.
Нека решим няколко примера с деление на обикновени дроби.
Да кажем, че имам –5/6
делено на 3/4.
Вече говорихме, че когато делим някаква обикновена дроб,
това е като да умножим по реципрочна на нея.
Така че това ще е равно на –5/6,
умножено по реципрочната стойност на 3/4, която е 4/3.
Само разменям местата на числителя и знаменателя,
т.е. получава се 4/3.
Вече видяхме примери за умножение на обикновени дроби,
тук ще имаме умножение на числителите,
т.е. умножаваме (–5) по 4.
А знаменателят е 6 по 3.
Сега, числителят, който виждаме тук, съдържа отрицателно число.
Вече е известно, че 5 по 4 е 20,
и само трябва да си спомним, че умножаваме отрицателно число по положително.
И по същество ще имаме четири пъти (–5),
4 по (–5 + –5 + –5 + – 5) = –20.
Така че тук числителят е –20, а знаменателят е 18.
Получаваме –20 върху 18, но това може да се опрости.
Както числителят, така и знаменателят се делят на 2,
така че нека ги разделим на 2.
Ако разделим числителя и знаменателя на 2 с цел опростяване на израза...
аз избрах така, защото това е най-голямото число, което върви при двете дроби.
Това е най-големият делител на 20 и 18. 20 делено на 2 е 10,
а 18 делено на 2 е 9.
Така, минус 5/6 делено на 3/4...
О, тук трябва много да внимавам, имаме (–10).
И както винаги сме виждали, ако имаме отрицателно, делено на положително,
тогава ще получим отрицателна стойност.
Нека разгледаме още един пример.
Да кажем, че имам (–4) делено на (–1/2).
По същата логика, казахме, че делението на нещо е равносилно на умножение с реципрочната му стойност.
Така че това ще е равно на (–4)...
Вместо да го записвам като (–4), нека го запиша като обикновена дроб,
за да е ясно какъв е числителят и какъв е знаменателят.
Така, (–4) е напълно равносилно на (–4)/1.
И ще умножим това по реципрочната стойност на (–1/2).
Реципрочната стойност на (–1/2) е (–2/1).
Можем да го разглеждаме като 2/–1 или (–2/1),
или само като (–2). И по двата начина стойността е същата.
И сега сме готови да умножаваме. Забележи, че всичко направено тук...
преписах (–4) като (–4)/1, (–4)/1 е (–4).
А тук вместо (–1/2), след като умножавам по реципрочната му стойност,
има размяна на местата на знаменателя и числителя.
Това, което беше в числителя, сега е в знаменателя, и обратно.
И съм готов да умножавам, това ще е равно на
(–4) по (–2) в числителя,
след това в знаменателя ще бъде 1 по 1.
Тук имаме отрицателна стойност по отрицателна стойност,
така че тук ще получим положителна стойност,
и 4 по 2 е 8, така че това е
плюс 8 върху 1, а 8/1 си е 8.
Vyřešme příklady na dělení zlomků.
Řekněme, že mám -5/6
děleno 3/4.
Již jsme mluvili o tom, že když dělíte nějakým číslem,
je to stejné jako násobení převrácenou hodnotou toho čísla.
Takže náš výsledek bude stejný, jako -5/6 krát převrácená hodnota 3/4,
což jsou 4/3. Jen jsem prohodil čitatele a jmenovatele.
Již jsme viděli příklady na násobení zlomků.
Takže čitatele vynásobíme.
Násobíme -5 krát 4. A jmenovatele… 6 krát 3.
Nyní máme v čitateli záporné číslo. Nejspíš už víte, že 5 krát 4 je 20.
A jen si musíte pamatovat,
že tu máme násobení záporného a kladného čísla.
V podstatě tu budeme mít -5 čtyřikrát. -5 plus -5 plus -5 plus -5, což je -20.
Takže v čitateli máme -20 a ve jmenovateli je 18.
Dostáváte -20/18, ale můžeme to zjednodušit.
Čitatel i jmenovatel můžeme dělit číslem 2.
Pokud vydělíme čitatel a jmenovatel 2, jen pro zjednodušení,
a vybral jsem 2, protože je to největší číslo,
kterým lze dělit obě tato čísla.
Je to největší společný dělitel 20 a 18. 20 děleno 2 je 10 a 18 děleno 2 je 9.
Takže -5/6 děleno 3/4… musím tu být velmi opatrný, je to -10!
Tak jak jsme se vždy učili, pokud záporné číslo dělíte kladným,
dostanete záporný výsledek.
Zkusme další příklad. Řekněme, že mám -4 děleno -1/2.
Použiji stejnou logiku.
Řekli jsme: "Dělení něčím je stejné jako násobení jeho převrácenou hodnotou".
Takže toto se bude rovnat -4. Místo zápisu -4 to zapíšu
jako zlomek. Tak aby bylo jasné, co je čitatel a co jmenovatel.
-4 je to samé co -4/1.
A budeme to násobit převrácenou hodnotou -1/2.
Převrácená hodnota -1/2 je -2/1.
Můžete si to představit jako 2/-1 nebo -2/1, nebo jen jako -2.
V každém případě se jedná o stejnou hodnotu.
A teď jsme připraveni násobit. Všimněte si, že vše,
co jsem zde udělal byl přepis čísla -4 na -4/1.
A tady pro -1/2, protože teď násobím převrácenou hodnotou tohoto čísla
jsem prohodil jmenovatel s čitatelem.
A jsem připraven násobit.
Toto bude rovno -4 krát -2 v čitateli. Potom ve jmenovateli bude 1 krát 1.
A to nám dává záporné číslo krát záporné, takže výsledná hodnota bude kladná.
A 4 krát 2 je 8. Takže je to 8/1. A 8/1 je 8.
Lad os dividere nogle brøker.
Vi har regnestykket minus 5/6
divideret med 3/4.
Vi har allerede talt om, at når vi dividerer noget,
er det, det samme som at gange med den omvendte.
Det kaldes også den reciprokke værdi.
Det her er altså minus 5/6 gange det omvendte af 3/4, som er 4/3.
Når vi ganger brøker, ganger vi tæller med tæller og nævner med nævner.
Vi ganger altså minus 5 med 4. Nævneren er 6 gange 3.
I tælleren er der et negativt tal. 5 gange 4 er 20.
Vi ganger et negativt tal med et positivt.
Det er altså minus 5 fire gange. Det giver minus 20.
Tælleren er minus 20, og nævneren er 18.
Minus 20 over 18. Det kan vi forkorte.
Både tæller og nævner kan forkortes med 2. Lad os gøre det.
Vi dividerer både tæller og nævner med 2.
Det er det største tal, der går op i dem begge.
Det er den største fælles divisor af 20 og 18. 20 divideret med 2 er 10, og 18 divideret med 2 er 9.
Det her er selvfølgelig minus 10.
Negativ divideret med positiv
giver negativ.
Lad os prøve et nyt eksempel. Minus 4 divideret med minus 1/2.
Vi skal igen gange med den reciprokke værdi.
Det her er minus 4.
Lad os skrive det som en brøk, så det er nemmere at overskue.
Minus 4 er det samme som minus 4 over 1.
Det skal vi gange med det omvendte af minus 1/2.
Det er minus 2 over 1.
Vi kan både se det som 2 over minus 1 eller minus 2 over 1. Det er det samme som minus 2.
Vi ved allerede, hvordan vi ganger.
Vi omskrev minus 4 til minus 4 over 1.
Vi har omskrevet minus 1/2 til det omvendte og ganger i stedet.
Det gjorde vi ved at bytte rundt på tæller og nævner.
Nu er vi klar til at gange.
Minus 4 gange minus 2 i tælleren.
1 gange 1 i nævneren. Minus gange minus giver plus.
4 gange 2 er 8. Det er altså 8 over 1, som er 8.
Facciamo degli esempi di divisione di una frazione negativa Diciamo -5/6 diviso per 3/4
Come sappiamo già, divider per 'a' è equivalente a moltiplicare per il reciproco (1/a)
quindi qui è come fare -5/6 * 4/3
Moltiplichiamo i numeratori fra loro e poi i denominatori fra loro -5 x 4 al numeratore e poi 6 x 3 al denominatore
Al numeratore abbiamo - 4 x 5 = (-5 -5 -5 -5) = - 20
Al denominatore abbiamo 18
Otteniamo - 20 / 18: semplifichiamo
Dividiamo numeratore e denominatore per 2 (massimo comun divisore fra 20 e 18)
20/2 = 10 e 18/2=9
Quindi otteniamo come soluzione al quesito iniziale: - (5/6) / (3/4) = - 10 / 9
Un numero negativo diviso per uno positivo dà un risultato negativo
Facciamo un altro esercizio. -4 diviso per -1/2
Applichiamo il medesimo approccio, moltiplichiamo per il reciproco
-4 x (-2) = + 8
I due segni negativi danno come risultato un segno positivo
I due segni negativi danno come risultato un segno positivo: +8.
分数の除算の例をいくつかやってみましょう。
-5/6 を
3/4 で割りましょう。
すでに、除算は
割る数の逆数を乗算することと同じことと話ました。
これは-5/6 に，かけることの
3/4の逆数、4/3 を掛けることと同じことです。 逆数は分母と分子を交換して、4/3です。
すでに分数のかけ算については例を見てきました。分子同士を乗算し
-5 ＊4です。分母同士は 6＊ 3です。
ここで分子は 負数です。5 ＊ 4 はいくつになるかもう知っていますね。
負数と正数を掛けるということは、
本質的に-5 を4 回をたすことで（-5 +-5 +-5 +-5） = -20です。
分子は-20 と分母は 18 です。
-20 /18で、これを簡単化することができます。
分子と分母が両方 2 で割り切れるので、 2 で割ります。
分子と分母を 2 で割ると、これが簡単化されます。
ここでは私は適当に2にしたのではなく，わざわざ2を選びました.
なぜなら2は20 と 18 の最大公約数だからです。20 を2 で割ると 10、18を 2 で割ると9 です。
- 5/6 を3/4 で割った値は… おや、注意しないといけませんね.これは-10の間違いです
負数を正数で割った場合は、
答えは負の値になります。
別の例をしまししょう。-4を-1/2 で割った値は何でしょう。
同じ論理を使用します.つまり、除算をその逆数による乗算にします.
-4 をそのまま-4とは書かないで
何が分母と分数かがかわかるように分数で書きなおすと、
-4 は-4 /1と同じです。
-1 /2の逆数で乗算します。
-1 /2の逆数 は-2 /1です。
これは2/−1とも- 2/1 とも見ることができます.または、単に-2 ともできます。いずれにせよ、これらはすべて同じ値です。
乗算する準備ができました。 ここで注意してください
-4 を-4 /1と書き直しました。-4/1 は-4です。
ここの-1/2についてはかけ算になります.逆数によって乗算するからです。
分母と分子を交換しました。
乗算する準備ができました。
-4 ＊-2が分子で、分母は
1 ＊ 1 になります。これは負数と負数の乗算で正数が得られます。
4 ＊2 は 8、これは＋ 8/1で、8/1 は8割る1と同じです.
そして8割る1は単なる8に等しいです.
მოდით, წილადების გაყოფის რამდენიმე მაგალითი გავაკეთოთ.
ვთქვათ, რომ გვაქვს მინუს ხუთი მეექვსედი გაყოფილი სამ მეოთხედზე.
უკვე ვისუბრეთ იმაზე, რომ რაღაცაზე გაყოფა იგივეა, რაც
ამ რაღაცის შებრუნებულზე გამრავლება.
ასე რომ, ეს იგივე იქნება, რაც
მინუს ხუთი მეექვსედჯერ სამი მეოთხედის შებრუნებული, ანუ ოთხი მესამედი.
მრიცხველსა და მნიშვნელს ადგილებს ვუცვლით
და ვიღებთ ოთხ მესამედს.
წილადების გამრავლების მაგალითები უკვე ვნახეთ. წილადების მნიშვნელებს ვამრავლებთ,
მინუს ხუთს ვამრავლებთ ოთხზე,
მრიცხველში კი გვექნება ექვსჯერ სამი.
მნიშვნელში უარყოფითი რიცხვი გვაქვს. ხუთჯერ ოთხი ოცია.
უნდა გახსოვდეთ, რომ უარყოფითს ამრავლებთ დადებითზე და
მინუს 5 გვექნება, ოთხჯერ:
მინუს 5-ს პლუს მინუს 5 პლუს მინუს 5 პლუს მინუს 5 მინუს ოცს უდრის.
მრიცხველში გვაქვს მინუს 20, მნიშვნელში კი 18.
მივიღეთ მინუს 20 გაყოფილი 18-ზე, შეგვიძლია გავამარტივოთ.
მრიცხველიც და მნიშვნელიც იყოფა ორზე. მოდით, გავყოთ.
თუ ორივეს გავყოფთ ორზე - ორი ავირჩიეთ, რადგან
ისაა უდიდესი რიცხვი, რომელიც ორივეში შედის.
20-ისა და 18-ის უდიდესი საერთო გამყოფია. 20 გაყოფილი ორზე ათია, 18 კი - ცხრა.
ასე რომ მინუს ხუთი მეექვსედი გაყოფილი სამ მეოთხედზე,
ყურადღებით უნდა ვიყო, ეს არის მინუს 10
როგორც ვისწავლეთ, თუ უარყოფითს ვყოფთ დადებითზე,
უარყოფით მნიშვნელობას მივიღებთ.
კიდევ ერთი მაგალითი განვიხილოთ.
ვთქვათ, გვაქვს მინუს ოთხი გაყოფილი მინუს ერთ მეორედზე.
იგივე ლოგიკის გამოყენებით, უნდა გავამრავლოთ მის შებრუნებულ რიცხვზე.
ანუ მინუს ოთხი ჩავწეროთ წილადად, რათა ვიცოდეთ რა არის მრიცხველი და რა მნიშვნელი.
მინუს ოთხი ჩავწეროთ, როგორც მინუს ოთხი მეერთედი.
და გავამრავლოთ მინუს ერთი მეორედის შებრუნებულზე.
ერთი მეორედის შებრუნებულია მინუს ორ მეერთედი.
ესაა ორი გაყოფილი მინუს ერთზე, ან მინუს ორი გაყოფილი ერთზე,
ან უბრალოდ მინუს 2 - ერთიდაიგივეა.
ახლა შეგვიძლია გავამრავლოთ. მხოლოდ ის გავაკეთე, რომ
მინუს ოთხი მინუს ოთხ მეერთედად ჩავწერე, რაც იგივე მინუს ოთხია და
აქ კი მინუს ერთი მეორედი ამოვატრიალე, რადგან მის შებრუნებულზე უნდა გავამრავლო.
რაც მრიცხველი იყო ახლა მნიშვნელია.
გამრავლებისთვის მზად ვართ.
ეს იქნება მინუს ოთხჯერ მინუს ორი მრიცხველში, აქ კი ერთხელ ერთი.
მინუსჯერ მინუსი გვაქვს, ანუ დადებით მნიშვნელობას ვიღებთ.
ოთხჯერ ორი რვაა, პლუს რვა გაყოფილი ერთზეც უბრალოდ რვა იქნება.
분수의 나눗셈 문제를 풀어봅시다
- 5/6 을 3/4로 나눈다고 합시다
3/4로 나누어진다고 합시다
이전에 공부했듯이,
나눗셈에서 어떤 수를 나누는 것은
나눈 수의 역수를 곱하는 것과 같습니다
이 식도 이렇게 바꿀 수 있습니다
-5/6 x 3/4의 역수
3/4의 역수와 같습니다
분자와 분모의 위치를 바꾸면
4/3으로 3/4의 역수가 되죠?
분수의 곱셈에서 했던 것처럼
분자는 분자끼리 분모는 분모끼리
서로 곱하면 됩니다
따라서 분자는 -5 x 4가 되고,
분모는 6 x 3이 됩니다
그런데, 분자가 음수이네요
4 x 5 는 20 이죠
음수와 양수를 곱하고 있다는 것을
기억 하셔야 합니다
-5 x 4는
-5를 네 번 더한 것 으로
(-5 + -5 + -5 + -5)이므로
-20이 됩니다
그래서 분자는 -20 이 되고, 분모는 18 됩니다
-20/18 이 됩니다
이 분수가 약분된다는 것을 알 수 있겠죠?
분모와 분자는 모두 2로 나누어 집니다
그럼 두 수를 각각 2로 나누어 봅시다
이렇게 분모와 분자를 2로 나누어 줍니다
2로 나누어 주는 이유는
2가 분모와 분자를 동시에 나눌 수 있는
가장 큰 수 이기 때문입니다
즉, 2가 20과 18의 최대공약수라는 것이죠
20 ÷ 2는 10
18 ÷ 2는 9 입니다
그래서 -5/6 ÷ 3/4는
-10에 주의하도록 하세요
양수가 아닌 음수입니다 -10이에요
항상 배운 것처럼,
음수를 양수로 나눈다면,
두 숫자의 부호가 서로 다를 때
답은 음수가 됩니다
또 다른 예를 들어볼까요?
4가 -1/2로 나누어진다고 합니다
방금 배운 "어떤 숫자로 나누는 것은
그 숫자의 역수를 곱하는 것과 같다"
라는 논리를 이용하여 봅시다
그럼 이 식은 다음과 같아 지는데요
우선 -4라고 쓰는 대신에 -4를 분수형태로 써봅시다
그래야 분모와 분자가 무엇인지 잘 알 수 있으니까요
-4는 -4/1과 같죠?
그리고, -1/2의 역수를 곱할 겁니다
-1/2의 역수는 -2/1 입니다
2/-1과 -2/1는 같은 값이기 때문에
둘 중 아무거나 사용하셔도 됩니다
이제 곱하기만 하면 됩니다
-4를 -4/1 형태로 바꾸기만 했습니다
-4/1이 -4이기 때문이죠
그리고, -1/2 에 대해서는 그 역수를 곱하기 때문에
분자와 분모의 위치를 바꾸었어요
보시면 분모였던 -2가 분자가 되어있고
분자였던 1이 분모가 되어있죠?
이제 곱하기만 하면 됩니다
분자가 모두 음수네요
분자는 -4 x (-2)일 것이고
분모는 1과 1을 곱하면 됩니다
-4 x -2이므로
음수와 음수를 곱하면 양수가 되니까
4 x 2는 8이 되고,
8 ÷ 1은 8/1이므로 답은 8이 됩니다
La oss dele noen brøker.
La oss si at jeg har -5/6
delt på 3/4.
Vi har allerede snakket om, at når du deler på noe,
er det akkurat det samme som å gange med den resiproke brøken.
Så dette blir akkurat det samme som
-5/6 ganger den resiproke brøken av 3/4, som er 4/3.
Jeg bare bytter om telleren og nevneren, det blir 4/3.
Vi har allerede sett eksempler på multiplikasjon av brøker.
Dette bli tellerne ganget med hverandre,
så vi ganger -5 med 4.
Jeg setter minustegnet foran 5. Så -5 ganger 4.
Og nevneren er 6 ganger 3.
6 ganger 3.
I telleren her har vi et negativt tall.
Du vet kansje allerede at 5 ganger 4 er 20.
Og du må bare huske at vi ganger et negativt tall
med et positivt.
Vi får en -5, 4 ganger, -5 pluss -5pluss -5 pluss -5 pluss -5 er -20.
Så telleren her er -20, og nevneren er 18.
Så vi får -20 delt på 18, men vi kan forenkle dette.
Både telleren og nevneren er delelige på 2.
Så la oss dele på 2.
Om vi deler både telleren og nevneren på 2
bare for å forenkle den--
Og jeg valgte 2 fordi det er det største tallet som går opp i begge disse.
Det er den største felles divisor for 20 og 18.
20 delt på 2 er 10, og 18 delt på 2 er 9.
Så, -5/6 delt på 3/4 er-- Oj, jeg må være forsiktig her,
det er -10/9.
Som vi alltid har lært, hvis du har et negativt tall delt på et positivt,
får du et negativt svar.
La oss ta et annet eksempel.
La oss si at jeg har -4 delt på -1/2.
Så, for å bruke samme logikk,
vi sa at å dele på noe er det samme som å gange med den resiproke brøken.
Så dette blir -4.
Istedet for å skrive det som -4, la meg skrive det som en brøk,
så vi er klare på hva telleren og nevneren er.
Så -4 er akkurat det samme som -4/1.
Og vi skal gange det med den resiproke brøken av -1/2.
Den resiproke brøken av -1/2 er -2/1.
Du kan se det som -2/1 eller 2/-1, eller bare som -2.
Det er samme verdi uansett.
Og nå er vi klare til å multiplisere.
Alt jeg gjorde her var å skrive om -4 til -4/1.
-4/1 er lik -4.
Og her, for -1/2, siden jeg ganger med dens resiproke brøk,
har jeg byttet om nevneren og telleren.
Det som var nevneren er nå telleren og det som var telleren er nå nevneren.
Og jeg er klar til å multiplisere, dette blir lik:
Jeg satte begge minustegnene i tellerne,
så det blir -4 ganger -2 i telleren.
Og i nevneren blir det 1 ganger 1.
1 ganger 1.
Så vi har -4 ganger -2.
Det er et negativt ganger et negativt.
Så vi får en positiv verdi her,
og 4 ganger 2 er 8.
så dette er en positiv 8 delt på 1.
Og 8/1 er enkelt og greit 8.
Zróbmy kilka przykładów dzielenia ułamków.
Powiedzmy, że mamy 5/6
podzielone przez 3/4.
Już o tym mówiliśmy, dzielenie przez ułamek,
to dokładnie to samo, co mnożenie przez jego odwrotność.
Czyli to będzie dokładnie to samo, co minus 5/6 raz odwrotność
3/4, czyli 4/3. Po prostu zamieniam licznik z mianownikiem i mam 4/3.
Już widzieliśmy przykłady mnożenia ułamków, to będzie jeden licznik razy drugi,
czyli mnożymy -5 razy 4. A mianownik to 6 razy 3.
Teraz licznik, który tu widzicie jest liczbą ujemną. Już możecie widzieć, że 5 razy 4 to 20,
musicie po prostu zapamiętać, spójrzcie, mnożymy liczbę ujemną razy dodatnią.
W zasadzie mamy minus 5, 4 razy minus, minus 5, minus 5, minus 5, czyli minus 20.
Czyli licznik tutaj to minus 20, a mianownik to 18.
Dostajemy minus 20 przez 18, ale możemy to uprościć.
Zarówno licznik, jak i mianownik są oba podzielne przez 2, czyli podzielmy je przez 2.
Jeśli podzielimy licznik i mianownik przez 2, by tylko to uprościć
i wziąłem 2, gdyż to największa liczba, przez którą podzielny jest licznik i mianownik.
To jest największy wspólny mianownik 20 i 18. 20 podzielone przez 2 to 10, a 18 podzielone przez 2 to 9.
Czyli minus 5/6 podzielone przez 3/4... Och, muszę tu być bardzo ostrożny, to będzie minus 10.
Jak się zawsze uczyliśmy, jeśli mamy liczbę ujemną podzieloną przez dodatnią,
to wtedy otrzymamy wartość ujemną.
Zróbmy inny przykład, powiedzmy, że mamy minus 4 podzielone przez minus 1/2.
Używając tego samego rozumowania, powiedzieliśmy "Och, dzielenie przez ułamek to to samo, co mnożenie przez jego odwrotność".
Czyli to będzie równe minus 4. Zamiast pisać minus 4, pozwólcie mi zapisać to
jako ułamek, by jasne było co jest licznikiem, a co mianownikiem.
Czyli minus 4 to to samo, co minus 4/1.
I pomnożymy to przez odwrotność minus 1/2.
Odwrotność minus 1/2 to minus 2/1.
Możemy na to patrzeć jak na 2 przez minus 1, lub minus 2 przez 1, czy też po prostu minus 2. Zawsze to jest ta sama wartość.
I jesteśmy gotowi by mnożyć. Zauważcie, że wszystko, co tu zrobiłem
to zapisanie minus 4 jako minus 4/1. Minus 4/1 to minus 4.
A tu dla minus 1/2, skoro mnożę przez odwrotność,
zamieniłem miejscami licznik i mianownik.
Jestem gotów by mnożyć, to będzie równe
minus 4 razy minus 2 w liczniku, a mianownik.
to będzie 1 razy 1. To nam daje minus razy minus, czyli dostaniemy wartość dodatnią tutaj,
a 4 razy 2 to 8, czyli jest to plus 8 przez 1, a 8/1 to po prostu 8.
Хајде да урадимо неколико примера дељења разломака.
Рецимо да имам негативних 5/6
подељено са 3/4.
Већ смо причали о томе, када делите нечим,
то је потпуно исто као множење његовим реципрочним,
тако да ће ово бити потпуно исто као негативних 5/6 пута реципрочни од
3/4, што је 4/3.Само заменим бројилац и именилац, то ће бити 4/3.
Већ смо видели примере множења разломака, ово ће бити бројиоци измножени један са другим,
тако да множимо -5 пута 4. И именилац је 6 пута 3.
Сада, бројилац овде видите, имамо негативан број. Можете већ знати да је 5 пута 4 једнако 20,
и само треба да се сетите, погледајте, множимо негативни пута позитивни.
Ми ћемо, у суштини, имати -5, 4 пута (-5 + -5 + -5 + -5) = -20.
Значи, бројилац овде је -20, а именилац је 18.
Добијате -20 кроз 18, али можемо да упростимо ово.
Оба, и бројилац и именилац, су дељиви са 2, па , поделимо их са 2.
Ако поделимо бројилац и именилац са 2 само да упростимо ово,
а изабрао сам 2 зато што је то највећи број који иде у оба од ових.
То је највећи заједнички делилац за 20 и 18. 20 подељено са 2 је 10, и 18 подељено са 2 је 9.
Значи, негативних 5/6 подељено са 3/4...Ох, треба да будем веома пажњив овде, то је -10.
Као што смо увек учили, ако имате негативан подељен позитивним,
онда ћете добити негативну вредност.
Хајде да урадимо још један пример, рецимо да имам -4 подељено са -1/2.
Дакле, употребом исте логике коју смо управо поменнули, рекли смо "хеј, дељење нечим је еквивалентно множењу његовим реципрочним".
Значи, ово ће бити једнако -4. Уместо да га напишемо као -4, дајте да га напишем
као разломак, тако да нам буде јасно шта је његов бројилац и његов именилац.
Дакле, -4 је потпуно исто што и -4/1.
И помножићемо то, пута реципрочни од -1/2.
Реципрочни од -1/2 је -2/1.
Могли би да га посматрате као 2/-1 или -2/1, или би могли да имате само као -2. У сваком случају, све ово су исте вредности.
И сада смо спремни да множимо. Приметите да све што сам урадио овде је
да сам преписао -4 само као -4/1. -4/1 је -4.
И овде, за -1/2, пошто сада множим његовим реципрочним,
заменио сам именилац и бројилац.
И спреман сам да множим, ово ће бити једнако
-4 пута -2 у бројиоцу, онда у имениоцу,
биће 1 пута 1. И тако нам ово даје негативан пута негативан, па ћемо добити позитивну вредност овде
и 4 пута 2 је 8, па је то позитивних 8 кроз 1, и 8/1 је једноставно 8.
சில பின்னங்களை வகுக்கும் எடுத்துக்காட்டை பார்க்கலாம்..
என்னிடம் -5/6 உள்ளது..
வகுத்தல் 3/4..
ஒரு எண்ணை வகுப்பதும்..
அதன் தலைகீழால் பெருக்குவதும் ஒன்று,
எனவே, இது -5/6 பெருக்கல்
3/4 -ன் தலைகீழ் அதாவது 4/3 -ன் ஒன்று... பகுதி மற்றும் தொகுதியை மாற்றுகிறோம்..
நாம் பின்னங்களை பெருக்கும் எடுத்துக்காட்டை பல முறை பார்த்துவிட்டோம்.
ஆக, நாம் -5 பெருக்கல் 4 செய்கிறோம்.. பகுதியில் 6 பெருக்கல் 3
தொகுதியில் இங்கு எதிர்மம் உள்ளது... 5 பெருக்கல் 4 என்பது 20..
நாம் எதிர்மத்தையும் நேர்மத்தையும் பெருக்குகிறோம்..
ஆக, -5 பெருக்கல் 4 என்பது -20..
இதில் உள்ள தொகுதி -20... பகுதி 18
-20 கீழ் 18... இதை எளிதாக்க முடியும்..
பகுதி மற்றும் தொகுதி இரண்டும்.. 2 ஆல் வகுபடும்..
இதனை இரண்டால் வகுத்தால்..
நான் ஏன் 2-ஐ எடுத்தேன் என்றால், இது தான் இரண்டையும் வகுக்கும் பெரிய எண்..
20 மற்றும் 18 -ன் GCD... 2 ஆல் வகுத்தால்.. 10/9
5/6 வகுத்தல் 3/4 என்பது.. இது -10
எதிர்மம் வகுத்தல் நேர்மம் என்பது
எப்பொழுதும் எதிர்மம் தான்..
மேலும் சில எடுத்துக்காட்டுகள்... -4 வகுத்தல் -1/2..
வகுப்பதும்.. தலைகீழால் பெருக்குவதும் ஒன்று தான்..
ஆக, -4 என்பதை
பின்னமாக மாற்றி எழுதலாம்..
-4 என்பது -4/1 ஆகும்..
இதை -1/2 -ன் தலைகீழால் பெருக்க வேண்டும்..
-1/2 -ன் தலைகீழால் -2/1..
2/-1 அல்லது -2/1 .. இரண்டுமே ஒன்று தான்..
இப்பொழுது பெருக்கலாம்..
-4 என்பதை -4/1 எனலாம்.. -4/1 என்பது -4..
இங்கு -1/2 உள்ளது.. இதன் தலைகீழால் பெருக்கலாம்..
நான் பகுதி மற்றும் தொகுதியை மாற்றலாம்..
இதனை பெருக்கலாம்..
-4 பெருக்கல் -2 என்பது தொகுதி.
பகுதியில்.. 1 பெருக்கல் 1.. எதிர்மம் பெருக்கல் எதிர்மம் என்பது நேர்மம்..
4 பெருக்கல் 2 என்பது 8... ஆக, இது 8/1 அதாவது 8 ஆகும்..
Kesirleri bölmeye ilişkin bazı örnekler yapalım.
Diyelim ki -5/6'yı 3/4'e bölelim.
Bir sayı ile bölmenin, bu sayının tersi ile çarpmakla aynı şey olduğunu biliyoruz.
Dolayısıyla bu ifadeyi, -5/6 çarpı 3/4'ün tersi yani 4/3 olarak yazabiliriz.
Sadece pay ve paydanın yerini değiştiriyorum.
Daha önce kesirleri çarpmaya ilişkin pek çok örnek yapmıştık.
Payları birbiri ile çarpıyoruz. Paya -5 çarpı 4 yazalım. 4'ü sarı ile yazalım.
Paydaları da çarpıyoruz, 6 çarpı 3.
01:00
Şimdi burada, payda negatif bir sayı var. 5 kere 4'ün 20 olduğunu zaten biliyorsunuzdur. Sadece negatif bir sayı ile pozitif bir sayıyı çarptığınızda sonucun negatif olacağına dikkat etmeniz gerek.
Pay -20.
Payda ise 18.
-20/18.
Bu kesiri sadeleştirebiliriz. Hem 20 hem de 18, 2 ile bölünebilir. Pay ve paydayı 2'ye bölelim.
Bunu sadeleştirmek için hem pay hem de paydayı 2 ile bölüyorum. 2'yi seçtim, çünkü her iki sayıyı da bölen en büyük sayı bu. 20 ve 18'in en büyük ortak böleni 2.
20 bölü 2, 10 eder.
18 bölü 2, 9 eder.
Yani -5/6 bölü 3/4 eşittir..
Aman aman.. Burada negatif işaretini unutmuşuz. Bu çok önemli, dikkatli olmalıyız. Cevap -10/9 olmalı.
Daha önce öğrendiğimiz gibi, negatif bir sayıyı pozitif bir sayıya bölüyorsak, eğer iki sayının işareti farklı ise, sonuç negatif olur.
02:00 Şimdi başka bir örnek yapalım.
-4 bölü -1/2.
Bunda da aynı mantığı yürütebiliriz: Bir şey ile bölmek, bu şeyin tersi ile çarpmakla aynı şeydir.
Bu ifadeyi -4 çarpı -2/1 olarak yazabiliriz.
-4'ü de kesir olarak yazalım. Eksi 4'ü, -4/1 olarak yazabiliriz.
Bunu -1/2'nin tersi ile çarpacağız.
-1/2'nin tersi, -2/1'dir.
Bunu eksi 2 bölü 1, 2 bölü eksi 1, veya eksi 2 olarak düşünebilirsiniz, bunların hepsi aynı değerdir.
03:00
Şimdi çarpma işlemini yapmaya hazırız.
Burada ne yaptık bakalım, -4'ü -4/1 olarak yazdım. -4/1'in değeri -4'tür. Ve buradaki -1/2'nin tersini aldım, yani pay ve paydanın yerini değiştirdim, tersi ile çarpıyorum.
Önce payları çarpıyorum, payda -4 çarpı -2.
Paydaları da çarpalım, 1 çarpı 1.
Payda -4 ile -2'yi çarpıyoruz.
Negatif çarpı negatif, işaretler aynı olduğuna göre sonuç pozitif olacak. Pay artı 8.
Payda 1.
8/1 eşittir 8.
Наведемо декілька прикладів ділення дробів
Нехай ми маємо від'ємні 5/6,
які ми ділимо на 3/4.
Ми вже говорили, що коли ми ділимо на щось,
то це точно те ж саме, що і помножити на його обернене,
тож наш вираз приймає вигляд: від'ємні 5/6, помножені на обернене до
3/4, тобто на 4/3. Ми просто змінюємо чисельник і знаменник місцями, виходить 4/3.
Ми вже бачили багато прикладів з множенням дробів, нам потрібно перемножити чисельники,
тож ми множимо -5 на 4. А знаменник буде 6 помножити на 3.
Бачимо, що в чисельнику у нас є від'ємне число. Ви можливо вже здогадались що 5 * 4 = 20,
і вам це достатньо запам'ятати, гляньте, ми множимо від'ємне на додатнє.
Ми отримаємо, по суті, -5, помножене на 4 (-5 + -5 + -5 + -5) = -20.
Тож наш чисельник дорівнює -20, а знаменник 18.
Ми отримали дріб -20/18, але ми можемо його спростити.
І чисельник і знаменник можемо поділити на 2, тож давайте це зробимо.
Якщо ми поділимо чисельник і знаменник на 2 просто щоб спросити дріб,
двійку ми вибрали, бо це найбільше число, на яке подільні обидва ці числа.
Це найбільший простий дільник 20 і 18. 20, поділене на 2 = 10, і 19, поділене на 2 = 9.
Тож від'ємні 5/6, поділені на 3/4... Тут потрібно бути обережним, це від'ємне 10.
Просто, як ми завжди вчили, що якщо маємо від'ємне, що ділиться на додатнє,
то ми отримаємо від'ємне значення.
Давайте розглянемо інший приклад, скажімо, маємо -4, поділене на -1/2.
Використовуючи аналогічний підхід ми просто кажемо: "Ей, ділення на щось це ж просто множення на його обернене".
Тож це буде рівним -4... Замість того, щоб написати -4, давайте запишемо це число
як дріб, і буде одразу видно якими є чисельник і знаменник.
Тож -4 це точно те ж саме що і -4/1
І нам треба помножити це на число, обернене до -1/2.
Обернене до -1/2 це -2/1.
Ми можемо представити його як 2/-1, чи -2/1, чи просто -2. Всі ці числа мають однакове значення.
І тепер ми готові множити. Пригадаємо всі наші дії,
ми переписали -4 як -4/1, -4/1 це -4.
І замість ділення на -1/2, ми множимо на його обернене,
переставляючи знаменник і чисельник.
І тепер ми готові множити, це буде рівне
-4, помножити на -2 в чисельнику, а в знаменнику маємо 1, помножене на 1.
Виходить від'ємне число, помножене на від'ємне, тож ми отримаємо додатнє значення.
4, помножити на 2 = 8, тож це додатнє 8, поділене на 1, і 8/1 це просто 8.
我们现在来看一下分数的除法
比如说我有负5/6
除以3/4
我们已经复习过除法
这和乘以它的倒数是一样的
所以，这和负5/6乘以3/4的倒数
我只是把分子和分母倒一下
我们已经谈过分数乘法，这次是分子相乘
所以是-5乘以4。分母上是6乘以3
现在分子上有一个负数。5乘以4是20
你只要记住，现在是负数乘以正数
这里其实有4个-5，等于-20
所以分子是-20，分母是18
答案是-20/18，但我们需要简化
把分子和分母都除以2
我们把分子和分母都除以2，来简化
因为2是同时能被分子和分母除的数
20除以2是10，18除以2是9
所以5/6除以3/4。。