V elementárnej aritmetike
počítame s číslami.
Vidíme 23 + 5
a vieme,čo tieto čísla znamenajú, takže
príklad môžeme spočítať.
Výsledok bude 28.
Môžeme povedať 2 krát 7.
Alebo povedzme 3 deleno 4.
Vo všetkých týchto prípadoch vieme presne,
s akými číslami pracujeme.
Akonáhle vstúpime do sveta algebry,
a možno ste sa s tým už stretli,
začíname počítať s premennými.
Premenné si môžete predstaviť mnohými
spôsobmi, ale sú to vlastne len
čísla,ktoré sa vo výraze
môžu meniť.
Hodnota čísla vo výrazoch sa môže meniť.
Takže napríklad, ak napíšem,
x + 5
toto sa nazýva výraz.
Ten môže nadobudnúť nejakú hodnotu v závislosti
na tom, akú hodnotu má x.
Ak sa x rovná 1,
potom v tomto našom výraze x + 5
sa bude x rovnať 1,
pretože x je teraz 1.
Bude to teda 1 + 5
Takže x + 5 sa bude rovnať 6.
Ak x bude napríklad -7,
potom x + 5 sa bude rovnať,
keď je x rovné -7,
bude to -7+5.
Takže si všimnite,že
x je premenná,
ktorej hodnota sa môže meniť podľa okolností
v rámci daného výrazu.
A to isté bude platiť aj pri rovniciach.
Je dôležité si uvedomiť
rozdiel medzi výrazom a rovnicou.
Výraz je v skutočnosti len tvrdenie
o hodnote, tvrdenie o nejakej hodnote veličiny.
Takže toto je VÝRAZ.
A výraz vyzerá takto.
Vlastne sme ho pred chvíľou púoužívali.
x + 5
Hodnota tohto výrazu sa bude meniť
v závislosti na hodnote premennej.
A mohli by ste si vypočítať hodnoty výrazov pre rôzne
Ďalší výraz by mohol byť
napríklad y + z
Teraz sú všetky prvky výrazu premenné.
Pokiaľ y = 1 a z = 2,
potom to bude 1+2.
Pokiaľ y = 0 a z = -1,
potom to bude 0 + (-1).
Tieto výrazy môžu byť vypočítané a v podstate
udávajú hodnotu v závislosti
na hodnotách jednotlivých premenných,
ktoré výraz tvoria.
V rovniciach v postate definujete
rovnosť výrazov.
Práve preto sa im hovorí rovnice.
Je tým povedané, že dve veci sa rovnajú.
V rovnici uvidíte, že sa jede výraz rovná
druhému výrazu.
Napríklad by sme mohli tvrdiť,že
x + 3 = 1
A v prípade, že máte jednu rovnicu,
iba s jednou pre mennou,
tak môžeme vypočítať, čomu sa x musí rovnať,
aby rovnica platila.
A mohli by ste to zvládnuť i z hlavy.
Aké číslo plus 3 je rovné 1?
To by ste z hlavy mohli spočítať.
Ak mám -2 + 3, tak je to 1.
Takže rovnica vlastne obmedzuje to, aké hodnoty
môže naša premenná nadobúdať.
Ale nemusí ju nutne obmedzovať natoľko.
Môžete mať napríklad
x + y +z = 5
Máte teda výraz, ktorý sa
rovná inému výrazu.
Päťka vpravo je tiež výraz.
A sú tu nejaké obmedzenia.
Ak vám niekto povie, koľko je y a z, potom môžete
spočítať koľko je x.
Ak vám niekto povie, koľko je x a y, potom
je tým vlastne určená hodnota z.
Záleží teda na rôznych okolnostiach.
Napríklad
ak je y = 3 a z=2,
Koľko potom bude x?
Teda ak y = 3 a z=2
potom budete mať
na ľavej strane výraz
x + 3 + 2
čo je x + 5
pravá strana je 5
x + 5 = 5
Akáé číslo plus 5 sa bude rovnať 5?
Teraz vidíme, že x nemôže mať ľubovoľnú
hodnotu... x musí byť
rovné 0.
Ale dôležité je,
že ste si snáď uvedomili rozdiel
medzi VÝRAZOM a ROVNICOU.
V rovnici v podstate
dávate dva výrazy do rovnosti.
Dôležitá vec, ktorú by ste si z tejto lekcie mali odniesť
je, že premenná môže nadobúdať rôzne hodnoty
v závislosti na príklade.
A aby sa nám to dostalo do hlavy,
tak spočítame pár výrazov,
kde premenné nadobúdajú rôzne hodnoty.
Napríklad, ak máme výraz,
ak máme výraz
x na y, teda mocninu x.
Ak je x rovné 5, x = 5
a y sa rovná 2
y = 2,
potom náš výraz po dosadení bude,
x bude 5
x=5
y bude 2
bude to druhá mocnina 5,
teda to bude
25.
Ak sa zmenia hodnoty,
pokiaľ by sme chceli,
... urobíme to rovnakou farbou...
ak by sme povedali x sa rovná.. x sa rovná -2
a y... a y sa rovná 3,
potom tento výraz bude po dosadení
zodpovedať ... urobím to touto farbou...
bude zodpovedať -2
a keď to dosadíme za x
v tejto rovnici
a y je teraz 3,
-2 na tretiu... tretia mocnina -2
to je (-2) krát (-2) krát (-2)
čo je -8.
-2 krát -2 je +4
krát -2 je -8
je to rovné -8.
Vidíte teda, že v závislosti na týchto hodnotách
a mohli by sme počítať...
Mohli by sme mať výraz ako,
odmocnina z výrazu (x + y) mínus x
Ak sa x rovná... povedzme, že x = 1
a y... y bude rovné 8,
potom by tento výraz zodpovedal...
...za všetky x...
takže tu by sme mali 1
a tu by tiež bola1
a za všetky y by sme
dosadili 8.
Skrátka dosadzujeme za premenné,
takže tu by sme mali 8.
Pod odmocninou by sme potom mali
1 + 8, teda odmocninu z 9.
Celý výraz by sa po dosadení zjednodušil.
Premenné sa rovnajú týmto hodnotám
a celý tento výraz sa teda zjednoduší na 3
1 plus 8 je 9
a druhá odmocnina z 9 je3,
potom by sme teda mali 3-1
čo sa rovná 2.