7.5. Будущее кв. вычисл. Коррекция ошибок: Логические операции в коде Шора, поверхностные коды и др.

Итак, хорошая новость в том,
что с такого рода

кодом коррекции ошибок

я могу применить так называемые
логические операции.

То есть я могу

преобразовать информацию, я могу применить
вентили

непосредственно к логическим кубитам.

Мне не нужно возвращаться

к расшифрованному состоянию, чтобы применить
вентили, я могу применить

вентили ко всем физическим кубитам,

зашифровывающим информацию, чтобы операция
была равнозначна

унитарному вентилю на логическом кубите.

Например, обратите внимание, что если
у нас есть

вот этот код для состояния «0» здесь,

в девятикубитовом коде Шора,

и если я применяю Z ко всем кубитам
одновременно,

тогда вот здесь будут изменения, вот здесь
применится фаза «-1», «-1», «-1»,

это поменяется на «-»,

это поменяется на «-»,

это поменяется на «-».

Итак, теперь у меня получилось это
состояние.

Применив Z, операцию Z,

вентиль Z ко всем этим кубитам одновременно,

я выполнил операцию, которая
на логическом уровне

совершенно равнозначна вентилю Х.

И можете проверить,

что, это

упражнение для вас если
вы примените вентиль Х

ко всем кубитам одновременно,

то на логическом уровне вы примените
вентиль Z.

Этот способ позволяет совершать

данные операции без необходимости

возвращаться к декодированному состоянию,

просто сделав это в логической схеме.
Я получил

комментарий…

«Схема стала более сложной, ошибки могут
появиться в любом месте.

Где нужно применить

коррекцию ошибок, и есть ли какая-то общая
стратегия для этого».

Да, я только что ответил на это.

Нужно применять вентили
без корректировки, без

кодирования и декодирования каждый раз.
Да, это и есть ответ.

Проблема с этими операциями,

которые называются операциями обхода,

потому что мы применяем вентили
ко всем кубитам одновременно,

в том, что есть ограничение на количество
операций,

которые можно таким образом
совершить.

И есть теорема, которая называется теоремой
Истена–Нила (Eastin–Knill),

которая утверждает, что в любом квантовом
коде коррекции ошибок

с применением логических кубитов

невозможно применить все логические
вентили, или все операции,

которые необходимы для общего вычисления,
как вентили обхода.

Нужнее по крайней мере один вентиль
для выполнения общего вычисления,

который не может быть сделан в обход.

Далее вам нужно применить другие приёмы,

например, Шор

также предложил очень сложный способ, ну,
или ещё более сложный способ, например,

с вентилем Тоффоли

в этом девятикубитном алгоритме,

устойчивом к ошибкам, так, чтобы ошибки
не переходили

из одного блока в другой.

Но есть также другие методы, например,
телепортация вентиля.

Если помните, то, по-моему,
во второй лекции

я рассказывал об использовании
телепортации вентилей

для применения логических вентилей

в кодах коррекции ошибок.

Я не буду углубляться в подробности,
потому что

они немного сложнее.

Но если вы хотите ознакомиться
с этой темой,

я могу дать некоторые рекомендации,

эта тема

не намного сложнее, чем те, которые
мы изучали ранее.

Но есть другие методы, которые нужно
использовать для

реализации этих логических операций.

Так называемая дистилляция
магического состояния.

В общем, несколько разных методов,
которыми вы можете пользоваться.

Всё, что мы хотим – это

отказоустойчивые квантовые вычисления.

Я расскажу об этом через минуту.

Итак, мы изучили этот девятикубитный
алгоритм,

мы видим, что

можем защитить информацию
от любого типа ошибок,

мы можем применить логические вентили,

это всё очень хорошо, но кажется
немного частный случай.

Я имею в виду, что, хорошо, мы рассуждали
об этих алгоритмах,

и Питер Шор предложил такую идею,

но существует ли какой-то другой код,

какой-то более системный подход к изучению
этого, могут ли быть

алгоритмы с другими свойствами?

Существует

много работ на эту тему. Они очень красивы

с математической точки зрения,
и также очень любопытны.

Они имеют дело,

конечно, с классической теорией
коррекции ошибок.

Но так же и с теорией групп, например.

Я не буду рассказывать об этом подробно,
потому что, думаю, эта тема требует

более высокого уровня подготовки,

чем мы указали в требованиях к участию
в данном курсе,

выше, чем уровень линейной алгебры.

Но я хотел бы по крайней мере сформировать
представление

о том, что вы можете сделать,
чтобы изучить больше

универсальных квантовых алгоритмов.

Идея заключается в использовании

формализма,

так называемого стабилизационного
формализма,

имеющего дело с такими операциями,
которые не изменяют

состояние, используемое для кодирования
логических кубитов.

То есть, например если вспомнить об

алгоритме коррекции ошибок
типа инверсии кубита,

помните, что мы кодировали «0» как «0–0–0»,

а «1» как «1–1–1».

И можно легко проверить, что если применить
любую из этих операций

к этим двум состояниям,

они

останутся неизменными. Они не поменяются.

Конечно, это исключающее ИЛИ-НЕ
на каждом кубите,

так что, конечно, они не изменятся.
Но, например,

эта операция вводит

фазы «-1» в данном случае,

и вот эти кубиты она не изменит.

Но она введёт фазы «-1» и в первом,
и во втором кубите.

И они обнулятся.

То есть все эти операции

стабилизируют

состояния кода, так что они не изменяются.

А ещё можно увидеть, что если рассматривать
только эти две операции,

то с помощью умножения вы можете
генерировать и другие.

Фактически, эти операции формируют

коммутативную группу, абелеву группу,

и они образованы вот этими

операциями.

И, важно отметить, что

собственное значение этих операций
всегда либо «1» либо «-1».

И, сочетая все эти подходы,

мы можем увеличить

число операций или задание кода,

какие произведения операций Паули

фиксируют все слова, которые мы используем
для кодирования

логических кубитов.

И это называется признанной
группой стабилизационных

алгоритмов коррекции.

И, например, в алгоритме Шора

вы можете видеть

стабилизационные операции

вот здесь, и те, которые получаются
путём сочетания,

умножения вот этих элементов.

И вы можете использовать эти

операции, чтобы изучать свойства кода,

например, какие ошибки вы можете исправить,

различные свойства

операций, которые можно выполнять логически,
можете делать много всего.

И на самом деле это просто, я не буду
вдаваться в подробности,

но очень просто

определить схемы для синдромов, которые

могли показаться сложными

в изученных нами случаях, но если
у вас есть генератор

стабилизационной группы алгоритма,

вы можете использовать эту конструкцию,
эту красивую конструкцию,

чтобы получить способ измерить
синдромы.

Итак, этот формализм очень полезен

не только для изучения квантовых кодов
коррекции ошибок, но и других

квантовых алгоритмов.

И действительно, я его упомяну
в другом контексте

буквально через несколько минут.

Его можно использовать, чтобы изучать

коды в самых общих ситуациях применения.

На самом деле,

самые популярные квантовые алгоритмы
коррекции ошибок,

которые сейчас изучаются с целью
их дальнейшего применения

в квантовых устройствах, называются
поверхностными кодами,

они являются частным случаем
стабилизационных кодов.

И вот здесь, например, вы видите реализацию

одного логического кубита с этими

многочисленными физическими кубитами,

в которой

операции, стабилизирующие
код, определены

вот такими

зелеными и желтыми фигурами.

Так, например, такая

зеленая фигура означает

выполнение операции Z на этом кубите,

этом кубите, этом кубите и этом кубите,

и она стабилизирует код.

И мы используем черный кубит

для измерения синдрома этого

генератора. А здесь у нас такая схема.

У меня нет времени её объяснять, но
вы можете проверить, что

эта схема вытекает непосредственно
из вот этой конструкции.

Я бы хотел,

чтобы вы знали, что сейчас считается, что
именно этот тип поверхностных кодов

будет в дальнейшем реализован в генераторах
квантовых компьютеров.

Вы видите, что

для реализации одного логического
кубита вам нужно много кубитов.

Но у таких схем есть и полезные свойства,
и их можно

реализовать с помощью того типа чипов,
которыми мы располагаем сегодня,

в котором есть связь между
разными кубитами,

потому что вам здесь нужно применять
вентили CNOT

к соседним кубитам. Итак,

эти алгоритмы рассматриваются

сейчас для использования в следующих
поколениях

квантовых компьютеров, потому что они

хорошо работают с аппаратным оборудованием,
которым мы располагаем сегодня

и рассчитываем иметь в будущем.

Всё это

изучается с целью получить так называемые
отказоустойчивые квантовые вычисления.

Эта тема

заслуживает отдельной лекции,

но позвольте мне только отметить, что эта
идея похожа на то,

о чём я рассказывал до этого:

мы предлагаем модель ошибок,
мы предполагаем,

например, что ошибки появляются

с определенной вероятностью и независимо
друг от друга,

и, конечно, по одной ошибке в заданный
период времени.

А затем, с некоторыми незначительными
условиями

в свойствах алгоритма и в модели ошибок

можно показать, что

нет необходимости применять слишком
много таких конкатенаций кода,

чтобы снизить

вероятность

ошибки до желаемого уровня.

То есть,

снижение вероятности ошибки
происходит по экспоненте,

в то время как количество

вентилей в схеме и количество
необходимых кубитов

растет всего лишь полиномиально.

В общем, это хорошее свойство,

и оно описывается тем, что называется

предельной теоремой.

Если ошибка кода,

ошибка «железа» ниже определенного предела,

зависящего от используемого алгоритма,

и если

ошибки

удовлетворяют определенным условиям,

которые вы предъявляете к своей модели,
то вы можете снизить

вероятность ошибки до желаемого
уровня без

экспоненциального роста количества
кубитов в схеме.

И это является Священным Граалем

коррекции ошибок в квантовых вычислениях.

Я не знаю, есть ли какие-либо
вопросы по этой теме?

Чтобы её завершить,

я хотел бы поговорить немного о том,

на каком этапе мы сейчас находимся
в квантовых вычислениях,

и чего мы можем ожидать в будущем.

Чтобы говорить о текущей ситуации,

конечно же, мы должны поговорить о том,
что такое квантовое превосходство.

Каковы достижения

и что они значат для практических
вычислений,

ближайшего будущего, ближайших перспектив
в этой области.

Есть определение квантового превосходства.

Вы также знаете, что существуют разногласия
по поводу термина «превосходство»,

но он широко распространён.

Иногда я использую «превосходство»,
иногда «преимущество»,

но термин

ссылается на тот момент времени, когда

квантовый компьютер, реальный
квантовый компьютер,

сможет выполнить задачу

за значительно меньший отрезок времени,

чем

ту же самую

задачу сможет решить лучший классический
суперкомпьютер.

Итак, это

практическая демонстрация
ситуации

превосходства квантового компьютера над
лучшим обычным на определенной задаче.

И важно заметить,

что задача не обязательно должна быть

практической, не должна быть чем-то,
что мы можем использовать

для решения реальных проблем

или практического применения
в какой-либо области.

Это просто

задача, которую квантовый компьютер
выполнит намного лучше,

решит её намного быстрее,

чем любой из имеющихся у нас
классических компьютеров.

Конечно, можно попытаться получить

квантовое преимущество, или квантовое
превосходство,

используя, например, алгоритм Шора,
чтобы разложить целое число.

Если бы у нас было целое число, скажем,

10 000-разрядное или что-то около того,

и мы могли бы разложить его с помощью
квантового компьютера,

тогда мы могли бы сравнить результат
с классическим компьютером.

Мы могли бы это сделать и подтвердить
квантовое превосходство,

потому что у нас нет алгоритма, с помощью
которого мы могли бы разложить

10 000-разрядное число.

Проблема в том, что

для алгоритма Шора требуется квантовая
коррекция ошибок,

а мы пока еще не можем, этого сделать,

потому что, как вы видели, например,
в случае этих поверхностных кодов,

некоторые из предлагаемых вариантов

требуют до 1 000

физических кубитов на один
логический кубит,

чтобы обеспечить защиту логического
кубита от всех ошибок.

И тогда,

чтобы использовать

алгоритм Шора, чтобы разложить целое число,

нам понадобятся

тысячи логических кубитов, то есть
понадобятся

миллионы физических кубитов, и пока мы
ещё весьма далеки от этого.

Так что идея заключается в том, чтобы
попытаться решить другую задачу,

которая может быть не так хорошо определена,
или не так полезна на практике,

или её будет не так легко проверить,
как разложение целого числа,

но её можно было бы выполнить
с помощью существующих

квантовых устройств.