0:00:00.800,0:00:03.017 Po prostu zróbmy całe mnóstwo przykładów, 0:00:03.017,0:00:07.036 aby być pewnym, że rozumiemy dobrze[br]funkcje trygonometryczne. 0:00:07.036,0:00:11.447 Skonstruujmy nieco [br]trójkątów prostokątnych. 0:00:11.447,0:00:13.668 Skonstruujmy kilka [br]trójkątów prostokątnych 0:00:13.668,0:00:15.186 bo chcę, żeby było to jasne, 0:00:15.186,0:00:18.042 że ten sposób działa jedynie[br]w trójkątach prostokątnych, 0:00:18.042,0:00:23.475 Jeśli próbujemy wyznaczyć funkcje [br]trygonometryczne w innych trójkątach, 0:00:23.475,0:00:25.704 to musimy skonstruować[br]trójkąty prostokątne, 0:00:25.704,0:00:27.867 Skupmy się więc na [br]trójkątach prostokątnych. 0:00:27.867,0:00:31.344 Powiedzmy, że mamy trójkąt, 0:00:31.344,0:00:33.897 w którym ta długość wynosi siedem 0:00:33.897,0:00:37.757 i powiedzmy, że długość tego boku 0:00:37.757,0:00:39.452 wynosi cztery. 0:00:39.452,0:00:42.516 Zauważmy, czym będzie przeciwprostokątna tutaj. Wiemy, że 0:00:42.516,0:00:45.720 — nazwijmy przeciwprostokątną „h” — 0:00:45.720,0:00:52.200 wiemy, że h do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 7 do kwadratu, 0:00:52.200,0:00:55.194 wiemy z twierdzenia Pitagorasa, 0:00:55.194,0:00:57.469 że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy 0:00:57.469,0:01:01.974 sumie kwadratów 0:01:01.974,0:01:04.533 pozostałych dwóch boków. 8 do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 4 do kwadratu. 0:01:04.533,0:01:09.776 Jest to równe 49 0:01:09.776,0:01:11.800 49 + 16, 0:01:11.800,0:01:18.553 49 + 10 wynosi 59, dodać 6 wynosi 0:01:18.553,0:01:21.107 65. A więc h podniesione do kwadratu 0:01:21.107,0:01:25.705 napiszmy: h do kwadratu 0:01:25.705,0:01:28.818 — to inny odcień żółtego — a więc h do kwadratu jest równe 0:01:28.818,0:01:33.533 65. Czy zrobiłem to poprawnie? 49 dodać 10 wynosi 59, dodać jeszcze 6 0:01:33.533,0:01:37.600 wynosi 65; możemy powiedzieć, że jest równe h jeżeli wyciągniemy pierwiastek kwadratowy 0:01:37.600,0:01:39.200 Pierwiastek kwadratowy 0:01:39.200,0:01:42.933 pierwiastek kwadratowy z 65. I naprawdę nie musimy tego wcale upraszczać 0:01:42.933,0:01:44.699 to jest 13 0:01:44.699,0:01:47.463 to to samo co 13 razy 5, 0:01:47.463,0:01:50.388 obydwie nie są kwadratami 0:01:50.388,0:01:51.804 oraz obydwie są liczbami pierwszymi, więc nie można uprościć zapisu bardziej. 0:01:51.804,0:01:55.467 Więc jest to równe pierwiastkowi kwadratowemu 0:01:55.467,0:02:02.114 Teraz znajdźmy funkcje trygonometryczne tego oto kąta. 0:02:02.114,0:02:05.457 Nazwijmy ten kąt theta. 0:02:05.457,0:02:06.533 Zawsze kiedy to robicie 0:02:06.533,0:02:09.467 możecie zanotować — a przynajmniej u mnie to działa — 0:02:09.467,0:02:11.714 „soh cah toa”. 0:02:11.714,0:02:13.120 soh... 0:02:13.120,0:02:16.464 ...soh cah toa. Mam niejasne wspomnienia 0:02:16.464,0:02:18.786 mojego 0:02:18.786,0:02:21.293 nauczyciela trygonometrii, być może przeczytałem to w jakiejś książce, nie wiem — jakaś 0:02:21.293,0:02:23.867 jakaś indiańska księżniczka nazywana „soh cah toa” lub jakoś tak, ale to bardzo przydatny 0:02:23.867,0:02:26.123 skrót pamięciowy, 0:02:26.123,0:02:27.564 więc zastosujmy „soh cah toa”. Znajdźmy 0:02:27.564,0:02:31.046 powiedzmy, że chcemy znaleźć cosinus. 0:02:31.046,0:02:34.436 Chcemy znaleźć cosinus naszego kąta. 0:02:34.436,0:02:37.965 Chcemy znaleźć cosinus naszego kąta, mówimy: „soh cah toa!” 0:02:37.965,0:02:40.800 Więc „cah”. „Cah” mówi nam, co zrobić z cosinusem, 0:02:40.800,0:02:43.027 część „cah” mówi nam, 0:02:43.027,0:02:46.371 że cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej (ang. adjacent) do kąta do przeciwprostokątnej. [ang. adjacent, hypotenuse — stąd cah] 0:02:46.371,0:02:51.433 Cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej do kąta 0:02:51.433,0:02:55.798 Spójrzmy na kąt theta. Którym bokiem jest przyprostokątna przyległa? 0:02:55.798,0:02:57.702 Wiemy, że przeciwprostokątna 0:02:57.702,0:03:00.767 wiemy, że przeciwprostokątna jest tutaj, z tej strony, 0:03:00.767,0:03:04.761 więc to nie może być ten bok. Jedynym innym bokiem, który jest przyległy do kąta i który 0:03:04.761,0:03:07.133 nie jest przeciwprostokątną, jest ten o długości 4. 0:03:07.133,0:03:10.473 A więc przyprostokątna przyległa jest tutaj, 0:03:10.473,0:03:14.374 jest dokładnie obok kąta, 0:03:14.374,0:03:15.754 jest jednym z boków tworzących kąt. 0:03:15.754,0:03:17.133 Jest równa 4 0:03:17.133,0:03:21.108 Wiemy już, że przeciwprostokątna jest pierwiastkiem kwadratowym z 65, więc cosinus wynosi 4 0:03:21.108,0:03:25.380 podzielone przez 0:03:25.380,0:03:29.142 Czasem potrzebne jest uproszczenie mianownika, co oznacza, że 0:03:29.142,0:03:32.625 w mianowniku nie powinna znaleźć się liczba niewymierna, 0:03:32.625,0:03:35.227 jak pierwiastek z 65. 0:03:35.227,0:03:39.359 Jeśli jest taka konieczność — jeżeli chcemy przekształcić wyrażenie 0:03:39.359,0:03:41.634 usuwając niewymierność z mianownika, można pomnożyć licznik i mianownik 0:03:41.634,0:03:43.306 przez pierwiastek kwadratowy z 65. 0:03:43.306,0:03:45.094 To oczywiście nie zmieni wartości, ponieważ 0:03:45.094,0:03:48.122 mnożymy wyrażenie przez liczbę podzieloną przez siebie samą, więc 0:03:48.122,0:03:49.111 w istocie mnożymy przez 1. 0:03:49.111,0:03:52.780 To nie zmieni wartości, ale pozbywamy się niewymierności z mianownika. 0:03:52.780,0:03:54.127 Licznik przyjmie postać 0:03:54.127,0:03:57.800 4 razy pierwiastek z 65, 0:03:57.800,0:04:03.461 a mianownik pierwiastek z 65 razy pierwiastek z 65, czyli po prostu 65. 0:04:03.461,0:04:07.130 Nie pozbyliśmy się liczby niewymiernej, cały czas tu jest, ale teraz w liczniku. 0:04:07.130,0:04:09.777 Zajmijmy się teraz innymi funkcjami trygonometrycznymi, 0:04:09.777,0:04:12.401 a przynajmniej innymi podstawowymi funkcjami trygonometrycznymi. 0:04:12.401,0:04:14.399 Nauczymy się w przyszłości wielu z nich, 0:04:14.399,0:04:15.443 ale one wszystkie pochodzą z funkcji podstawowych, 0:04:15.443,0:04:19.733 więc pomyślmy, co jest znakiem theta. Jeszcze raz wróćmy do „soh cah toa”. 0:04:19.733,0:04:25.474 „Soh” mówi, jak uzyskać sinus. Sinus to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej. [ang. opposite, hypotensue — „soh”] 0:04:25.474,0:04:29.200 Sinus jest równy 0:04:29.200,0:04:31.372 stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej. 0:04:31.372,0:04:34.390 Który bok jest przyprostokątną przeciwległą dla tego kąta? 0:04:34.390,0:04:38.430 Po prostu patrzymy naprzeciwko, na co otwiera się kąt, jest on naprzeciwko boku o długości 7, 0:04:38.430,0:04:41.200 a więc przyprostokątną przeciwległą jest bok długości 7. 0:04:41.200,0:04:44.468 Właśnie tutaj — to jest przyprostokątna przeciwległa, 0:04:44.468,0:04:47.800 a następnie 0:04:47.800,0:04:51.109 przeciwprostokątna, to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątna ma długość 0:04:51.109,0:04:52.966 Pierwiastek kwadratowy z sześćdziesiąt pięć 0:04:52.966,0:04:55.133 Ponownie, jeśli chcielibyśmy usunąć niewymierność z mianownika, moglibyśmy pomnożyć wartość pierwiastek z 65 0:04:55.133,0:04:59.933 podzielony przez pierwiastek z 65 0:04:59.933,0:05:04.298 i w liczniku otrzymamy wtedy siedem pierwiastków z 65, a w mianowniku po prostu 0:05:04.298,0:05:07.966 ponownie 65. 0:05:07.966,0:05:10.474 Teraz zajmijmy się tangensem! 0:05:10.474,0:05:12.796 Zajmijmy się tangensem. 0:05:12.796,0:05:14.793 Jeżeli mielibyśmy obliczyć tangens 0:05:14.793,0:05:17.394 tangens kąta theta, 0:05:17.394,0:05:20.784 wracamy ponownie do soh cah 0:05:20.784,0:05:23.106 toa, fragment toa mówi nam, jak uzyskać tangens. 0:05:23.106,0:05:24.800 Mówi on nam, 0:05:24.800,0:05:27.053 mówi nam, że tangens 0:05:27.053,0:05:29.867 jest równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przyległej. Przeciwległej 0:05:29.867,0:05:33.137 do 0:05:33.137,0:05:35.867 przyprostokątnej przeciwległej do przyległej, [ang. opposite, adjacent] 0:05:35.867,0:05:38.709 więc dla tego kąta 0:05:38.709,0:05:41.124 wiemy już, że przyprostokątna przeciwległa to bok o długości 7, kąt jest naprzeciw boku 0:05:41.124,0:05:42.533 o długości 7, 0:05:42.533,0:05:46.372 więc to bok o długości 7 0:05:46.372,0:05:48.200 Cóż, ten o długości 4 jest przyległy 0:05:48.200,0:05:51.295 bok o długości 4 jest przyległy, więc przyprostokątna przyległa to bok długości 4. 0:05:51.295,0:05:54.330 A więc jest to 7 0:05:54.330,0:05:56.133 I zakończyliśmy. 0:05:56.133,0:05:59.375 Wyliczyliśmy wszystkie wartości dla kąta theta, zabierzmy się za następny. 0:05:59.375,0:06:00.416 Zabierzmy się za następny. 0:06:00.416,0:06:02.719 Zrobię to bardziej konkretnie, bo teraz mówiłem o 0:06:02.719,0:06:06.434 tangensie x, tangensie theta. Zróbmy to dla konkretnej wartości. 0:06:06.434,0:06:08.431 Powiedzmy 0:06:08.431,0:06:10.799 Powiedzmy, że narysuję kolejny trójkąt prostokątny 0:06:10.799,0:06:13.772 Oto kolejny trójkąt prostokątny. 0:06:13.772,0:06:17.533 Wszystko, z czym mamy do czynienia, 0:06:17.533,0:06:21.109 Powiedzmy, że przeciwprostokątna 0:06:21.109,0:06:26.357 ma długość 4. 0:06:26.357,0:06:31.790 i powiedzmy, że ten bok tutaj ma długość równą dwa pierwiastki kwadratowe z trzech. Możemy 0:06:31.790,0:06:33.462 zweryfikować, że tak jest, 0:06:33.462,0:06:36.467 jeżeli podniesiemy tę stronę do kwadratu, zapiszę: 2 pierwiastki kwadratowe z 0:06:36.467,0:06:38.803 trzech, podniesione do kwadratu 0:06:38.803,0:06:42.471 dodać dwa do kwadratu jest równe czemu? 0:06:42.471,0:06:46.467 To jest 0:06:46.467,0:06:49.763 4 razy 3 dodać 4 0:06:49.763,0:06:53.478 i to będzie 12 dodać 4, co jest równe 16, a 16 to w istocie 0:06:53.478,0:06:57.800 4 do kwadratu, a więc to się równa 4 do kwadratu, 0:06:57.800,0:07:01.790 równa się 4 do kwadratu i spełnia twierdzenie Pitagorasa. 0:07:01.790,0:07:06.133 Jeżeli pamiętacie zadania z trójkątami z kątami 30,60,90 stopni, 0:07:06.133,0:07:07.781 o których być może uczyliście się na geometrii, 0:07:07.781,0:07:11.450 możecie rozpoznać, że to jest trójkąt z kątami 30,60,90 stopni; 0:07:11.450,0:07:13.133 tutaj jest nasz kąt prosty, powinienem 0:07:13.133,0:07:15.867 przeciągnąć go, aby pokazać, że to trójkąt prostokątny. 0:07:15.867,0:07:20.366 Ten kąt tutaj jest 30-stopniowy, 0:07:20.366,0:07:23.385 a ten tutaj, ten kąt jest 0:07:23.385,0:07:26.125 kątem 60-stopniowym 0:07:26.125,0:07:27.797 i to jest trójkąt z kątami 30,60,90 stopni, ponieważ 0:07:27.797,0:07:31.791 bok naprzeciw kąta o mierze 30 stopni jest połową przeciwprostokątnej, 0:07:31.791,0:07:36.800 a bok naprzeciwko kąta o mierze 60 stopni jest równy pierwiastkowi z trzech pomnożonemu przez drugi bok 0:07:36.800,0:07:38.432 nie będący przeciwprostokątną, 0:07:38.432,0:07:40.159 więc nie będziemy się nim zajmować, 0:07:40.159,0:07:43.415 to nie jest przegląd trójkątów z kątami 30,60,90 stopni. 0:07:43.415,0:07:46.933 Obecnie znajdźmy funkcje trygonometryczne dla innych kątów. 0:07:46.933,0:07:51.295 Więc jeśli zostaniecie poproszeni 0:07:51.295,0:07:54.639 ile wynosi sinus 30 stopni 0:07:54.639,0:07:58.447 i pamiętacie, że jeden z kątów tego trójkąta ma 30 stopni, ale dotyczy to 0:07:58.447,0:08:01.698 każego 30-stopniowego kąta. Gdy mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym, będziemy 0:08:01.698,0:08:05.135 mieć szersze definicje w przyszłości, ale jeśli mówimy o sinusie 30 stopni, 0:08:05.135,0:08:09.035 to nie jest złotą regułą, tutaj jest 30 stopni, więc mogę użyć tego trójkąta prostokątnego 0:08:09.035,0:08:12.133 i wystarczy pamiętać soh cah toa, 0:08:12.133,0:08:17.116 więc przepiszę to 0:08:17.116,0:08:22.782 Soh wskazuje, jak uzyskać sinus. Sinus jest stosunkiem przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej. 0:08:22.782,0:08:26.358 Sinus 30 stopni jest stosunkiem przyprostokątnej przeciwległej, 0:08:26.358,0:08:30.723 która to jest bokiem o długości 2, 0:08:30.723,0:08:32.395 do przeciwprostokątnej. Tutaj przeciwprostokątna ma długość 4. 0:08:32.395,0:08:35.646 Wynosi to dwie czwarte, czyli jedna druga. 0:08:35.646,0:08:40.800 Jak widać, sinus 30 stopni zawsze jest równy 0:08:40.800,0:08:44.144 Teraz, ile wynosi 0:08:44.144,0:08:46.867 Ile wynosi cosinus 0:08:46.867,0:08:50.135 Raz jeszcze wróćmy do soh cah toa. 0:08:50.135,0:08:52.643 Cah wskazuje, jak uzyskać cosinus. 0:08:52.643,0:08:56.033 Cosinus jest stosunkiem przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej. 0:08:56.033,0:08:59.051 Rozpatrując kąt 30 stopni, to jest przyprostokątna przyległa, ten bok tutaj to 0:08:59.051,0:09:01.791 przyprostokątna przyległa, przylega do kąta 0:09:01.791,0:09:05.467 i nie jest to przeciwprostokątna. 0:09:05.467,0:09:09.129 Stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej jest równy dwa 0:09:09.129,0:09:13.633 Stosunek przyprostokątnej przyległej 0:09:13.633,0:09:16.977 Jeżeli uprościmy wyrażenie, podzielimy licznik i mianownik przez dwa, będzie to pierwiastek kwadratowy z trzech 0:09:16.977,0:09:20.646 podzielony przez 2. 0:09:20.646,0:09:22.782 Na koniec obliczmy 0:09:22.782,0:09:27.800 Tangens 30 stopni. 0:09:27.800,0:09:30.305 Wracamy do soh cah toa. 0:09:30.305,0:09:31.699 soh cah toa 0:09:31.699,0:09:34.800 Toa mówi nam, jak uzyskać tangens. To stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej. 0:09:34.800,0:09:38.804 Patrzymy na kąt 30 stopni, ponieważ nim się zajmujemy. Tangens 30 stopni 0:09:38.804,0:09:42.101 tangens 30 stopni, przyprostokątna przeciwległa ma długość 2 0:09:42.101,0:09:46.200 przyprostokątna przeciwległa ma długość 2, a przyległa ma długość dwa pierwiastki z trzech, leży ona w sąsiedztwie 0:09:46.200,0:09:48.045 kąta 0:09:48.045,0:09:49.439 oznacza to, że przylega do kąta. 0:09:49.439,0:09:52.039 Więc dwa pierwiastki kwadratowe z trzech 0:09:52.039,0:09:54.454 co jest równe 0:09:54.454,0:09:56.776 dwójki się upraszczają, więc to 1 podzielone przez pierwiastek kwadratowy z trzech. 0:09:56.776,0:10:00.723 Możemy pomnożyć licznik i mianownik przez pierwiastek kwadratowy z trzech, 0:10:00.723,0:10:05.367 więc otrzymujemy: 0:10:05.367,0:10:08.804 co jest równe licznikowi wynoszącemu pierwiastek z trzech, 0:10:08.804,0:10:12.473 a mianownik tutaj jest równy po prostu 3, 0:10:12.473,0:10:15.800 a więc jest liczbą wymierną. 0:10:15.800,0:10:17.442 W porządku. 0:10:17.442,0:10:20.693 Teraz użyjmy tego samego trójkąta, aby zobaczyć, jakie są wartości funkcji trygonometrycznych dla 60 stopni, 0:10:20.693,0:10:22.457 ponieważ już go sporządziliśmy. 0:10:22.457,0:10:28.328 A więc ile wynosi 0:10:28.328,0:10:30.166 ile wynosi sinus 30 stopni i myślę, że pojmujecie istotę rzeczy. 0:10:30.166,0:10:34.253 Sinus jest stosunkiem przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej, soh z soh cah toa. Dla kąta 60 stopni, który bok 0:10:34.253,0:10:36.668 jest przyprostokątną przeciwległą? 0:10:36.668,0:10:39.315 który leży naprzeciw 0:10:42.566,0:10:45.306 i z kąta 60 stopni przyprostokątna przy... och, przepraszam, to stosunek 0:10:45.306,0:10:47.999 przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej, nie chciałem Was zdezorientować. 0:10:47.999,0:10:50.507 A więc to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej, 0:10:50.507,0:10:54.315 który wynosi dwa pierwiastki z trzech podzielone na cztery. Cztery to długość przeciwprostokątnej. 0:10:54.315,0:10:59.981 Jest to równe, po uproszczeniu, pierwiastek z trzech przez dwa, 0:10:59.981,0:11:05.507 co jest wartością cosinusa 60 stopni. Cosinus 60 stopni. 0:11:05.507,0:11:10.244 A więc pamiętajcie soh cah toa. Cosinus to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej. 0:11:10.244,0:11:13.667 Przyprostokątna przyległa jest po drugiej stronie obok kąta 60 stopni, więc jest to dwa 0:11:13.667,0:11:17.907 podzielone przez przeciwprostokątną o długości 4 0:11:17.907,0:11:20.972 a więc jest to równe 0:11:20.972,0:11:24.176 I w końcu 0:11:24.176,0:11:27.984 ile wynosi tangens, ile wynosi tangens 0:11:27.984,0:11:32.349 Cóż, tangens, soh cah toa, tangens to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej. 0:11:32.349,0:11:34.671 Przyprostokątna przeciwległa do kąta 60 stopni 0:11:34.671,0:11:36.400 ma długość dwa pierwiastki z trzech. 0:11:36.400,0:11:38.000 Dwa pierwiastki z trzech, 0:11:38.000,0:11:39.919 a przyprostokątna przyległa do kąta, 0:11:39.919,0:11:42.733 przyległa do kąta 0:11:42.733,0:11:44.800 przyprostokątna przyległa do kąta 60 stopni ma długość 2. 0:11:44.800,0:11:48.650 A więc to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej. 0:11:48.650,0:11:52.644 Dwa pierwiastki kwadratowe z 3 podzielone przez 2 jest równe 0:11:52.644,0:11:54.641 Do czego zmierzałem — spójrzcie, jak funkcje są ze sobą powiązane. 0:11:54.641,0:11:57.984 Sinus 30 stopni jest równy cosinusowi 60 stopni. 0:11:57.984,0:12:01.333 Cosinus 30 stopni jest równy sinusowi 60 stopni. 0:12:01.333,0:12:03.966 Te funkcje są przestawione [dla tych kątów] 0:12:03.966,0:12:05.635 i myślę, że jeśli pomyślicie trochę o tym trójkącie, 0:12:05.635,0:12:07.105 zacznie być jasne, dlaczego tak jest. 0:12:07.105,0:12:08.461 Będziemy to rozszerzać i zrobimy 0:12:08.461,9:59:59.000 więcej ćwiczeń praktycznych w następnych kilku filmach.