TYTUŁ: Podstawy Trygonometrii II

One of the most popular Khan Academy videos, Basic Trigonometry doesn't have any subtitles - help translate it into as many languages possible!

Po prostu zróbmy całe mnóstwo przykładów,

aby być pewnym, że rozumiemy dobrze
funkcje trygonometryczne.

Skonstruujmy nieco
trójkątów prostokątnych.

Skonstruujmy kilka
trójkątów prostokątnych

bo chcę, żeby było to jasne,

że ten sposób działa jedynie
w trójkątach prostokątnych,

Jeśli próbujemy wyznaczyć funkcje
trygonometryczne w innych trójkątach,

to musimy skonstruować
trójkąty prostokątne,

Skupmy się więc na
trójkątach prostokątnych.

Powiedzmy, że mamy trójkąt,

w którym ta długość wynosi siedem

i powiedzmy, że długość tego boku

wynosi cztery.

Zauważmy, czym będzie przeciwprostokątna tutaj. Wiemy, że

— nazwijmy przeciwprostokątną „h” —

wiemy, że h do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 7 do kwadratu,

wiemy z twierdzenia Pitagorasa,

że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy

sumie kwadratów

pozostałych dwóch boków. 8 do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 4 do kwadratu.

Jest to równe 49

49 + 16,

49 + 10 wynosi 59, dodać 6 wynosi

65. A więc h podniesione do kwadratu

napiszmy: h do kwadratu

— to inny odcień żółtego — a więc h do kwadratu jest równe

65. Czy zrobiłem to poprawnie? 49 dodać 10 wynosi 59, dodać jeszcze 6

wynosi 65; możemy powiedzieć, że jest równe h jeżeli wyciągniemy pierwiastek kwadratowy

Pierwiastek kwadratowy

pierwiastek kwadratowy z 65. I naprawdę nie musimy tego wcale upraszczać

to jest 13

to to samo co 13 razy 5,

obydwie nie są kwadratami

oraz obydwie są liczbami pierwszymi, więc nie można uprościć zapisu bardziej.

Więc jest to równe pierwiastkowi kwadratowemu

Teraz znajdźmy funkcje trygonometryczne tego oto kąta.

Nazwijmy ten kąt theta.

Zawsze kiedy to robicie

możecie zanotować — a przynajmniej u mnie to działa —

„soh cah toa”.

soh...

...soh cah toa. Mam niejasne wspomnienia

mojego

nauczyciela trygonometrii, być może przeczytałem to w jakiejś książce, nie wiem — jakaś

jakaś indiańska księżniczka nazywana „soh cah toa” lub jakoś tak, ale to bardzo przydatny

skrót pamięciowy,

więc zastosujmy „soh cah toa”. Znajdźmy

powiedzmy, że chcemy znaleźć cosinus.

Chcemy znaleźć cosinus naszego kąta.

Chcemy znaleźć cosinus naszego kąta, mówimy: „soh cah toa!”

Więc „cah”. „Cah” mówi nam, co zrobić z cosinusem,

część „cah” mówi nam,

że cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej (ang. adjacent) do kąta do przeciwprostokątnej. [ang. adjacent, hypotenuse — stąd cah]

Cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej do kąta

Spójrzmy na kąt theta. Którym bokiem jest przyprostokątna przyległa?

Wiemy, że przeciwprostokątna

wiemy, że przeciwprostokątna jest tutaj, z tej strony,

więc to nie może być ten bok. Jedynym innym bokiem, który jest przyległy do kąta i który

nie jest przeciwprostokątną, jest ten o długości 4.

A więc przyprostokątna przyległa jest tutaj,

jest dokładnie obok kąta,

jest jednym z boków tworzących kąt.

Jest równa 4

Wiemy już, że przeciwprostokątna jest pierwiastkiem kwadratowym z 65, więc cosinus wynosi 4

podzielone przez

Czasem potrzebne jest uproszczenie mianownika, co oznacza, że

w mianowniku nie powinna znaleźć się liczba niewymierna,

jak pierwiastek z 65.

Jeśli jest taka konieczność — jeżeli chcemy przekształcić wyrażenie

usuwając niewymierność z mianownika, można pomnożyć licznik i mianownik

przez pierwiastek kwadratowy z 65.

To oczywiście nie zmieni wartości, ponieważ

mnożymy wyrażenie przez liczbę podzieloną przez siebie samą, więc

w istocie mnożymy przez 1.

To nie zmieni wartości, ale pozbywamy się niewymierności z mianownika.

Licznik przyjmie postać

4 razy pierwiastek z 65,

a mianownik pierwiastek z 65 razy pierwiastek z 65, czyli po prostu 65.

Nie pozbyliśmy się liczby niewymiernej, cały czas tu jest, ale teraz w liczniku.

Zajmijmy się teraz innymi funkcjami trygonometrycznymi,

a przynajmniej innymi podstawowymi funkcjami trygonometrycznymi.

Nauczymy się w przyszłości wielu z nich,

ale one wszystkie pochodzą z funkcji podstawowych,

więc pomyślmy, co jest znakiem theta. Jeszcze raz wróćmy do „soh cah toa”.

„Soh” mówi, jak uzyskać sinus. Sinus to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej. [ang. opposite, hypotensue — „soh”]

Sinus jest równy

stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej.

Który bok jest przyprostokątną przeciwległą dla tego kąta?

Po prostu patrzymy naprzeciwko, na co otwiera się kąt, jest on naprzeciwko boku o długości 7,

a więc przyprostokątną przeciwległą jest bok długości 7.

Właśnie tutaj — to jest przyprostokątna przeciwległa,

a następnie

przeciwprostokątna, to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątna ma długość

Pierwiastek kwadratowy z sześćdziesiąt pięć

Ponownie, jeśli chcielibyśmy usunąć niewymierność z mianownika, moglibyśmy pomnożyć wartość pierwiastek z 65

podzielony przez pierwiastek z 65

i w liczniku otrzymamy wtedy siedem pierwiastków z 65, a w mianowniku po prostu

ponownie 65.

Teraz zajmijmy się tangensem!

Zajmijmy się tangensem.

Jeżeli mielibyśmy obliczyć tangens

tangens kąta theta,

wracamy ponownie do soh cah

toa, fragment toa mówi nam, jak uzyskać tangens.

Mówi on nam,

mówi nam, że tangens

jest równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przyległej. Przeciwległej

do

przyprostokątnej przeciwległej do przyległej, [ang. opposite, adjacent]

więc dla tego kąta

wiemy już, że przyprostokątna przeciwległa to bok o długości 7, kąt jest naprzeciw boku

o długości 7,

więc to bok o długości 7

Cóż, ten o długości 4 jest przyległy

bok o długości 4 jest przyległy, więc przyprostokątna przyległa to bok długości 4.

A więc jest to 7

I zakończyliśmy.

Wyliczyliśmy wszystkie wartości dla kąta theta, zabierzmy się za następny.

Zabierzmy się za następny.

Zrobię to bardziej konkretnie, bo teraz mówiłem o

tangensie x, tangensie theta. Zróbmy to dla konkretnej wartości.

Powiedzmy

Powiedzmy, że narysuję kolejny trójkąt prostokątny

Oto kolejny trójkąt prostokątny.

Wszystko, z czym mamy do czynienia,

Powiedzmy, że przeciwprostokątna

ma długość 4.

i powiedzmy, że ten bok tutaj ma długość równą dwa pierwiastki kwadratowe z trzech. Możemy

zweryfikować, że tak jest,

jeżeli podniesiemy tę stronę do kwadratu, zapiszę: 2 pierwiastki kwadratowe z

trzech, podniesione do kwadratu

dodać dwa do kwadratu jest równe czemu?

To jest

4 razy 3 dodać 4

i to będzie 12 dodać 4, co jest równe 16, a 16 to w istocie

4 do kwadratu, a więc to się równa 4 do kwadratu,

równa się 4 do kwadratu i spełnia twierdzenie Pitagorasa.

Jeżeli pamiętacie zadania z trójkątami z kątami 30,60,90 stopni,

o których być może uczyliście się na geometrii,

możecie rozpoznać, że to jest trójkąt z kątami 30,60,90 stopni;

tutaj jest nasz kąt prosty, powinienem

przeciągnąć go, aby pokazać, że to trójkąt prostokątny.

Ten kąt tutaj jest 30-stopniowy,

a ten tutaj, ten kąt jest

kątem 60-stopniowym

i to jest trójkąt z kątami 30,60,90 stopni, ponieważ

bok naprzeciw kąta o mierze 30 stopni jest połową przeciwprostokątnej,

a bok naprzeciwko kąta o mierze 60 stopni jest równy pierwiastkowi z trzech pomnożonemu przez drugi bok

nie będący przeciwprostokątną,

więc nie będziemy się nim zajmować,

to nie jest przegląd trójkątów z kątami 30,60,90 stopni.

Obecnie znajdźmy funkcje trygonometryczne dla innych kątów.

Więc jeśli zostaniecie poproszeni

ile wynosi sinus 30 stopni

i pamiętacie, że jeden z kątów tego trójkąta ma 30 stopni, ale dotyczy to

każego 30-stopniowego kąta. Gdy mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym, będziemy

mieć szersze definicje w przyszłości, ale jeśli mówimy o sinusie 30 stopni,

to nie jest złotą regułą, tutaj jest 30 stopni, więc mogę użyć tego trójkąta prostokątnego

i wystarczy pamiętać soh cah toa,

więc przepiszę to

Soh wskazuje, jak uzyskać sinus. Sinus jest stosunkiem przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej.

Sinus 30 stopni jest stosunkiem przyprostokątnej przeciwległej,

która to jest bokiem o długości 2,

do przeciwprostokątnej. Tutaj przeciwprostokątna ma długość 4.

Wynosi to dwie czwarte, czyli jedna druga.

Jak widać, sinus 30 stopni zawsze jest równy

Teraz, ile wynosi

Ile wynosi cosinus

Raz jeszcze wróćmy do soh cah toa.

Cah wskazuje, jak uzyskać cosinus.

Cosinus jest stosunkiem przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej.

Rozpatrując kąt 30 stopni, to jest przyprostokątna przyległa, ten bok tutaj to

przyprostokątna przyległa, przylega do kąta

i nie jest to przeciwprostokątna.

Stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej jest równy dwa

Stosunek przyprostokątnej przyległej

Jeżeli uprościmy wyrażenie, podzielimy licznik i mianownik przez dwa, będzie to pierwiastek kwadratowy z trzech

podzielony przez 2.

Na koniec obliczmy

Tangens 30 stopni.

Wracamy do soh cah toa.

soh cah toa

Toa mówi nam, jak uzyskać tangens. To stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej.

Patrzymy na kąt 30 stopni, ponieważ nim się zajmujemy. Tangens 30 stopni

tangens 30 stopni, przyprostokątna przeciwległa ma długość 2

przyprostokątna przeciwległa ma długość 2, a przyległa ma długość dwa pierwiastki z trzech, leży ona w sąsiedztwie

kąta

oznacza to, że przylega do kąta.

Więc dwa pierwiastki kwadratowe z trzech

co jest równe

dwójki się upraszczają, więc to 1 podzielone przez pierwiastek kwadratowy z trzech.

Możemy pomnożyć licznik i mianownik przez pierwiastek kwadratowy z trzech,

więc otrzymujemy:

co jest równe licznikowi wynoszącemu pierwiastek z trzech,

a mianownik tutaj jest równy po prostu 3,

a więc jest liczbą wymierną.

W porządku.

Teraz użyjmy tego samego trójkąta, aby zobaczyć, jakie są wartości funkcji trygonometrycznych dla 60 stopni,

ponieważ już go sporządziliśmy.

A więc ile wynosi

ile wynosi sinus 30 stopni i myślę, że pojmujecie istotę rzeczy.

Sinus jest stosunkiem przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej, soh z soh cah toa. Dla kąta 60 stopni, który bok

jest przyprostokątną przeciwległą?

który leży naprzeciw

i z kąta 60 stopni przyprostokątna przy... och, przepraszam, to stosunek

przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej, nie chciałem Was zdezorientować.

A więc to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej,

który wynosi dwa pierwiastki z trzech podzielone na cztery. Cztery to długość przeciwprostokątnej.

Jest to równe, po uproszczeniu, pierwiastek z trzech przez dwa,

co jest wartością cosinusa 60 stopni. Cosinus 60 stopni.

A więc pamiętajcie soh cah toa. Cosinus to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej.

Przyprostokątna przyległa jest po drugiej stronie obok kąta 60 stopni, więc jest to dwa

podzielone przez przeciwprostokątną o długości 4

a więc jest to równe

I w końcu

ile wynosi tangens, ile wynosi tangens

Cóż, tangens, soh cah toa, tangens to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej.

Przyprostokątna przeciwległa do kąta 60 stopni

ma długość dwa pierwiastki z trzech.

Dwa pierwiastki z trzech,

a przyprostokątna przyległa do kąta,

przyległa do kąta

przyprostokątna przyległa do kąta 60 stopni ma długość 2.

A więc to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej.

Dwa pierwiastki kwadratowe z 3 podzielone przez 2 jest równe

Do czego zmierzałem — spójrzcie, jak funkcje są ze sobą powiązane.

Sinus 30 stopni jest równy cosinusowi 60 stopni.

Cosinus 30 stopni jest równy sinusowi 60 stopni.

Te funkcje są przestawione [dla tych kątów]

i myślę, że jeśli pomyślicie trochę o tym trójkącie,

zacznie być jasne, dlaczego tak jest.

Będziemy to rozszerzać i zrobimy

więcej ćwiczeń praktycznych w następnych kilku filmach.