ลองดูตัวอย่างกันดีกว่า

แค่ให้เรามั่นใจว่าเราเข้าใจฟังก์ชันตรีโกณฯ นี่ดีพอ

ลองสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากขึ้นมา

ลองสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากขึ้นมา

ผมอยากให้มันชัดเจน

วิธีที่ผมนิยามมันขึ้นมา, มันใช้ได้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น

หากคุณพยายามหาฟังก์ชันตรีโกณฯ ของมุมที่ไม่ได้อยู่ในสามเหลี่ยมมุมฉาก,

เราจะเห็นว่าเราต้องสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากก่อน,

แต่ตอนนี้ดูแค่สามเหลี่ยมมุมฉากก่อนนะ

สมมุติว่าผมมีสามเหลี่ยม

โดยสมมุติว่าความยาวนี่ตรงนี้คือ 7,

และสมมุติว่าความยาวด้านนี่บนนี้,

สมมุติว่ายาว 4

ลองหาว่าด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นเท่าไหร่

เรารู้ว่า -- เรียกด้านตรงข้ามมุมฉากว่า 'h' แล้วกัน --

เรารู้ว่า h กำลังสอง จะเท่ากับ 7 กำลังสอง บวก 4 กำลังสอง

เรารู้มาจากทฤษฎีบทปีทาโกรัส

ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากกำลังสอง เท่ากับ

กำลังสองของแต่ละด้าน ผลรวมของแต่ละด้านที่เหลือกำลังสอง

h กำลังสอง เท่ากับ 7 กำลังสอง บวก 4 กำลังสอง

นี่ก็เท่ากับ 49 บวก 16

49 บวก 16

49 บวก 10 คือ 49, บวก 6 ได้ 65

มันคือ 65

ขอผมเขียนลงไปนะ: h กำลังสอง -- นั่นคืดสีเหลืองอีกแบบนึง --

เราได้ h กำลังสอง เท่ากับ 65

ผมทำถูกไหม? 49 บวก 10 ได้ 59, บวก 6 อีก ได้ 65,

หรือเราอาจบอกว่า h เท่ากับ, หากเราใส่สแควร์รูททั้งสองข้าง,

สแควร์รูท

สแควร์รูทของ 65 แล้วเราทำต่อไปไม่ได้อีก

นี่คือ 13

นี่เหมือนกับ 13 คูณ 5,

ทั้งสองตัวนี้ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ และ

ทั้งคู่ก็เป็นจำนวนเฉพาะ คุณเลยลดรูปมันอีกไม่ได้แล้ว

นี่เลยเท่ากับสแควร์รูทของ 65

ทีนี้ลองหาตรีโกณฯ, ลองหาฟังก์ชันตรีโกณฯ สำหรับมุมนี่ตรงนี้กัน

เรียกมุมบนนี้ว่า ทีต้า นะ

เมื่อไหร่ก็ตามที่คุณทำ

คุณควรเขียนลงไป -- อย่างน้อยสำหรับผม ควรเขียนลงไป --

"SOH CAH TOA"

SOH...

...SOH CAH TOA ผมจำได้เลือนราง

จากครูสอนตรีโกณมิติของผม

บางทีผมอาจจำมาจากหนังสือ ไม่รู้สิ -- คุณก็รู้, พวก...

เจ้าชายอินเดียชื่อ "SOH CAH TOA" หรืออะไรก็ช่าง,

แต่มันวลีช่วยจำที่มีประโยชน์,

เราก็ใช้ "SOH CAH TOA"

ลองหา, สมมุติว่าเราอยากหาโคไซน์

เราอยากหาโคไซน์ของมุมนี้

เราอยากหาโคไซน์ของมุมนี้, คุณก็บอกว่า "SOH CAH TOA!"

งั้น "CAH", "CAH" บอกเราว่าจะคิดโคไซน์ยังไง

"CAH" บอกเราว่า

โคไซน์คือด้านประชิดส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์เท่ากับด้านประชิดส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก

ลองดูตรงนี้ที่ทีต้า, ด้านไหนคือด้านประชิด?

เรารู้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก,

เรารู้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านนี่ตรงนี้

มันเป็นด้านนั้นไม่ได้ อีกด้านก็อยู่ชิดกับมัน เลยไม่ใช่

ด้านตรงข้ามมุมฉาก, คือ 4 นี่

ดังนั้นด้านประชิดตรงนี้, ด้านนั่น,

มันก็คือด้านที่ติดกับมุม

มันคือด้านด้านหนึ่งที่ประกอบเป็นมุม

มันคือ 4 ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก

เรารู้แล้วว่าด้านตรงข้ามมุมฉากคือสแควร์รูทของ 65

มันก็คือ 4 ส่วนสแควร์รูทของ 65

บางครั้งคนชอบให้คุณทำส่วนเป็นตรรกยะ ซึ่งหมายความว่า

เขาไม่ชอบให้เลขอตรรกยะอยู่เป็นตัวส่วน

อย่างเช่นสแควร์รูทของ 65

และหากเขา -- หากคุณอยากเขียนนี่ใหม่โดยไม่ให้ตัวส่วนเป็นอตรรกยะ,

คุณก็คูณทั้งเศษและส่วน

ด้วยสแควร์รูทของ 65

นี่จะไม่เปลี่ยนค่าตัวเลช

เพราะเราคูณมันด้วย อะไรสักอย่างส่วนตัวเอง,

มันเลยเหมือนคุณด้วยหนึ่ง

มันไม่เปลี่ยนเลข, แต่อย่างน้อยมันกำจัดเลขอตรรกยะในตัวส่วน

ตัวเศษจะกลายเป็น

4 คูณสแควร์รูทของ 65

และตัวส่วน, สแควร์รูทของ 65 คูณสแควร์รูทของ 65, จะเท่ากับ 65

เราไม่ได้กำจัดเลขอตรรกยะ, มันยังอยู่, แต่ตอนนี้มันอยู่ที่ตัวเศษ

ทีนี้ลองดูฟังก์ชันตรีโกณฯ อื่น

หรืออย่างน้อยก็ฟังก์ชันตรีโกณฯ พื้นฐานตัวอื่นกัน

เราจะเรียนต่อไปว่ามันยังมีอีกเยอะ

แต่พวกมันมาจากเจ้าพวกนี้

ลองนึกว่าไซน์ของทีต้าคืออะไร เหมือนเดิม ดูที่ "SOH CAH TOA"

"SOH" บอกวิธีจัดการไซน์ ไซน์คือ ตรงข้าม ส่วน ตรงข้ามมุมฉาก

ไซน์เท่ากับด้านตรงข้ามส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก

ไซน์คือ ข้าม ส่วน ฉาก

สำหรับมุมนี้ ด้านไหนคือด้านตรงข้าม?

เราแค่ไปตรงข้าม, มันเปิดไปหา, มันตรงข้ามกับ 7

งั้นด้านตรงข้ามคือ 7

นี่คือ, ตรงนี้ -- นั่นคือด้านตรงข้าม

แล้วด้านตรงข้ามมุมฉาก, มันอยู่ตรงข้ามมุมฉาก

ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ สแควร์รูทของ 65

สแควร์รูทของ 65

เหมือนเดิม หากเราทำส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ,

เราก็คูณมันด้วยสแควร์รูทของ 65 ส่วนสแควร์รูทของ 65

และตัวเศษ, เราจะได้ 7 ส่วนสแควร์รูทของ 65

แล้วตัวส่วน เราจะได้ 65 เหมือนเดิม

ทีนี้ลองทำแทนเจนต์กัน!

ลองหาแทนเจนต์กัน

หากผมถามคุณว่าแทนเจนต์

แทนเจนต์ของทีต้า

เหมือนเดิม กลับไปที่ "SOH CAH TOA"

TOA บอกเราว่าทำยังไงกับแทนเจนต์

มันบอกเราว่า...

มันบอกเราว่าแทนเจนต์

เท่ากับด้านตรงข้าม ส่วนด้านประชิด

เท่ากับด้านตรงข้าม ส่วน

ด้านตรงข้าม ส่วน ด้านประชิด

สำหรับมุมนี้, ด้านตรงข้ามคืออะไร? เราหาไปแล้ว

มันคือ 7, มันเปิดหาด้าน 7

มันตรงข้ามกับ 7

มันก็คือ 7 ส่วนด้วย ด้านไหนคือด้านประชิด

4 นี่คือด้านประชิด

4 นี่คือชิด ด้านประชิดก็คือ 4

มันเลยเป็น 7 ส่วน 4,

แล้วเราก็ได้แล้ว

เราหาอัตราส่วนตรีโกณฯ ทั้งหมดของทีต้าได้แล้ว ลองทำอีกอันนึง

ลองดูอีกตัวอย่างนึง

ผมจะทำให้มันชัดเจนกว่านี้หน่อย เพราะตอนนี้เราบอกว่า,

"โอ้, แทนเจนต์ของ x คืออะไร แทนเจนต์ของทีต้าคืออะไร" ลองดูตัวอย่างที่เจาะจงกว่านี้ดีกว่า

สมมุติว่า...

สมมุติว่า, ขอผมวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากอีกอันนึง

นั่นคือสามเหลี่ยมมุมฉากอีกอันตรงนี้

ทุกอย่างที่เราสนใจ, นี่จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

สมมุติว่าด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 4,

สมมุติว่าด้านนี่ตรงนี้ยาว 2,

และสมมุติว่าความยาวตรงนี้เป็น 2 เท่าของสแควร์รูท 3

เราทดสอบได้ว่ามันจริงหรือเปล่า

หากคุณเอาด้านนี้กำลังสอง, แล้วได้ -- ขอผมเขียนลงไปนะ --

2 คูณสแควร์รูทของ 3 กำลังสอง

บวก 2 กำลังสอง, เท่ากับอะไร?

นี่คือ 2 มันจะได้ 4 คูณ 3

4 คูณ 3 บวก 4,

นี่จะเท่ากับ 12 บวก 4 เท่ากับ 16

และ 16 ก็คือ 4 กำลังสอง นี่ก็เท่ากับ 4 กำลังสอง

มันเท่ากับ 4 กำลังสอง มันเลยเป็นไปตามทฤษฎีบทปีทาโกรัส

หากคุณจำที่คุณทำไว้ทำสามเหลี่ยม 30 60 90

คุณอาจเรียนในเรขาคณิต

คุณอาจจำได้ว่านี่คือ สามเหลี่ยม 30 60 90

นี่ตรงนี้คือสามเหลี่ยมมุมฉาก,

ผมควรวาดมันจากตรงนี้เพื่อให้เห็นว่านี่คือสามเหลี่ยมมุมฉาก --

มุมนี่ตรงนี้ คือมุม 30 องศา

และมุมนี่ตรงนี้, มุมนี่บนนี้คือ

60 องศา,

และมันคือ 30 60 90 เพราะ

ด้านตรงข้ามมุม 30 องศา เป็นครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก

และด้านตรงข้ามมุม 60 องศา เป็น สแควร์รูท 3 เท่าของอีกด้าน

ที่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก

ตามที่บอก, เราจะไม่ --

นี่ไม่ใช่การทบทวนสามเหลี่ยม 30 60 90 องศา แม้ว่าผมเพิ่งทำไป

ลองหาอัตราส่วนตรีโกณฯ สำหรับมุมต่าง ๆ กัน

หากผมถามคุณ หรือใครก็ตามถามคุณว่า

ไซน์ของ 30 องศาเป็นเท่าไหร่?

จำไว้ว่า 30 องศาเป็นหนึ่งในมุมของสามเหลี่ยมนี้ แต่มันใช้ได้

เมื่อใดก็ตามที่คุณมีมุม 30 องศา และคุณยุ่งกับสามเหลี่ยมมุมฉาก

เราจะได้นิยามที่ทั่วไปกว่านี้ในอนาคต แต่หากคุณบอกว่า ไซน์ของ 30 องศา,

เฮ้, มุมนี่ตรงนี้คือ 30 องศา ผมเลยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากนี่

เราแค่ต้องจำ "SOH CAH TOA"

เราเขียนมันใหม่ SOH, CAH, TOA

"ไซน์บอกเรา" (แก้ไข) SOH บอกเราว่าให้ทำยังไงกับไซน์ ไซน์คือตรงข้ามส่วนตรงข้ามมุมฉาก

ไซน์ของ 30 องศา คือด้านตรงข้าม,

นั่นคือด้านตรงข้าม เท่ากับ 2 ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก

ด้านตรงข้ามมุมฉาก คือ 4

มันคือ 2 ส่วน 4 ซึ่งเท่ากับ ครึ่งหนึ่ง พอดี

ไซน์ของ 30 องศา คุณจะเห็นว่าเท่ากับ ครึ่งหนึ่ง พอดี

ทีนี้โคไซน์เป็นเท่าไหร่?

โคไซน์ของ 30 องศา คืออะไร?

เหมือนเดิม กลับไปที่ "SOH CAH TOA"

CAH บอกเราว่าทำยังไงกับโคไซน์

โคไซน์คือ ประชิด ส่วน ตรงข้ามมุมฉาก

เมื่อดูจากมุม 30 องศา มันคือด้านประชิด

นี่, ใช่, ตรงนี้คือด้านประชิด มันอยู่ติดกัน

มันไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก มันคือด้านประชิดส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก

มันเลยเป็น 2 สแควร์รูท 3

ประชิดส่วน... ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก, ส่วน 4

หรือหากเราจัดรูป, เราหารทั้งเศษและส่วนด้วย 2

มันคือสแควร์รูทของ 3 ส่วน 2

สุดท้าย, ลองหาแทนเจนต์กัน

แทนเจนต์ของ 30 องศา,

เรากลับไปที่ "SOH CAH TOA"

SOH CAH TOA

TOA บอกเราว่าทำยังไงกับแทนเจนต์ มันคือตรงข้าม ส่วนประชิด

คุณก็ไปที่ มุม 30 องศา เพราะนั่นคือสิ่งที่เราสนใจ, แทนเจนต์ของ 30

แทนเจนต์ของ 30 ตรงข้ามคือ 2

ตรงข้ามคือ 2 และประชิดคือ 2 สแควร์รูทของ 3

มันอยู่ติดกัน มันประชิดกับมุมนั้น

ประชิดหมายถึงติดกัน

งั้น 2 สแควร์รูทของ 3

นี่ก็เท่ากับ,,, 2 ตัดกัน

1 ส่วนสแควร์รูท 3

หรือเราอาจคูณทั้งเศษและส่วนด้วยสแควร์รูท 3

เราก็ได้สแควร์รูท 3 ส่วนสแควร์รูท 3

แล้วนี่จะเท่ากับตัวเศษ สแควร์รูท 3 แล้ว

ตัวส่วนตรงนี้จะเป็น 3

นั่นคือเราได้ทำส่วนเป็นตรรกยะ ได้ สแควร์รูทของ 3 ส่วน 3

ใช้ได้

ทีนี้ลองใช้สามเหลี่ยมเดิมนี้ หาอัตราส่วนตรีโกณฯ ของมุม 60 องศา

เพราะเราวาดมันไปแล้ว

ทีนี้อะไร... ไซน์ของ 60 องศาคืออะไร?

ผมว่าคุณคงเริ่มคุ้นแล้ว

ไซน์คือ ข้าม ส่วน ชิด SOH มาจาก "SOH CAH TOA"

สำหรับมุม 60 องศา ด้านไหนคือด้านตรงข้าม?

มันเปิดไปหา 2 สแควร์รูท 3

ดังนั้นด้านตรงข้ามคือ 2 สแควร์รูทของ 3,

จากมุม 60 องศา ประชิด โอ้ โทษที

มันคือข้ามส่วนฉาก, ไม่อยากให้คุณงงเลย

มันคือด้านตรงข้ามส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก

มันก็คือ 2 สแควร์รูทของ 3 ส่วน 4, 4 คือด้านตรงข้ามมุมฉาก

มันจะเท่ากับ, มันทอนลงเหลือสแควร์รูทของ 3 ส่วน 2

แล้วโคไซน์ของ60 องศาล่ะ? โคไซน์ของ 60 องศา

จำไว้ "soh cah toa" โคไซน์คือประชิดส่วนฉาก

ประชิดมีสองด้าน, อันที่ติดกับมุม 60 องศา

มันก็คือ 2 ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก คือ 4

นี่เลยเท่ากับ ครึ่งหนึ่ง

แล้วสุดท้าย, แทนเจนต์คืออะไร?

แทนเจนต์ของ 60 องศาคืออะไร?

แทนเจนต์ "soh cah toa" แทนเจนต์คือ ข้าม ส่วน ชิด

ตรงข้าม 60 องศา

คือ 2 สแควร์รูทของ 3

2 สแควร์รูท 3

และที่ติดกัน

ด้านประชิด คือ 2

ประชิดกับมุม 60 องศา คือ 2

งั้นตรงข้ามส่วนประชิด, 2 สแควร์รูทของ 3 ส่วน 2

ซึ่งเท่ากับ สแควร์รูทของ 3

ผมแค่อยากให้ - ดูว่ามันเกี่ยวข้องกันอย่างไร -

ไซน์ของ 30 องศา เท่ากับโคไซน์ของ 60 องศา

โคไซน์ของ 30 องศา เท่ากับไซน์ของ 60 องศา

แล้วพวกนี้เป็นอินเวอร์สของกันและกัน

ผมว่าหากคุณคิดถึงสามเหลี่ยมนี่หน่อย

มันจะเริ่มเชื่อมโยงกันว่าทำไม

เราจะทำพวกนี้ต่อ

ให้คุณฝึกทำเยอะ ๆ ในวิดีโอต่อ ๆ ไป