0:00:00.369,0:00:07.602
Quel est le plus petit commun multiple, noté PPCM, de 15, 6 et 10 ?

0:00:07.602,0:00:13.984
Alors le PPCM, c'est exactement ce qui est indiqué par ces mots. C'est le plus petit commun multiple de chacun de ces nombres.

0:00:13.984,0:00:17.453
Et je sais que cela ne vous aide probablement pas beaucoup. Mais travaillons donc à résoudre ce problème.

0:00:17.453,0:00:22.275
Pour faire cela, réfléchissons aux différents multiples de 15, 6 et 10.

0:00:22.275,0:00:26.453
et puis cherchons le plus petit, le plus petit qu'ils ont en commun.

0:00:26.453,0:00:34.396
Cherchons les multiples de 15. Vous avez :[br]1 x 15 = 15, 2 x 15 = 30,

0:00:34.396,0:00:41.373
et si vous ajoutez 15 encore, vous obtenez 45[br]puis 15 encore et vous obtenez 60.[br]Ajoutez encore 15,

0:00:41.373,0:00:49.012
vous obtenez 75, vous ajoutez 15 encore, vous avez 90, vous ajoutez 15 encore, vous obtenez 105.

0:00:49.012,0:00:53.807
et si aucun de ces nombres sont commun multiples avec ces trois là

0:00:54.098,0:00:56.906
alors vous devez aller plus loin, mais j'arrêterai ici pour le moment.

0:00:57.090,0:01:07.119
Donc voici les multiples de 15 jusqu'à 105.[br]Evidemment, on pourrait continuer à la suite, mais passons aux multiples de 6.

0:01:07.119,0:01:17.480
Cherchons les multiples de 6 :[br]1x6 = 6, 2x6 = 12, 3x6 = 18, 4x6 = 24,

0:01:17.480,0:01:27.345
5x6 = 30, 6x6 = 36, 7x6 = 42, 8x6 = 48,

0:01:27.345,0:01:39.734
9x6 = 54, 10x6 = 60. 60 semble déjà intéressant, car c'est un multiple commun avec 15 et 60. En fait, nous en avons deux ici.

0:01:39.734,0:01:44.684
Nous avons 30 et un 30, nous avons un 60 et un 60. Donc le plus petit PPCM...

0:01:44.684,0:01:47.689
... Donc si nous avions voulu uniquement le PPCM de 15 et 6.

0:01:47.797,0:01:57.356
On aurait répondu que c'est 30. Écrivons cela commun résultat intermédiaire : le PPCM de 15 et 6. Donc le plus petit commun multiple,

0:01:57.356,0:02:06.526
Le plus petit multiple qu'ils ont en commun dans ceux que nous avons ici. 15x2 = 30 et 6x5 = 30.

0:02:06.605,0:02:10.803
Donc c'est certainement un multiple commun et c'est le plus petit de tout leurs muliples communs.

0:02:10.896,0:02:16.325
60 est aussi un multiple commun, c'est c'est un plus grand. On cherche le plus petit commun multiple, donc c'est 30.

0:02:16.617,0:02:22.862
Nous n'avons pas encore pensé à 10 pour le moment. Occupons nous de lui ici. Je pense que vous avez une idée de ce qui va se passer.

0:02:22.923,0:02:30.592
Cherchons les multiples de 10. Ils sont 10, 20, 30, 40... Bien, nous sommes déjà allé assez loin. Parce que nous avons déjà 30,

0:02:30.592,0:02:38.973
et 30 est multiple commun de 15 et 6 et c'est le plus petit commun multiple de tous.

0:02:39.158,0:02:47.412
Donc le fait est que le PPCM de 15, 6 et 10 est égal à 30.

0:02:47.489,0:02:52.920
Maintenant, il y a une méthode pour trouver le plus petit commun multiple. Littéralement, cherchons et regardons les multiples de chacun des nombres...

0:02:52.982,0:02:57.333
et voyons le plus petit multiple qu'ils ont en commun.

0:02:57.333,0:03:01.973
Une autre façon de faire cela, c'est de regarder la décomposition en facteurs premiers de chacun de ces nombres

0:03:02.044,0:03:08.658
et le PPCM est le nombre qui a tous les éléments des décomposition en facteurs premiers et rien d'autre.

0:03:08.750,0:03:14.422
Laissez moi vous monter ce que je veux dire par là. Vous pouvez faire comme ça ou vous pouvez dire que 15, c'est

0:03:14.422,0:03:23.537
la même chose que 3x5 et voilà. C'est la décomposition en facteur premier, 15, c'est 3 fois 5 car aussi bien 3 que 5 sont des nombres premiers.

0:03:23.614,0:03:30.783
Vous pouvez aussi dire que 6, c'est la même chose que 2 fois 3. Et voilà, c'est la décomposition en facteurs premiers, car aussi bien 2 que 3 sont premiers.

0:03:30.783,0:03:40.249
Et vous pouvez dire que 10, c'est la même chose que 2 fois 5. Aussi bien 2 que 5 sont premiers.[br]Et nous en avons terminé des décompositions.

0:03:40.249,0:03:50.930
Donc le PPCM de 15, 6 et 10 doit avoir tous ces facteurs premiers.

0:03:50.930,0:03:55.599
Et ce que je veux dire... pour être clair, afin que ce soit divisible par 15

0:03:55.599,0:04:03.672
un nombre doit avoir au moins un 3 et un 5 dans sa décomposition en facteurs premiers. Donc il doit avoir un 3 et au moins un 5.

0:04:03.765,0:04:09.599
En ayant un 3 fois 5 dans sa décomposition en facteurs premiers, on a l'assurance que ce nombre est divisible par 15.

0:04:09.661,0:04:18.451
Pour être divisible par 6, il doit avoir au moins un 2 et un 3. Donc il doit avoir un moins un 2 et nous avons déjà un 3 ici donc c'est tout ce qu'il nout faut.

0:04:18.574,0:04:28.346
Nous avons juste besoin d'un 3. Donc un 2 et un 3. C'est 2 fois 3 et cela assure que le nombre soit divisible par 6. Et laissez-moi vous clarifier la situation, c'est juste là, le 15.

0:04:28.946,0:04:41.884
Et pour être sur que c'est divisible par 10, nous avons besoin d'un 2 et d'un 5. Ces deux là font qu'on est sûr que c'est divisible par 10.

0:04:42.083,0:04:52.922
et donc nous les avons tous, ce 2 x 3 x 5 possède tous les facteurs premiers de 10, 6 et 15, donc c'est le PPCM.

0:04:52.922,0:05:00.159
Donc si nous calculons cela, vous obtiendrez 2 x 3 fait 6, 6 x 5 fait 30.

0:05:00.159,0:05:05.471
D'une façon ou d'une autre, j'espère que vous comprenez ces deux raisonnements et que vous voyez pourquoi ils font sens.

0:05:05.594,0:05:13.193
La deuxième méthode est un peu plus difficile si vous essayez de la faire pour des nombres vraiment grands...

0:05:13.193,0:05:16.062
... nombres que vous aurez à multiplier pendant très longtemps.

0:05:16.062,0:05:21.834
Bon, quoiqu'il en soit, voici deux manières possibles de trouver le plus petit commun multiple.