WEBVTT 00:00:00.369 --> 00:00:07.602 Welches ist das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz KGV, von 15, 6 und 10? 00:00:07.602 --> 00:00:13.984 Das kleinste gemeinsame Vielfache ist genau, wie das Wort schon sagt: das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen. 00:00:13.984 --> 00:00:17.453 ich weiß, dass das vielleicht noch keine große Hilfe war. Aber wir arbeiten uns durch dieses Problem. 00:00:17.453 --> 00:00:22.275 Lass uns dafür verschiedene Vielfache von 15, 6 und 10 betrachten 00:00:22.275 --> 00:00:26.453 und dann das kleinste Vielfache finden, das sie gemeinsam haben. 00:00:26.453 --> 00:00:34.396 Lass uns die Vielfachen von 15 finden. Da sind: 1 mal 15 ist 15, 2 mal 15 ist 30, 00:00:34.396 --> 00:00:41.373 dann, wenn du wieder 15 dazu zählst, erhältst du 45, mit weiteren 15 sind das 60 und mit weiteren 15 bekommst du 75 00:00:41.373 --> 00:00:49.012 weitere 15 später bekommst du 90 und mit weiteren 15 erhältst du 105 00:00:49.012 --> 00:00:53.807 und wenn du dann immer noch kein gemeinsames Vielfaches mit den anderen beiden Zahlen hast 00:00:54.098 --> 00:00:56.906 musst du eventuell noch weiterrechnen, aber ich werde hier erstmal aufhören. 00:00:57.090 --> 00:01:07.119 Das sind die Vielfachen von 15 bis zu 105. Offensichtlich machen wir mit den anderen weiter. Lass uns die Vielfachen von 6 notieren. 00:01:07.119 --> 00:01:17.480 Die Vielfachen sind: 1 mal 6 ist 6, 2 mal 6 ist 12, 3 mal 6 ist 18, 4 mal 6 ist 24, 00:01:17.480 --> 00:01:27.345 5 mal 6 ist 30, 6 mal 6 ist 36, 7 mal 6 ist 42, 8 mal 6 ist 48, 00:01:27.345 --> 00:01:39.734 9 mal 6 ist 54, 10 mal 6 ist 60. 60 ist für uns schon interessant, da es ein gemeinsames Vielfaches von 15 und 6 ist. Außerdem haben wir zwei gemeinsame Vielfache. 00:01:39.734 --> 00:01:44.684 Wir haben 30 und 30 und wir haben 60 und 60. Das kgV... 00:01:44.684 --> 00:01:47.689 ... wenn wir uns nur um das kleinste gemeinsame Vielfache von 15 und 6 kümmern würden, würden wir sagen... 00:01:47.797 --> 00:01:57.356 ... ist 30. Wir notieren das als Zwischenergebnis: das kgV von 15 und 6. Also sehen wir das kleinste gemeinsame Vielfache, 00:01:57.356 --> 00:02:06.526 das kleinste Vielfache, dass sie beide besitzen, hier drüben. 15 mal 2 ist 30 und 6 mal 5 ist 30. 00:02:06.605 --> 00:02:10.803 Das ist also definitiv ein gemeinsames Vielfaches und es ist das kleinste von allen ihren kgVs. 00:02:10.896 --> 00:02:16.325 60 ist auch ein gemeinsames Vielfaches, aber es ist größer. Dieses ist das kleinste gemeinsame Vielfache. Es ist also 30. 00:02:16.617 --> 00:02:22.862 Bisher haben wir noch nicht an die 10 gedacht. Also lass uns die 10 einsetzen. ich denke du siehst, wohin das führt. 00:02:22.923 --> 00:02:30.592 Lass uns die Vielfachen von 10 aufstellen. Sie sind 10, 20, 30, 40,... Wir haben schon genug, denn wir sind schon bis zur 30 gekommen 00:02:30.592 --> 00:02:38.973 und 30 ist ein gemeinsames Vielfaches von 15 und 6 und es ist das kleinste gemeinsame Vielfache von allen dreien. 00:02:39.158 --> 00:02:47.412 Es ist also eine Tatsache, dass das kgV von 15, 6 und 10 gleich 30 ist 00:02:47.489 --> 00:02:52.920 Das ist ein Weg das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden. Einfach die Vielfachen der Zahlen aufschreiben und vergleichen... 00:02:52.982 --> 00:02:57.333 ... und dann das kleinste Vielfache, das alle gemeinsam haben, ablesen. 00:02:57.333 --> 00:03:01.973 Ein anderer Weg ist, sich die Primfaktorzerlegung jeder dieser Zahlen anzusehen 00:03:02.044 --> 00:03:08.658 und das kgV ist die Zahl, die alle Elemente der Primfaktorzerlegung enthält, aber keine weiteren. 00:03:08.750 --> 00:03:14.422 Ich zeige dir, was ich damit meine. Du kannst das auf diesen Weg machen oder du kannst sagen, dass 15 00:03:14.422 --> 00:03:23.537 dass 15 das gleiche ist wie 3 mal 5. Und das war 's. Das ist die Primfaktorzerlegung. 15 ist 3 mal 5, da sowohl 3 als auch 5 Primzahlen sind. 00:03:23.614 --> 00:03:30.783 Man kann sagen, dass 6 das gleiche ist wie 2 mal 3. Das ist die Primfaktorzerlegung, da sowohl 2 als auch 3 Primzahlen sind. 00:03:30.783 --> 00:03:40.249 Und dann können wir auch sagen, dass 10 das gleiche ist wie 2 mal 5. Beide, 2 und 5, sind Primzahlen, also sind wir fertig mit dem Zerlegen. 00:03:40.249 --> 00:03:50.930 Das kgV von 15, 6 und 10 braucht also nur alle diese Primfaktoren 00:03:50.930 --> 00:03:55.599 Was ich meine ist... um durch 15 teilbar zu sein, 00:03:55.599 --> 00:04:03.672 muss die Primfaktorzerlegung der Zahl mindestens eine 3 und eine 5 enthalten. Es braucht also eine 3 und mindestens eine 5. 00:04:03.765 --> 00:04:09.599 Dadurch, dass die Primfaktorzerlegung 3 mal 5 enthält, gehen wir sicher, dass die Zahl durch 15 teilbar ist. 00:04:09.661 --> 00:04:18.451 Um durch 6 teilbar zu sein, muss die Primfaktorzerlegung mindestens eine 2 und eine 3 enthalten. Es braucht also mindestens eine 2 und wir haben hier schon eine 3, also haben wir, was wir brauchen. 00:04:18.574 --> 00:04:28.346 Wir brauchen nur eine 3. Also eine 2 und eine 3. Hier ist 2 mal 3, also ist es durch 6 teilbar und hier ist die 15. 00:04:28.946 --> 00:04:41.884 Und dann gehen wir sicher, dass wir unsere Zahl durch 10 teilen können, wir brauchen mindestens eine 2 und eine 5. Diese beiden hier, versichern uns, dass wir durch 10 teilen können. 00:04:42.083 --> 00:04:53.142 Und somit haben wir alle. 2 x 3 x 5 hat alle Primfaktoren, von jeweils 10, 6 oder 15. Also ist es das kgV. 00:04:53.142 --> 00:05:00.143 Wenn wir das ausmultiplizieren bekommen wir 2 x 3 ist 6, 6 x 5 ist 30. 00:05:00.143 --> 00:05:05.661 Beide Wege gehen. Hoffentlich sind sie für dich nachvollziehbar und du siehst, warum sie Sinn ergeben. 00:05:05.661 --> 00:05:13.193 Der zweite Weg ist etwas besser, wenn du versuchst, das für kompliziertere Zahlen zu machen.... 00:05:13.193 --> 00:05:16.702 Zahlen, bei denen du vielleicht wirklich lange multiplizieren müsstest. 00:05:16.702 --> 00:05:22.264 Aber letztendlich sind beides mögliche Wege, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden.