Cirklar: Radie, diameter och omkrets

Om att förstå förhållandet mellan radien, diametern och omkretsen för en cirkel.

Cirkeln är nog den mest fundamentala formen i vårt universum

Ovasett om du tittar på planeternas omloppsbanor,

hjul, eller saker på molekylnivå

Cirkeln dyker upp om och om igen

Så det är nog bra att känna till några av cirkelns egenskaper

Det första när folk upptäcker cirkeln

(det räcker att titta på månen för att hitta en cirkel)

Vad är egenskaperna?

Den första är att en cirkel

är alla punkter som är ekvidistanta från mitten

Alla de här punkterna på kanten

har samma avstånd från mitten

Så det första man kan fråga är

Vad är det avståndet?

Vi kallar det för radien

Radien av cirkeln

Det är bara avståndet från mitten till kanten

Om den radien är 3 cm så är den här radien 3 cm

Och den här radien kommer vara 3 cm

Den kommer aldrig försändras

Per definition är en cirkel alla punkter som är ekvidistanta från mittpunkten

Och det avståndet är radien

Nästa intressanta sak är

Hur tjock är cirkel?

Hur bred är den som bredast?

Om du vill skära den längs dess bredaste bredd

Hur längt är det avståndet?

Det måste inte vara just där

Jag kan lika gärna skära den så här

Men jag skulle inte skära den så här

För det skulle inte vara bredaste bredden

Det finns flera sätt jag kan skära den längs bredaste bredden

Vi såg just radien

Och vi ser att det bredaste strecket går genom mitten

och fortsätter

Så det är två radier

En radie här, och en radie här

Vi kallar det här avståndet för diametern

Det är cirkelns diameter

Och den har ett enkelt förhållande med radien

Diametern är lika med 2 gånger radien

Nästa intressanta sak som du kanske vill veta

är hur långt det är runt cirkeln

Så om du skulle mäta med måttband runt cirkeln så här

Vad är det avståndet?

Vi kallar det för omkretsen

Omkretsen av cirkeln

Vi vet hur diametern och radien hänger ihop

Men hur förhåller sig omkretsen till diametern?

Om vi har om vi har diametern är det lätt att få radien

För många tusen år sedan mätte folk omkretsar och radier

Och när de inte hade så bra måttband så fick de ungefär 3

Och de mätte radien och diametern av cirkeln

och diametern var ungefär 1

Vi vi veta förhållandet

(jag skriver såhär)

Förhållandet mellan omkretsen och diametern

Vi säger att någon hade den här cirkeln

och de mäter runt cirkeln med ett dåligt måttband

och fick ungefär 3 meter omkrets

och diametern ungefär 1

Så kanske förhållandet mellan omkrets och radie är 3

i så fall är omkretsen alltid 3 gånger diametern

Det var den här cirkeln

Men de mätte en annan cirkel

Så här, jag ritar den mindre

De mätte runt den

och fick omkretsen 6 cm, ungefär

Vi har ett dåligt måttband

Och de mätte diametern till ungefär 2 cm

Förhållandet mellan omkrets och diameter är ungefär 3 igen

Det var ju en trevlig egenskap hos cirklar

Kanske förhållandet mellan omkrets och radie alltid är samma!

För varje cirkel

Så de skaffade bättre måttband

och de mätte att diametern definitivt är 1

men omkretsen är närmare 3.1

Och samma här, det här förhållandet är närmare 3.1

Och de fortsatte mäta bättre och bättre

och insåg att de fick ett nummer, 3.14159...

och de fortsatte lägga till siffror

men det upprepade sig aldrig

Det var ett konstigt, fascinerande metafysiskt nummer

som fortsatte dyka upp

Och eftersom nummret var så fundamentalt för universum

eftersom cirkeln är så fundamental för universum

och det dök upp för varje cirkel

Förhållandet mellan omkretsen och diametern av cirkeln

var det här magiska numret

Så de gav det ett namn: pi

Man kan skriva det med en grekisk bokstav, så här

Det representerar det här numret

som nog är det mest fascinerande numret i världen

Det dyker först upp som förhållandet mellan omkretsen och diametern

Men du kommer att upptäcka på ditt matematiska äventyr

att det dyker upp överallt!

Det är en av de fundamentala grejerna i universum

som får en att tro att det finns en ordning med allt

Hur kan vi använda det här i vår vanliga matematik?

Vi vet, eller jag säger, att

förhållandet mellan omkretsen och diametern

När jag säger "förhållandet" menar jag

omkretsen delat med diametern

Då får du pi

Jag skulle kunna skriva 3.1415 och bara fortsätta

Men det vore slöseri av plats och svårt att använda

Så man skriver bara den här grekiska bokstaven istället

Så hur kan vi använda det här?

Vi kan multiplicera båda sidorna med diametern

Då får vi att omkretsen är lika med pi gånger diametern

Eller, eftersom diametern är 2 gånger radien

så kan vi säga att

omkretsen är lika med pi gånger 2 gånger radien

Eller, det vanligaste:

att den är lika med 2 pi r

Vi ser om vi kan använda det för att lösa problem

Vi har en cirkel, så här

och den har en radie som är 3

(låt mig skriva ner det)

Radien är 3 meter

Vad är omkretsen av cirkeln?

omkretsen är lika med 2 gånger pi gånger radien

2 gånger pi gånger 3 meter

vilket är lika med 6 pi meter

Jag kan multiplicera det här

Pi är bara ett nummer

Pi är 3.14159... och så vidare

Om jag multiplicerar 6 med det kanske jag får 18 komma något

Om du har en miniräknare kan du testa

Men för enkelhets skull skriver man bara med pi

Jag vet inte vad det är men om man multiplicerar det

får man ungefär 19 eller 18

Jag har inte min räknare

Men istället för att skriva det skriver vi 6 pi

(Det är nog mindre än 19)

Vad är diametern av cirkeln?

Om radien är 3 så är diametern 3 gånger 2

eller 3 plus 3, vilket är 6

Omkretsen är 6 pi meter

Diametern är 6 meter

Radien är 3 meter

Låt oss säga att vi har en annan cirkel

Och jag säger att omkretsen är lika med 10 meter

Om du skulle mäta runt med måttband

Och någon frågar: Vad är diametern?

Vi vet att diametern gånger pi

att pi gånger diametern

är lika med omkretsen

den är lika med 10 meter

För att lösa det här delar vi båda sidor med pi

Diametern är 10 meter delat med pi

och det är bara ett nummer

Om du har en räknare kan du dela 10 med 3.14159

då får du 3 komma någonting

Jag kan inte räkna ut det i huvudet

Men det här är bara ett nummer

För enkelhetens skull lämnar vi det ofta bara så här

Vi vill ha radien

Radien är hälften av diametern

Det här är 10 genom pi

Vi vill bara ha hälften, bara radien

så vi multiplicerar det med 1/2

1/2 gånger 10/pi är lika med

hälften av 10 genom pi

Vi får 5 delat med pi

Radien är 5/pi

Inget superkrångligt

Det jag tror förvirrar folk är att inse att pi är ett nummer

Pi är bara 3.14159... och bara fortsätter

Det finns tusentals böcker om pi

Jag kanske överdriver

Man kan skriva böcker om det här talet

Men det är bara ett tal!

Det är ett väldigt speciellt tal

och om du vill skriva det som du är van vid

kan du bara multiplicera ihop det

För det mesta skriver man med pi-symboeln

Jag slutar där

Och i nästa video pratar vi om arean av en cirkel