Udtryk og Ligninger med Variable

Introduktion til variable i udtryk og ligninger og eksempler på udregning af udtryk og løsning af ligninger.

I den grundlæggende aritmetik regner vi med reelle tal.

Det kan eksempelvis være 23 plus 5.

Det er velkendte tal, og vi kan let regne ud, hvad det giver.

Det giver 28.

Vi kan også udregne 2 gange 7.

Vi kan sige 3 divideret med 4.

I alle disse tilfælde ved vi præcis,
hvilke tal vi regner med.

Når vi bevæger os ind i den algebraiske verden,

som man måske allerede så småt er introduceret til,

skal man arbejde med variable.

Der er flere måder at tænke på variable på,

men de er i virkeligheden symboler,

som kan have forskellige værdier.

Værdierne af sådanne udtryk kan ændres.

Vi kan eksempelvis skrive

x plus 5.

Det er et algebraisk udtryk,

som kan have forskellige værdier,

fordi det afhænger af værdien for x.

Hvis x er lig med 1,

hvad er x plus 5 så lig med?

Det er vores udtryk.

Når vi sætter 1 ind på x's plads, får vi

1 plus 5.

I det tilfælde er x plus 5 altså lig med 6.

Hvis x er lig med minus 7.

så er x plus 5 lig med,

minus 7 plus 5.

Det giver minus 2.

Læg mærke til, at x er en variabel.

x er en variabel,

og dens værdi kan ændres.

Den indgår i et udtryk.

Vi kommer også til at se variable i forbindelse med ligninger.

Det er faktisk vigtigt at skelne mellem udtryk og ligninger.

Et udtryk er nogle værdier,
som kan udregnes.

Vi kan skrive nogle udtryk her.

Vi har allerede set et eksempel på et algebraisk udtryk i den her video.

Vi har set på x plus 5.

x plus 5 er et udtryk.

Værdien af dette udtryk ændres, når værdien af x ændres,

fordi x er den variable.

Vi kan udregnet udtrykket for forskellige værdier af x.

Lad os se på et andet eksempel på et udtryk.

y plus z er også et udtryk.

Nu er der kun variable i udtrykket.

Hvis y er 1, og z er 2,

så er udtrykket lig med 1 plus 2.

Hvis y er 0, og z er minus 1,

så er udtrykket lig med 0 plus minus 1.

Vi kan udregne dem alle,

og de giver en værdi,

der afhænger af værdierne for hver af de to variable,

som indgår i udtrykket.

I en ligning er to udtryk sat lig med hinanden.

Det er derfor de kaldes ligninger.

Vi sætter to udtryk lig med hinanden.

I en ligning er et udtryk altså lig med et andet udtryk.

Vi kunne eksempelvis have ligningen
x plus 3 er lig med 1.

I dette tilfælde har vi en ligning med kun en variabel.

Vi siger også, at det er en ligning med en ukendt.

Vi kan faktisk finde ud af,

hvad x skal være for, at ligningen er opfyldt.

Vi kan gætte os til svaret.

Et eller andet tal plus 3 er lig med 1?

Hvad kan det tal mon være?

Hvis vi har minus 2 og lægger 3 til,
er det lig med 1.

Ligningen sætter altså nogle begrænsninger for,

hvilken værdi den variable kan have.

Det behøver dog ikke nødvendigvis kun være en værdi.

Vi kan have et udtryk som,

x plus y plus z er lig med 5.

I den her ligning er et udtryk igen sat lig med et andet udtryk.

5 kan her opfattes som et udtryk,

og der er nogle begrænsninger.

Hvis nogen fortæller os, hvad y og z er,

kan vi udregne værdien af x.

Hvis nogen fortæller os, hvad x og y er,

kan vi udregne værdien af z.

Svaret afhænger dog af, hvilke værdier variablerne har.

Vi kan eksempelvis sige, at y er 3, og z er 2.

Hvad er x så?

Hvis y er 3, og z er 2,

så kan vi regne ud, at udtrykket til venstre bliver:

x plus 3 plus 2. Det er det samme som x plus 5.

Den højre side forbliver bare 5.

x plus 5 er altså lig med 5.

Et eller andet tal plus 5 er lig med 5?

Nu er x begrænset til en enkelt værdi.Hvad kan x være?

x kan kun være 0.

Det vigtigste er, at vi indser,

hvad forskellen mellem et udtryk og en ligning er.

En ligning er to udtryk, som er sat lig med hinanden.

En vigtig pointe er, at en variabel kan have forskellige værdier.

For at gøre det helt klart, så lad os udregne nogle udtryk,

hvor de variable har forskellige værdier.

Vi har udtrykket

x opløftet i y.

Hvis x er lig med 5,

og y er lig med 2.

kan vi finde værdien af vores udtryk.

Hvad er værdien af udtrykket?

x er 5.

y er 2.

Det er altså det samme som x i anden.

Det kan vi udregne.

Det giver 25.

Lad os prøve at ændre de variables værdier.

Det bruger vi en anden farve til.

x er nu lig med minus 2,

og y er lig med 3.

Vi kan igen udregne værdien

af vores udtryk.

Vi skriver minus 2 på x's plads.

x er nu lig med minuz 2.

y er 3.

Vi har derfor minus 2 i tredje.

Det er det samme som minus 2 gange minus 2
gange minus 2.

Det er minus 8.

MInus 2 gange minus 2 er plus 4.

Plus 4 gange minus 2 er lig med minus 8.

Det hele er altså lig med minus 8.

Udtrykkets værdi afhænger af de variables værdier.

Vi kan også regne nogle endnu sværere udtryk.

Vi kan tage dette udtryk

kvadratroden af x plus y, og derefter minus x.

Vi siger, at x er lig med 1,

og y er lig med 8.

Vi kan nu udregne udtrykket.

Hver gang vi ser et x, indsætter vi 1 i stedet for x,

Vi har et 1-tal der,

og vi har et 1-tal til sidst.

Hver gang vi har et y,

indsætter vi 8.

Vi kender værdierne af de variable, og indsætter dem i udtrykket.

Vi indsætter 8 i stedet for y.

Under kvadratrodstegnet har vi 1 plus 8.

Kvadratroden af 9 er 3,

så vi kan reducere i det her tilfælde.

Når vi indsætter værdierne for de to variable,

reduceres kvadratroden til 3,

fordi 1 plus 8 er 9,

og kvadratroden af 9 er 3.

Nu står der 3 minus 1.

Det er lig med 2.

Vi er færdige.